高中数学第二章变化率与导数2.5简单复合函数的求导法则讲义北师大版选修.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,*,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,简单复合函数的求导法则,*,知识回顾,函数,导函数,1,、导数公式表,*,2.,导数的四则运算法则：,设函数,u,(,x,),、,v,(,x,),是,x,的可导函数,则,推论：,c,f(x,)=c,f(x,),*,课前练习：,*,引例,一艘油轮发生泄漏事故，泄出的原油在海面上形,成一个圆形油膜，其面积 是半径 的函数：,油膜半径 随着时间 的增加而扩大，其函数关,系为：,问：（,1,）油膜面积 关于时间 函数关系式,（,2,）该函数关系式有何特点,1.,复合函数的概念,:,讲授新课：,*,注意：,1,、复合函数是,y,关于的,x,函数，自变量是,x,，而非中间变量,u,；,2,、,y,f,(,u,),叫作外层函数，,u,=,(,x,),叫作内层函数,.,指出下列函数是怎样复合而成：,练习,1,*,*,其实，是一个复合函数，,问题：,分析三个函数解析式以及导数,之间的关系,:,定理,设函数,y,=,f,(,u,),，,u,=,(,x,),均可,导,，,则复合函数,y,=,f,(,(,x,),也可导,.,且,或,复合函数的求导法则,即：,因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导,.(,链式法则,),证,设变量,x,有增量,x,，,由于,u,可导，,相应地变量,u,有增量,u,，,从而,y,有增量,y,.,求复合函数的导数应处理好以下环节：,(1),合理选定中间变量,(,中间变量的选择应是基本函数结构,),；,(2),正确分析函数的复合关系；,(3),从最外层开始，由外及里，一层层地求导；,明确求导过程中每次是哪个变量相对于哪个变量求导；,(4),善于把一部分表达式作为一个整体；,(5),最后要把中间变量换成自变量的函数,例,1,：求,的导数,分析：,解,1,：,解,2,：,可由,y=,sinu,u,=2x,复合而成,=2cos2,x,x,x,x,x,2,cos,),2,(sin,cos,),(sin,=,=,?,练习,2,设,y,=(2,x,+,1,),5,，,求,y,.,解,把,2,x,+,1,看成中间变量,u,，,y,=,u,5,，,u,=2,x,+,1,复合而成，,所以,将,y,=(2,x,+,1),5,看成是由,由于,例,2,设,y,=sin,2,x,，,求,y,.,解,这个函数可以看成是,y,=sin,x,sin,x,可利用乘法的导数公式，,将,y,=sin,2,x,看成是由,y,=,u,2,，,u,=sin,x,复合而成,.,而,所以,这里，,我们用复合函数求导法,.,求,y,.,解,将中间变量,u,=1,-,x,2,记在脑子中,.,这样可以直接写出下式,例,3,练习,3,：,设,f,(,x,),=sin,x,2,，,求,f,(,x,).,解,求复合函数导数的步骤：,确定中间变量，明确函数关系,y,f,(,u,),，,u,=,(,x,),；,分步求导，先求,f,(,u,),，再求,(,x,),计算,f,(,u,),(,x,),，并把中间变量转化为自变量的函,数,整个过程可简记为,“,分解,求导,回代,”,三个步骤,作 业,课本,P51,页习题,2-5,第,1,2,题,【,解析,】,解：,(2)y=(sin,3,x+sinx,3,),=(sin,3,x)+(sinx,3,),=3sin,2,x,(sinx)+cosx,3,(x,3,),=3sin,2,xcosx+3x,2,cosx,3,.,【,解析,】,自学课本：,P50,，例,3,复习检测,复习检测,复习检测,复习检测,