江苏专用高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.3利用导数研究函数的最(极)值.ppt

单击此处编辑母版文本样式,基础诊断,考点突破,第,3,讲利用导数研究函数的最,(,极,),值,考试要求,1.,函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，,A,级要求；,2.,利用导数求函数的极大值、极小值，闭区间上函数的最大值、最小值,(,其中多项式函数一般不超过三次,),，,B,级要求,知 识 梳 理,1,函,数的极值,若在函数,y,f,(,x,),的定义域,I,内存在,x,0,，使得在,x,0,附近的所有点,x,，都有,，则称函数,y,f,(,x,),在点,x,x,0,处取得极大值，记作,；若在,x,0,附近的所有点,x,，都有,，则称函数,y,f,(,x,),在点,x,x,0,处取得极小值，记作,f,(,x,),f,(,x,0,),y,极小值,f,(,x,0,),2,求函数极值的步骤：,(1),求导数,f,(,x,),；,(2),求方程,f,(,x,),0,的所有实数根；,(3),观察在每个根,x,n,附近，从左到右，导函数,f,(,x,),的符号如何变化，若,f,(,x,),的符号由正变负，则,f,(,x,n,),是极大值；若由负变正，则,f,(,x,n,),是极小值；若,f,(,x,),的符号在,x,n,的两侧附近相同，则,x,n,不是函数,f,(,x,),的极值点,3,函数的最值,若在函数,f,(,x,),的定义域,I,内存在,x,0,，使得对于任意的,x,I,，都有,，则称,f,(,x,0,),为函数的最大值，记作,y,max,；若在函数,f,(,x,),的定义域,I,内存在,x,0,，使得对于任意的,x,I,，都有,，则称,f,(,x,0,),为函数的最小值，记作,y,min,f,(,x,),f,(,x,0,),f,(,x,0,),f,(,x,),f,(,x,0,),f,(,x,0,),4,求函数,y,f,(,x,),在区间,a,，,b,上的最值的步骤：,(1),求,f,(,x,),在区间,a,，,b,上的极值；,(2),将第一步中求得的极值与,f,(,a,),，,f,(,b,),比较，得到,f,(,x,),在区间,a,，,b,上的最大值与最小值,诊 断 自 测,1,判,断正误,(,在括号内打,“,”,或,“,”,),(1),函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的,(,),(2),函数的极大值不一定比极小值大,(,),(3),对可导函数,f,(,x,),，,f,(,x,0,),0,是,x,0,为极值点的充要条件,(,),(4),函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值,(,),解析,(1),函数在某区间或定义域内极大值可以不止一个，故,(1),错误，,(3),对可导函数,f,(,x,),，,f,(,x,),0,是,x,0,为极值点的必要条件,答案,(1),(2),(3),(4),2.,(,选修,11P34T8),函数,f,(,x,),x,3,3,x,2,2,在区间,1,，,1,上的最大值是,_.,解析,f,(,x,),3,x,2,6,x,，令,f,(,x,),0,，得,x,0,或,x,2.,f,(,x,),在,1,，,0),上是增函数，,f,(,x,),在,(0,，,1,上是减函数,.,f,(,x,),max,f,(,x,),极大值,f,(0),2.,答案,2,考点一用导数研究函数的极值,(,多维探究,),命题角度一根据函数图象判断极值,【,例,1,1】,设,函数,f,(,x,),在,R,上可导，其导函数为,f,(,x,),，且函数,y,(1,x,),f,(,x,),的图象如图所示，则下列结论：,函数,f,(,x,),有极大值,f,(2),和极小值,f,(1),；,函数,f,(,x,),有极大值,f,(,2),和极小值,f,(1),；,函数,f,(,x,),有极大值,f,(2),和极小值,f,(,2),；,函数,f,(,x,),有极大值,f,(,2),和极小值,f,(2),其中一定成立的是,_(,填序号,),解析,由题图可知，当,x,3,，此时,f,(,x,)0,；当,2,x,1,时，,01,x,3,，此时,f,(,x,)0,；当,1,x,2,时，,11,x,0,，此时,f,(,x,)2,时，,1,x,0,，由此可以得到函数,f,(,x,),在,x,2,处取得极大值，在,x,2,处取得极小值,答案,若,b,1,，,c,1,，,则,f,(,x,),x,2,2,x,1,(,x,1),2,0,，,f,(,x,),没有极值,若,b,1,，,c,3,，,则,f,(,x,),x,2,2,x,3,(,x,3)(,x,1),当,x,变化时，,f,(,x,),与,f,(,x,),的变化情况如下表：,规律方法,(1),求函数,f,(,x,),极值的步骤：,确定函数的定义域；,求导数,f,(,x,),；,解方程,f,(,x,),0,，求出函数定义域内的所有根；,列表检验,f,(,x,),在,f,(,x,),0,的根,x,0,左右两侧值的符号如果左正右负，那么,f,(,x,),在,x,0,处取极大值；如果左负右正，那么,f,(,x,),在,x,0,处取极小值,(2),可导函数,y,f,(,x,),在点,x,0,处取得极值的充要条件是,f,(,x,0,),0,，且在,x,0,左侧与右侧,f,(,x,),的符号不同应注意，导数为零的点不一定是极值点对含参数的求极值问题，应注意分类讨论,.,【,训练,1】,设,函数,f,(,x,),ax,3,2,x,2,x,c,(,a,0),(1),当,a,1,，且函数图象过,(0,1),时，求函数的极小值；,(2),若,f,(,x,),在,R,上无极值点，求,a,的取值范围,考点二利用导数求函数的最值,【,例,2】,(2017,徐州模拟,),已,知函数,f,(,x,),(,x,k,)e,x,.,(1),求,f,(,x,),的单调区间；,(2),求,f,(,x,),在区间,0,1,上的最小值,解,(1),由,f,(,x,),(,x,k,)e,x,，得,f,(,x,),(,x,k,1)e,x,，,令,f,(,x,),0,，,得,x,k,1.,当,x,变化时，,f,(,x,),与,f,(,x,),的变化情况如下表：,所以，,f,(,x,),的单调递减区间是,(,，,k,1),；单调递增区间是,(,k,1,，,),(2),当,k,1,0,，即,k,1,时，函数,f,(,x,),在,0,1,上单调递增，,所以,f,(,x,),在区间,0,1,上的最小值为,f,(0),k,，,当,0,k,11,，即,1,k,2,时，,由,(1),知,f,(,x,),在,0,，,k,1),上单调递减，,在,(,k,1,1,上单调递增，,所以,f,(,x,),在区间,0,1,上的最小值为,f,(,k,1),e,k,1,.,当,k,1,1,，即,k,2,时，函数,f,(,x,),在,0,1,上单调递减，,所以,f,(,x,),在区间,0,1,上的最小值为,f,(1),(1,k,)e.,综上可知，当,k,1,时，,f,(,x,),min,k,；当,1,k,2,时，,f,(,x,),min,e,k,1,；当,k,2,时，,f,(,x,),min,(1,k,)e.,规律方法,求函数,f,(,x,),在,a,，,b,上的最大值和最小值的步骤：,(1),求函数在,(,a,，,b,),内的极值；,(2),求函数在区间端点的函数值,f,(,a,),，,f,(,b,),；,(3),将函数,f,(,x,),的各极值与,f,(,a,),，,f,(,b,),比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值,考点三利用导数研究生活中的优化问题,【,例,3】,某,村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池,(,不计厚度,),设该蓄水池的底面半径为,r,米，高为,h,米，体积为,V,立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为,100,元,/,平方米，底面的建造成本为,160,元,/,平方米，该蓄水池的总建造成本为,12 000,元,(,为圆周率,),(1),将,V,表示成,r,的函数,V,(,r,),，并求该函数的定义域；,(2),讨论函数,V,(,r,),的单调性，并确定,r,和,h,为何值时该蓄水池的体积最大,规律方法,求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合用导数求解实际问题中的最大,(,小,),值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点,由上表可得，,x,4,是函数,f,(,x,),在区间,(3,6),内的极大值点，也是最大值点,所以，当,x,4,时，函数,f,(,x,),取得最大值，且最大值等于,42.,答,当,销售价格为,4,元,/,千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大,x,(3,4),4,(4,6),f,(,x,),0,f,(,x,),单调递增,极大值,42,单调递减,思想方法,1,利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数的变化情况，直观而且条理，减少失分,2,求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小,3,可导函数,y,f,(,x,),在点,x,0,处取得极值的充要条件是,f,(,x,0,),0,，且在,x,0,左侧与右侧,f,(,x,),的符号不同,4,若函数,y,f,(,x,),在区间,(,a,，,b,),内有极值，那么,y,f,(,x,),在,(,a,，,b,),内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值,易错防范,1,求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能,2,求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论,3,解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好,f,(,x,),0,时的情况；区分极值点和导数为,0,的点,.,