九年级数学上册第一章特殊平行四边形第2节矩形的性质与判定讲义北师大版.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,*,*,北师大版九年级上册,第二节：矩形的性质与判定,第一章：特殊平行四边形,第一课时,矩形的性质,问题导入,下面几幅图片中都含有一些平行四边形。观察这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？,这些平行四边形中都有一个角是直角，像这样的平行四边形叫矩形。,探究新知,有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。,矩形在生活中随处可见，你能举出一些生活中矩形的例子吗？与同伴交流。,。,平行四边形,有一个角,是直角,矩形,矩形是特殊的平行四边形,1.,矩形的定义,木门,纸张,电脑显示屏,生活中的矩形图片,（,1,）矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。你能列举一些这样的性质吗？,（,2,）你认为矩形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流。,想一想,矩形,边,角,对角线,对边平行且相等,对角相等,对角线互相平分,（,1,）矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？,用矩形纸片折一折，回答下列问题：,矩形是轴对称图形，矩形是中心对称图形,.,自主探究,O,2.,矩形的性质,（,2,）从边、角、对角线方面，观察或度量猜想矩形的特殊性质,边：对边平行且相等（与平行四边形相同），邻边互相垂直；,角：四个角是直角；,对角线：相等且互相平分,A,B,C,D,O,已知,:,如图,四边形,ABCD,是矩形，,ABC=90,，对角线,AC,与,BD,相交于点,O,求证：（,1,）,ABC=BCD=CDA=DAB=90,；,（,2,）,AC=BD.,分析,:(1),由矩形的定义,利用对角相等,邻角互补可使问题得证,.,(2),根据矩形的性质,可转化,为全等三角形,(SAS),来证明,.,D,B,C,A,定理,:,矩形的四个角都是直角，两条对角线相等。,证明：,(1),四边形,ABCD,是矩形，,ABC=CDA,BCD=DAB(,矩形的对角相等），,ABC+BCD=180,，,又,ABC=90,，,BCD=90,，,ABC=BCD=CDA=DAB=90,，,D,B,C,A,(2),四边形,ABCD,是矩形，,AB=DC(,矩形的对边相等），,在,ABC,和,DCB,中，,AB=DC,ABC=DCB,BC=BC,ABC,DCB,AC=DB.,D,B,C,A,矩形的特殊性质：,性质,1,、矩形的四个角都是直角,性质,2,、矩形的两条对角线相等,几何语言,:,四边形,ABCD,是矩形,DAB=ABC=BCD=CDA=90,AC=BD,D,B,C,A,谈究新知,仔细观察,Rt,ABC,，,BO,是,Rt,ABC,的什么特殊线段？与斜边有什么数量关系？,BO,是斜边,AC,上的中线，,BO,等于,AC,的一半,.,推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。,例,1.,如图矩形,ABCD,的两条对角线相交于点,O,若,AC=4,，则,OD,的长是（）,C,解析：根据矩形的对角线相等得到,BD=AC=4,，再根据对角线互相平分得到,OD=2,，故选,C.,A.1 B.C.2 D.,例题讲解,例,2.,如图，矩形,ABCD,沿,AE,折叠，使点,D,落在,BC,边上的点,F,处，如果,BAF=60,，那么,DAE,等于（）,A.15,B.30,C.45,D.60,A,解析：根据矩形的四个角都是直角，得到,BAD=90,，根据已知可以计算出,FAD=30,，再由折叠的性质可以得到,DAE=15,.,例,3,如图，在,ABC,中，,AB,AC,8,，,AD,是底边上的高，,E,为,AC,的中点，则,DE,解析：,根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，,DE,等于,AC,的一半，所以,DE=4.,答案：,4,4,例,4.,已知,:,如图,AC,BD,是矩形,ABCD,的两条对角线,AC,BD,相交于点,O,AOD=120,AB=2.5cm.,求矩形对角线的长,.,解,:,四边形,ABCD,是矩形,.,BD=2AB=2,2.5=5(cm).,AC=BD,DAB=90,.,D,B,C,A,O,AOD=120,.,ODA=OAD=,OA=OD,定理,:,如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形,.,求证,:ABC,是直角三角形,.,已知,:CD,是,ABC,边,AB,上的中线,且,分析,:,要证明,ABC,是直角三角形,可以将点,A,B,C,构造平行四边形,然后证明其对角线相等,即可证明是矩形,.,拓展提高,证明,:,延长,CD,到,E,使,DE=DC,连接,AE,BE.,四边形,ACBE,是平行四边形,.,AB=2CD,CE=2CD.,AC=DB.,四边形,ACBE,是矩形,.,AD=BD,CD=ED.,ACB=90,.,ABC,是直角三角形,.,课堂总结,请各位同学回忆一下矩形的性质有哪些？请从边，角，对角线和对称性的角度进行分析,.,边,角,对角线,对称性,矩形的两组对边平行且相等,矩形的邻边垂直,矩形的四个角都是直角,矩形的对角线互相平分,矩形的对角线相等,矩形是中心对称图形，对称中心是两条对称轴的交点,矩形是轴对称图形，对称轴分别是两条长的中点的连线和两条宽的中点的连线.,课后作业,1.,习题,2.1,：知识技能第,2,，,3,两题,2.,预习第二课时,.,第二课时,矩形的判定,有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。,3.,矩形的特殊性质,1.,矩形的定义,（）矩形的四个角都是直角,（）矩形的对角线相等,2.,矩形的特征,矩形是一个轴对称图形和中心对称图形,我们可以怎样判定一个四边形是矩形？,复习引入,制作一个如图所示的平行四边形的活动框架,.,在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在两个相对的顶点上，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生什么变化？,探究,1,当 时，平行四边形为矩形。,有一个角是直角的平行,四边形叫做矩形,.,定义：,几何语言：,四边形,ABCD,是平行四边形且,A=90,四边形,ABCD,是矩形,矩形的判定,1,：定义法,D,B,C,A,矩形的性质“,两条对角线相等,”中，“,对角线互相平分,”是平行四边形所具有的一般性质，而“,对角线相等,”是矩形所特有的性质。,由此，可以得到一个猜想：“,如果一个平行四边形,的两条对角线相等,，,那么这个平行四边形是一个矩,形。,”,除定义法之外，还能找到其他的判定方法吗？,工人师傅为了检验,两组对边相等,的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果,对角线长相等,，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？,对角线,相等,的,平行四边形,是矩形。,探究,2,如图，在平行四边形,ABCD,中，,AC,、,BD,是它的两条对角线，且,AC=DB,，证明：四边形,ABCD,是矩形,证明：,四边形,ABCD,是平行四边形,AB=DC,AB/DC,又,BC=CB,AC=DB,ABC,DCB,ABC=DCB,平行四边形,ABCD,是矩形,AB/DC,ABC+DCB=180,，,ABC=DCB=,分析,:,要证明,ABCD,是矩形,只要证明有一个角是直角即可,.,验证猜想,对角线相等的平行四边形是矩形。,在,ABCD,中，,AC=BD,ABCD,是矩形,矩形的判定,2,：,几何语言：,D,B,C,A,O,一同学用“边,直角、边,直角、边,直角、边”这样四步，画出了一个四边形，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？,猜想,：有三个角是直角的四边形是矩形。,你能证明上述结论吗？,探究,3,已知,:,如图,在四边形,ABCD,中,A=B=C=90,.,分析,:,利用同旁内角互补,两直线平行来证明四边形是平行四边形,可使问题得证,.,证明,:,A=B=C=90,A+B=180,B+C=180,.,ADBC,ABCD.,求证,:,四边形,ABCD,是矩形,.,四边形,ABCD,是平行四边形,.,D,B,C,A,四边形,ABCD,是矩形,.,验证猜想,三个角是直角的四边形是矩形,.,在四边形,ABCD,中,A=B=C=90,四边形,ABCD,是矩形,矩形的判定,3,：,几何语言：,矩形常用的判定方法：,1.,有一个角是直角的平行四边形是矩形,.,2.,对角线相等的平行四边形是矩形,.,3.,有三个角是直角的四边形是矩形,.,例题讲解,例,1.,判断题：,（,1,）有一个角是直角的四边形是矩形。（）,（,2,）四个角都相等的四边形是矩形。,（）,（,3,）对角线相等的四边形是矩形。,（）,（,4),对角线互相平分且相等的四边形是矩形,（）,（,5,）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形。,（）,例,2.,如图所示，已知,ABCD,，下列条件：,AC=BD,，,AB=AD,，,1=2,，,ABBC,中，能说明,ABCD,是矩形的有,（填写序号）,.,解析：,根据对角线相等的平行四边形是矩形；矩形的定义,.,答案：,例,3.,如图，在平行四边形,ABCD,中，,M,是,AD,边的中点，且,MB=MC,，求证：四边形,ABCD,是矩形,.,分析：要证明平行四边形,ABCD,是矩形，则只需验证有一个角是直角或对角线相等即可；,根据题意可得,AMB,DMC,，从而有,A=D,再结合,AB/CD,，得到,A=90,，即得证,.,证明：,四边形,ABCD,是平行四边形,AB/DC,，,AB=DC,，,A+D=180,，,M,是,AD,的中点,AM=MD,MB=MC,AMB,DMC(SSS),A=D,A+D=180,A=90,平行四边形,ABCD,是矩形,.,例,4.,已知平行四边形,ABCD,的对角线,AC,、,BD,交于,O,，,AOB,是等边三角形，,AB=4cm,，求这个平行四边形的面积,.,A,B,C,D,O,解：,ABCD,是平行四边形，,AC=2OA,，,BD=2OB,。,OA=OB,，,AC=BD,，,ABCD,是矩形。,在,RtABC,中，,AB=4cm,，,AC=2AO=8cm,，,BC=,巩固练习,1.,如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC=BD，则下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是（）,A.AB=CD B.OA=OC，OB=OD,C.ACBD D.ABCD，AD=BC,解：A、由AB=DC，AC=BD无法判断四边形ABCD是矩形,故错误,B、OA=OC，OB=OD，,四边形ABCD是平行四边形，,AC=BD，,四边形ABCD是矩形故正确,C、由ACBD，AC=BD无法判断四边形ABCD是矩形，故错误,D、由ABCD，AC=BD无法判断四边形ABCD是矩形，故错误,B,2.,如图，矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点P从A 开始沿折线A-B-C-D以4cm/s的速度运动，点Q从C开始沿CD边以1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），当t=_ 时，四边形APQD也为矩形,解：根据题意，当AP=DQ时，四边形APQD为矩形此时，4t=20-t，解得t=4（s）,故答案是：4,4,3.,如图，在ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PEAB于E，PFAC于F，则EF的最小值为 _,解：连接AP，,在ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，,即BAC=90,又PEAB于E，PFAC于F，,四边形AEPF是矩形，,EF=AP，,AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4，,EF的最小值为2.,4.,2.4,4.,如图，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD为BC边上的高，过点A作AEBC，过点D作DEAC，AE与DE交于点E，AB与DE交于点F，连结BE,（1）求证：四边形AEBD是矩形；,（2）求四边形AEBD的面积,分析（1）利用平行四边形的性质和矩形的判定定理推知平行四边形AEBD是矩形,（2）在RtADC中，由勾股定理可以求得AD的长度，由等腰三角形的性质求得BD的长度，则矩形的面积=长宽=ADBD，即可得出结果,（1）证明：AEBC，BEAC，,四边形AEDC是平行四边形,AE=CD,在ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，,ADB=90，BD=CD,BD=AE,四边形AEBD是矩形,（2）解：在RtADC中，,ADB=90，AC=5，BD=CD=BC=3，,AD=,四边形AEBD的面积=BDAD,=,34=12,(1),对角线相等的四边形是矩形吗,?,(2),需要添加什么条件才能使 对角线相等的四边形是矩形吗,?,归纳：,对角线相等且互相平分的四边形是矩形,AC=BD,且,OA=OC OB=OD,四边形,ABCD,是矩形,等腰梯形,拓展提高,A,B,C,D,E,F,G,H,O,例：已知：矩形,ABCD,的对角线,AC,、,BD,相交于,O,，,E,、,F,、,G,、,H,分别是,AO,、,BO,、,CO,、,DO,上的一点，且,AE=BF=CG=DH,。,求证：四边形,EFGH,是矩形。,证明,：,四边形,ABCD,是矩形,AO=BO=CO=DO,又,AE=BF=CG=DH,OE=OF=OG=OH,四边形,EFGH,是平行四边形,又,EO+OG=FO+OH,即,EG=FH,四边形,EFGH,是矩形,一个角是直角,对角线相等,有三个角是直角,五种判定方法,四边形,平行四边形,矩形,矩形的判定方法：,课堂总结,课后作业,1.,习题,2.2,：知识技能第,1,，,2,两题,2.,预习第三课时,.,第三课时,矩形的判定与性质的应用,有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。,2.,矩形的特殊性质,1.,矩形的定义,（）矩形的四个角都是直角,（）矩形的对角线相等,复习引入,3.,矩形的判定,(A).,有一个角是直角的平行四边形是矩形,.,(B).,对角线相等的平行四边形是矩形,.,(C).,有三个角是直角的四边形是矩形,.,10/29/2026,4,、直角三角形的性质及判定方法：,角：,直角三角形两锐角互余。,线段：,边角关系：,1,、勾股定理：两直角边的平方和等于斜边,的平方。,2,、斜边中线的性质：直角三角形斜边中线,等于斜边的一半。,1,、直角三角形中，,30,角所对的直角边,等于斜边的一半。,2,、直角三角形中，若直角边等于斜边的一半，,那么这条直角边所对的角等于,30,。,A,B,C,D,矩形性质和判定的应用,例,1.,如图，在矩形,ABCD,中，,AD=6,，对角线,AC,与,BD,相交于点,O,AEBD,，垂足为,E,，,ED=3BE,求,AE,的长,.,分析：根据矩形的对角线互相平分且相等，可得到,OE=BE,再结合,AEBD,，可得,AB=AO,从而有,ABO,是等边三角形，求出,ADE=30,，在,Rt,ADE,中，即可求出,AE,的长,.,探究新知,解：,四边形,ABCD,是矩形，,AO=BO=CO=BD(,矩形的对角线相等且互相平分），,BAD=90,（矩形的四个角都是直角）,ED=3BE,BE=OE,又,AEBD,AB=AO,，,AB=AO=BO,即,ABO,是等边三角形,ABO=60,ADB=90,-ABO=90,-60,=30,，,在,Rt,AED,中，,ADE=30,，,例,2.,ABC,中,AB=AC,AD,是,BC,边上中线，,AN,平分,MAC,，,CEAN,，,AC,与,DE,交于,O,点，求证：四边形,ADCE,是矩形；（,2,）判断,OD,与,AB,的关系，并说明理由,.,分析：（,1,）根据等腰三角形性质可得,ADBC,AD,平分,BAC,，又因为,AN,平分,MAC,可得,DAE,为,90,，再加上,CEAN,就可证明四边形,ADCE,是矩形,.,（,2,）证得矩形后，可得,O,点是,AC,中点，那么,OD,是,ABC,的中位线，就能得到,OD,与,AB,的关系了。,解：,(1)AB=AC,AD,是中位线，,ADBC,AD,平分,BAC,，,ADC=90,，,又,AN,平分,MAC,，,又,CEAN,，,CEA=90,，,四边形,ADCE,是矩形；,(2)OD/AB,理由：,四边形,ADCE,是矩形，,OA=OC,，,又,D,是,BC,边中点，,OD,是,ABC,的中位线，,OD/AB,.,1,如图,，,矩形,ABCD,的对角线,AC,10,，,BC,8,，,则图中五个小矩形的周长之和为,_,巩固练习,解析：AC=10,BC=8,根据勾股定理,28,图中的五个小矩形的周长之和,即大矩形的周长,2(AB+BC)=2(6+8)=28,.,2,如图,，,平行四边形,ABCD,中,，,对角线,AC,，,BD,相交于,O,，,AE,BD,于,E,，,若,DAE,BAE,31,，,则,EAC,的度数是,(),A,18 B,36 C,45 D,72,C,解：四边形ABCD是矩形，,BAD=90，,DAE=3BAE，BAE+DAE=BAD，,BAE=22.5，DAE=67.5，,AEBD，,AEB=90，,ABO=AEB-BAE=90-22.5=67.5，,四边形ABCD是矩形，,AC=BD，OA=,AC,，OB=BD，,OA=OB，,OAB=ABO=67.5，,C,AE=67.5-22.5=45，,故选,C.,3,、,矩形的一边长为,6,，各边中点围成的四,边形的周长是,20,，则矩形的对角线长,为,，,面积为,。,解析：矩形各边中点围成的四边形为菱形，且周长为,20,菱形的边长为,5,，,故矩形的对角线的长为,10,，,矩形的另一边,=,矩形的面积,=6,8=48.,10,48,4.,如图，在,ABC,中，,AB,AC,，,D,为边,BC,上一点，以,AB,，,BD,为邻边作,ABDE,，连接,AD,，,EC,.,(1),求证：,ADC,ECD,；,(2),若,BD,CD,，求证：四边形,ADCE,是矩形,解：,(,1,),四边形,ABDE,是平行四边形,，,AB,DE,，,ABDE,，,B,EDC,，,AB,AC,，,AC,DE,，,B,ACB,，,EDC,ACB,，,又,DC,CD,，,ADC,ECD,(,2,),四边形,ABDE,是平行四边形,，,BD/AE,且,BD=AE,BD=DC,DC/AE,且,DC=AE,四边形,ADCE,是平行四边形,AC=DE,平行四边形,ADCE,是矩形,.,矩形中的折叠问题,拓展提高,1,如图,，,矩形,ABCD,中,，,AB,1,，,E,，,F,分别为,AD,，,CD,的中点,，,沿,BE,将,ABE,折叠,，,若点,A,恰好落在,BF,上,，,则,AD,_,分析：连接EF，则可证明EAFEDF，从而根据BF=BA+AF，得出BF的长，在RtBCF中，利用勾股定理可求出BC，即得AD的长度,解：连接EF，,点E、点F是AD、DC的中点，,AE=ED，CF=DF=CD=AB=。,由折叠的性质可得AE=AE，,AE=DE，,在RtEAF和RtEDF中，,EA=ED，EF=EF，,RtEAFRtEDF（HL）。,AF=DF=,在RtBCF中，,2.,如图，矩形,ABCD,中，,AD=8,，折叠纸片使,AB,边与对角线,AC,重合，点,B,落在点,F,处，折痕为,AE,，且,EF=3,，则,AB,的长为（）,A.3 B.4 C.5 D.6,分析：先根据矩形的特点求出BC的长，再由翻折变换的性质得出CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的长，再在ABC中利用勾股定理即可求出AB的长,小提示：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变,D,解：四边形ABCD是矩形，AD=8，,BC=8，,AEF是AEB翻折而成，,BE=EF=3，AB=AF，CEF是直角三角形，,CE=8-3=5，,在RtCEF中，,设AB=x，,在RtABC中,即 ，,解得x=6，,则AB=6,故答案为：,D,课堂总结,矩形中折叠问题的处理,矩形的性质与判定的应用,课后作业,习题,2.3,：知识技能第,2,，,3,两题,谢谢观赏,