高中数学第一章解三角形1.2应用举例讲义新人教版B.ppt

,-,*,-,1,.,1,.,1,正弦定理,首页,课前篇,自主预习,课堂篇,合作学习,1,.,2,应用举例,一,二,三,一、实际应用问题中的有关术语,【问题思考】,1,.,填空,:,(1),仰角和俯角,:,指在同一铅直平面内,目标视线与水平视线的夹角中,视线在水平线,上方,的角叫做仰角,视线在水平线,下方,的角叫做俯角,.,如图,所示,.,(2),方位角,:,以指北方向线作为,0,顺时针转到目标方向线的水平角叫做方位角,.,如图,所示,.,一,二,三,(3),方向角,:,相对于某一,正方向,的水平角,如北偏东,60,.,(4),坡角与坡度,:,坡面与,水平面,的夹角叫做坡角,坡面的,铅直高度,h,与,水平宽度,l,的比叫做坡度,(,或坡比,),.,设坡角为,坡度为,i,则,i=,tan,如图,所示,.,一,二,三,2,.,仰角、俯角、方位角有什么区别,?,提示,:,三者的参照不同,仰角与俯角是相对于水平线而言的,而方位角是相对于正北方向而言的,.,3,.,做一做,:,从,A,处望,B,处的仰角为,从,B,处望,A,处的俯角为,则,的关系是,(,),A.,B.,=,C.,+,=,90,D.,+,=,180,解析,:,要正确理解仰角、俯角的含义,准确地找出仰角、俯角的确切位置,如图,从,A,处望,B,处的仰角,与从,B,处望,A,处的俯角,是内错角,(,根据水平线平行,),即,=,.,答案,:,B,一,二,三,二、三角形中的有关公式和结论,【问题思考】,1,.,填空,:,(1),在直角三角形中各元素间的关系,.,在,ABC,中,若,C=,90,AB=c,AC=b,BC=a,则有,锐角之间的关系,:,A+,B=,90,.,三边之间的关系,:,a,2,+b,2,=c,2,.,边角之间的关系,:(,锐角三角函数的定义,),一,二,三,(2),斜三角形中各元素间的关系,.,在,ABC,中,若角,A,B,C,为其内角,a,b,c,分别表示角,A,B,C,的对边,则有,角与角之间的关系,:,A+,B+,C=,;sin,A,sin,B,A,cos,B,sin,B,cos,C,sin,C,cos,A.,边与边之间的关系,:,a+bc,b+ca,c+ab,a-bc,b-ca,c-ab,.,边角之间的关系,.,正弦定理,:_(,R,为,ABC,外接圆的半径,),.,余弦定理,:,c,2,=a,2,+b,2,-,2,ab,cos,C,b,2,=a,2,+c,2,-,2,ac,cos,B,a,2,=b,2,+c,2,-,2,bc,cos,A,.,一,二,三,(3),三角形中的角的变换及面积公式,.,角的变换,.,因为在,ABC,中,A+,B+,C=,所以,sin(,A+B,),=,sin,C,;cos(,A+B,),=,-,cos,C,;tan(,A+B,),=,-,tan,C,.,一,二,三,一,二,三,答案,:,B,一,二,三,三、解应用题的一般思路,【问题思考】,1,.,填空,:,(1),读懂题意,理解问题的实际背景,明确已知和所求,理清量与量之间的关系,.,(2),根据题意画出示意图,把已知和要求的量尽量集中到有关三角形中,将实际问题抽象成解三角形模型,.,(3),选择正弦定理或余弦定理求解,.,(4),将三角形的解还原为实际问题的解,注意实际问题中单位、近似计算的要求,.,这一思路描述如下,:,一,二,三,一,二,三,2,.,做一做,:,如图,某炮兵阵地位于点,A,两观察所分别位于,C,D,两点,.,已知,ACD,为正三角形,且,DC=,km,当目标出现在点,B,时,测得,CDB=,45,BCD=,75,则炮兵阵地与目标的距离为,.,(,精确到,0,.,01 km),一,二,三,解析,:,在,BCD,中,CDB=,45,BCD=,75,CBD=,180,-,BCD-,CDB=,60,.,答案,:,2,.,91 km,一,二,三,思考辨析,判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打,“,”,错误的打,“,”,.,(1),方向角可以是钝角,.,(,),(2),方位角可以是钝角,.,(,),(3),已知三角形的两边及其夹角可以用余弦定理解三角形,.,(,),(4),已知在,ABC,中,a,b,c,满足,c,2,-a,2,-b,2,+ab=,0,则该三角形为锐角三角形,.,(,),答案,:,(1),(2),(3),(4),探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,测量距离问题,【例,1,】,如图,隔河看两目标,A,B,但不能到达,在岸边选取相距,km,的,C,D,两点,并测得,ACB=,75,BCD=,45,ADC=,30,ADB=,45,(,A,B,C,D,在同一平面内,),求两目标,A,B,之间的距离,.,思路分析,:,要求出,A,B,之间的距离,可在,ABC,(,或,ADB,),中找关系,但不管在哪个三角形中,AC,BC,这些量都是未知的,需要先在三角形中找出合适的关系式,求出它们的值,再解斜三角形即可,.,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,解,:,在,ACD,中,ADC=,30,ACD=,75,+,45,=,120,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,反思感悟测量两点间距离的三种情况,求解思路如下,:,(1),当,A,B,两点之间既不可到达也不可视时,测出两边及其夹角,运用余弦定理求解,.,(2),当,A,B,两点之间可视但有一点不可到达时,测出两角及其夹边,先用内角和定理求第三角再运用正弦定理求解,.,(3),当,A,B,两点都不可到达时,先在,ADC,和,BDC,中分别求出,AD,AC,和,BD,BC,再在,ABC,或,ABD,中运用余弦定理求解,.,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,对于例,1,你还有其他解法吗,?,解,:,在,BCD,中,因为,DCB=,45,BDC=,75,所以,CBD=,60,.,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,测量高度问题,【例,2,】,某人在塔的正东沿着南偏西,60,的方向前进,40 m,以后,望见塔在东北方向,若沿途测得塔的最大仰角为,30,求塔高,.,思路分析,:,设塔顶为,A,塔底为,B,该人从点,C,前进,40,m,后到达点,D,设在,CD,上点,E,处望塔顶的仰角最大,此时应有,AE,CD,则,AEB=,30,.,为求,AB,先求,BE,在,BCD,中,BE,CD,结合条件解三角形可求出,BE.,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,解,:,依题意画图,某人在,C,处,AB,为塔高,他沿,CD,前进,CD=,40,m,此时,DBF=,45,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,反思感悟,求,AB,的高度分为以下三类,求解思路如下,:,(1),当,BC,底部可到达时,利用直角三角形的边角关系求解,则,AB=a,tan,C.,(2),当,BD,不可到达时,利用,Rt,ABD,和,Rt,ABD,的边角关系,表达出边,a,AB,与,ACB,ADB,之间的关系,.,(3),当,BC,BD,均不可到达时,则利用,BCD,和,ABC,及正弦定理求解,.,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,变式训练,1,如图,在测量河对岸的塔高,AB,时,可以选与塔底,B,在同一水平面内的两个测点,C,与,D,现测得,BCD=,BDC=,CD=s,并在点,C,测得塔顶,A,的仰角为,求塔高,AB.,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,测量角度问题,【例,3,】,如图,在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦察艇在,A,处发现在北偏东,45,方向,相距,12,海里的,B,处水面上,有蓝方一艘小艇正以每小时,10,海里的速度沿南偏东,75,方向前进,若红方侦察艇以每小时,14,海里的速度,沿北偏东,45,+,方向拦截蓝方的小艇,若要在最短的时间内拦截住,求红方侦察艇所需的时间和角,的正弦值,.,思路分析,:,假设经过,x,小时后在,C,处追上蓝方的小艇,作出示意图,把实际数据转化到三角形中,利用正、余弦定理求解,.,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,解,:,如图,设红方侦察艇经过,x,小时后在,C,处追上蓝方的小艇,则,AC=,14,x,海里,BC=,10,x,海里,ABC=,120,.,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,反思感悟,解决追及问题的步骤,:,(1),把实际问题转化为数学问题,;,(2),画出表示实际问题的图形,并在图中标出有关的角和距离,这样借助于正弦定理或余弦定理,就容易解决问题了,;,(3),把数学问题还原到实际问题中去,.,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,面积问题,【例,4,】,在半径为,R,的扇形,OAB,中,圆心角,AOB=,60,在扇形内有一个内接矩形,求内接矩形的最大面积,.,思路分析,:,扇形的内接矩形有且仅有两种类型,:,一种是矩形的一边与扇形的一条半径重合,;,另一种是以扇形的对称轴为对称轴的矩形,.,我们分别求出这两种类型的矩形的最大面积,再取两者中较大的,就是符合条件的最大面积,.,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,解,:,如图,所示,设,PQ=x,MP=y,则矩形的面积,S=xy.,连接,ON,令,AON=,则,y=R,sin,.,在,OMN,中,利用正弦定理,得,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,反思感悟,关于求面积最值问题,关键是将面积函数表达出来,先根据已知条件利用正弦定理将与矩形面积有关的量求出,再转化为求三角函数最值问题,这是这一类问题常用的解题思路,.,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,变式训练,3,如图,公园内有一块边长为,2,a,的等边三角形,ABC,形状的土地,现修成草坪,图中,DE,把草坪分成面积相等的两部分,点,D,在,AB,上,点,E,在,AC,上,.,(1),设,AD=x,(,x,a,),DE=y,求用,x,表示,y,的函数关系式,;,(2),如果,DE,是灌溉水管,为节约成本希望它最短,那么,DE,的位置应该在哪里,?,如果,DE,是参观线路,那么希望它最长,DE,的位置又应该在哪里,?,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,解,:,(1),在,ABC,中,点,D,在,AB,上,a,x,2,a.,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,a,2,t,1,t,2,0,t,1,-t,2,0,a,4,t,1,t,2,0,f,(,t,1,),f,(,t,2,),.,f,(,t,),在区间,a,2,2,a,2,),内是减函数,同理,f,(,t,),在区间,2,a,2,4,a,2,上是增函数,.,又,f,(,a,2,),=,3,a,2,f,(2,a,2,),=,2,a,2,f,(4,a,2,),=,3,a,2,.,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,1,.,如图,在河岸,AC,测量河的宽度,BC,测量下列四组数据,较适宜的是,(,),A.,a,和,c,B.,c,和,b,C.,c,和,D.,b,和,解析,:,在河的一岸测量河的宽度,关键是选准基线,在本题中,AC,可看做基线,在,ABC,中,能够测量到的分别为边,b,和角,.,答案,:,D,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,2,.,如图,已知两座灯塔,A,和,B,与海洋观察站,C,的距离都等于,a,km,灯塔,A,在观察站,C,的北偏东,20,灯塔,B,在观察站,C,的南偏东,40,则灯塔,A,与,B,的距离为,(,),解析,:,显然,ACB=,120,AC=BC=a,km,则,CAB=,CBA=,30,.,答案,:,B,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,