第4章-时间序列模型-系统建模理论与方法-教学.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第,4,章 时间序列模型,4.1趋势外推模型,4.2,ARMA,模型,4.3,CARMA,模型,4.4,小结,4.3.2CARMA模型的结构识别,1.基于残差平方和的结构判别法,2.根据残差序列判定模型结构,3.根据信息量判定模型结构,1.基于残差平方和的结构判别法,用J表示残差的平方和。一般来讲，在残差中包含两种误差：一种是系统误差，认为主要是由模型结构引起的；另一种是随机误差，也就是由干扰引起的误差。那么,J=Js+Jr,式中，Js表示系统误差;Jr表示随机误差。,2.根据残差序列判定模型结构,图4-3Jm曲线,3.根据信息量判定模型结构,近代的系统辨识理论提出一个观点，认为建模就是从一个模型类之中，选出接近于系统的模型。这是一种符合实际的想法。它允许在残差中存在系统误差，而且认为系统误差也是不可避免的，重要的是模型是否能充分地从样本当中提取有用的信息。当使用信息量准则判定模型的阶次时，可采用极大似然估计的方法，在一定条件下，可以证明极大似然估计与最小二乘法估计等价。,4.3.3CARMA模型的参数估计,1.无偏性分析,2.协方差函数分析,3.辅助变量法,4.扩充最小二乘法,1.无偏性分析,在公式(4-62)中，由于矩阵中含有随机分量，进行统计分析不很方便，令,xu+,式中，xu为确定性分量组成的矩阵；为随机分量组成的矩阵。,那么，在推导式(4-62)的过程中的式TnY就可以写成,Txuxu+Txu+Txu+Tn(Txu+T)Y(4-63),对式(4-63)两边取均值，并近似认为n与相互独立，考虑E()，有,TxuxuE(n)+E(T)E(n)TxuE(Y)+(TY),或,E(n)(Txuxu)-1TxuE(Y)+(TY)-E(T)E(n),+(Txuxu)-1(TY)-E(T)E(n)(4-64),从式(4-64)可以看出，一般来讲对于CARMA模型最小二乘法得不到无偏估计，即使噪声为白噪声，也不能肯定参数估计值的无偏性，除非能够证明,(TY)E(T)E(n)(4-65),然而由于噪声的分布函数不知道，所以很难证明式(4-65)。进一步研究表明，式(4-65)是否成立与参数aj,j=1,2,m的估计值j在计算中的收敛速度有关，当n时，若aj-Ej是1/n的高阶无穷小，那么n是渐进无偏的。,3.辅助变量法,为了消除随机干扰引起的估计误差，构造一个新的变量，使它与噪声不相关，但是与有用信息相关，称之为辅助变量。用辅助变量处理方程式(4-61)，可以得到一个与式(4-62)类似的求解公式，但是新的解法可以得到一个无偏的估计量。,设辅助变量组成矩阵Rn(2m+1)，并且满足条件,ETlimn1nT(4-67),ETlimn1nTH(4-68),式中，n为数据长度；m为模型阶次；H为非奇异矩阵。,用T左乘式(4-62)的两边，得到,TYT+T(4-69),用最小二乘法求解式(4-69)确定的参数估计问题，得到的参数估计为,n(T)-1TY(4-70),其估计误差为,n(T)-1T(4-71),利用式(4-67)和式(4-68)很容易证明式(4-70)表达的参数估计值的一致性和渐进无偏性。,4.扩充最小二乘法,认为式(4-61)中的有色噪声由自回归模型,(k)=(k)+c1(k-1)+cm(k-m)(4-72),描述，其中序列(k)为白噪声。把参数c1,c2,cm也放入参数向量中，就构成了扩充最小二乘模型。,使用扩充最小二乘法的关键是估计白噪声序列(k)，可以采用处理AR模型的方法，先估计不含噪声模型参数c1,c2,cm的参数向量,=1，2，,m，b0,b1,bm,然后计算第一次噪声向量的估计值,Y-(4-73),式中，是由噪声估计值序列(k),k=1,2,n构成的向量。,建立模型,y(k)=T(k)+(k)(4-74),式中，a1,a2,am,b0,b1,bm,c1,c2,cm,T(k)=-y(k-1),-y(k-m),u(k),u(k-m),(k-1),(k-m),用最小二乘法求解式(4-74)的模型参数，得到第一次参数估计值1以后，利用式(4-73)对噪声进行新的估计，得到，再不是利用式(4-74)求解第二次模型参数估计值，然后再利用式(4-73)估计噪声，如此继续下去，一直到达到指定的精度为止。,4.4小结,序号,1,2,3,4,5,6,7,8,观测值,6669,6077,6040,6040,6382,6703,7328,7705,序号,9,10,11,12,13,14,15,16,观测值,7373,8015,8580,9292,10233,11067,11636,12711,序号,17,18,19,20,21,22,23,观测值,13394,14328,15586,18000,21400,22504,25700,表4-3我国19661982年电力供应变化的数据(单位：MW),