第3章--点、直线、平面的投影(建筑制图与识图).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,土木工程系,第,3,章 点、直线、平面的投影,3.1,点的投影,前面我们已经学习了正投影法的表达特点，在本书中除了做特殊说明的以外，大多数的工程图样我们都使用正投影的方法进行表达。均遵循“长对正，高平齐，宽相等”的原则。,3.1.1,点的三面投影及其标注,在引例中我们选一个空间点,A,作为研究对象，如图,3.1(a),所示。,假设空间有一点,A,，过点,A,分别向,H,面、,V,面和,W,面作垂线，得到三个垂足,a,、,a,、,a,，便是点,A,在三个投影面上的投影，如图,3.1(b),所示。在这里规定用大写字母（如,A,）表示空间点，它的水平投影、正面投影和侧面投影，分别用相应的小写字母（如,a,、,a,和,a,）表示。,根据三面投影图的形成规律将其展开，可以得到如图,3.1,（,c,）所示的带边框的三面投影图，即得到点,A,三面投影；省略投影面的边框线，就得到如图,3.1,（,d,）所示的,A,点的三面投影图,3.1,点的投影,（,c,）,（,b,）,（,d,）,（,b,）,（,b,）,（,a,）,图,3.1,点的三面投影及标注,3.1,点的投影,3.1.2,点的投影规律,从图,3.1,（,d,）可以看出，,Aa,、,Aa,、,Aa,分别为点,A,到,H,、,V,、,W,面的距离，即：,Aa=aaX=aa y(,即,aaYW),，反映空间点,A,到,H,面的距离；,Aa=aaX=aaZ,，反映空间点,A,到,V,面的距离；,Aa=aaZ=aay(,即,aYH),，反映空间点,A,到,W,面的距离；,上述即是点的投影与点的空间位置的关系，根据这个关系，若已知点的空间位置，就可以画出点的投影。反之，若已知点的投影，就可以完全确定点在空间的位置。,aaYH=aaZ,即,aaOX,；,aaX=aaYW,即,aaOZ,；,aaX=aaZ,这说明点的三个投影不是孤立的，而是彼此之间有一定的位置关系。而且这个关系不因空间点的位置改变而改变，因此可以把它概括为普遍性的投影规律：,3.1,点的投影,由于,a,与,a,的连线垂直于,OX,轴，所以,a,一定在过,a,而垂直于,OX,轴的直线上。又由于,a,到,OX,轴的距离必等于,a,到,OZ,轴的距离，因此截取,aaX=aaZ,，便求得了,a,点。,为了作图简便，可自点,O,作辅助线（与水平方向夹角为,45,），以表明,aaX=aaZ,的关系。,3.1.3,点的投影与坐标,三投影面体系可以看成是一个空间直角坐标系，因此可用直角坐标确定点的空间位置。投影面,H,、,V,、,W,作为坐标面，三条投影轴,OX,、,OY,、,OZ,作为坐标轴，三轴的交点,O,作为坐标原点。,可以看出,A,点的直角坐标与其三个投影的关系：,点,A,到,W,面的距离,=OaX=aaZ=aaYH=x,坐标；,点,A,到,V,面的距离,=OaYH=a aX=aaZ=y,坐标；,点,A,到,H,面的距离,=OaZ=aaX=aaYW=z,坐标,。,3.1,点的投影,图,3.3,点的三面投影与直角坐标,3.1,点的投影,用坐标来表示空间点位置比较简单，可以写成,A(x,，,y,，,z),的形式。,坐标,x,和,z,决定点的正面投影,a,，坐标,x,和,y,决定点的水平投影,a,，坐标,y,和,z,决定点的侧面投影,a,，若用坐标表示，则为,a(x,，,y,，,0),，,a(x,，,0,，,z),，,a(0,，,y,，,z),。,因此，已知一点的三面投影，就可以量出该点的三个坐标；相反地，已知一点的三个坐标，就可以量出该点的三面投影。,【,例,3-2,】,已知点,A,的坐标（,20,，,10,，,18,），作出点的三面投影，并画出其立体图。,画点的三面投影作图步骤如下（如图,3.4,所示）：,1,画坐标轴，在,OX,轴上自,O,向左量取,20,，定出,aX,。,2,过,aX,作,OX,轴的垂线，并从,aX,向下量取,aaX=10,得,a,点，从,aX,向上量取,aaX=10,，得,a,点。,3,自,a,点作,OZ,轴的垂线，得交点,aZ,，自,aZ,向右量取,aZa=10,，得,a,点。,3.1,点的投影,画点的立体图作图步骤如下（如图,3.5,所示）：,1,根据投影图的坐标值，按,11,的比例沿各轴量取,x,、,y,、,z,尺寸得,aX,、,aY,、,aZ,。,2,过,aX,、,aY,、,aZ,在各坐标面上分别引各轴的平行线，得点,A,的三个投影,a,、,a,、,a,。,3,过,a,作,aA OZ,，过,a,作,aA OY,，过,a a“,作,a a”A OX,，所作三直线的交点即为空间的点,A,。,（,a,）,(b)(c),图,3.5,已知点的坐标画其立体图,3.1,点的投影,3.1.4,两点的相对位置,空间两点的相对位置可以通过其三面投影图进行描述，由它们在同一投影面上投影的坐标差来判别的，其中,x,坐标可判别左、右方位，,y,坐标可判别前、后方位，,z,坐标可判别上、下方位。,如图,3.6,（,a,）所示引例中的两空间点,A,、,B,，它们的相对位置可通过绘制其三面投影图进行分析。,绘制已知空间两点的投影，即点,A,的三个投影,a,、,a,、,a“,和点,B,的三个投影,b,、,b,、,b”,，如图,3.6,（,b,）所示。用,A,、,B,两点同面投影坐标差就可判别,A,、,B,两点的相对位置。如图,3.6(c),所示，,xA xB,，故,B,点在,A,点的右方；,zB zA,，,B,点在,A,点的上方；同理，,yA yB,，则,B,点在点的,A,后方。也就是说,B,点在,A,点的右、后、上方。,观察图,3.7,（,a,）所示引例中的两空间点,A,、,C,，发现它们的相对位置具有一些特殊性。即它们在水平投影面上的投影点是重合的。,3.1,点的投影,若空间两点在某一投影面上的投影重合，则这两点是该投影面的重影点。这时，空间两点的某两坐标相同，并在同一投射线上。当两点的投影重合时，就需要判别其可见性，即两点中哪一点可见，哪一点不可见。,判别可见性时应注意：,对,H,面的重影点，从上向下观察，,z,坐标值大者可见；,对,W,面的重影点，从左向右观察，,x,坐标值大者可见；,对,V,面的重影点，从前向后观察，,y,坐标值大者可见。,为了在投影图上对投影点进行区分，我们规定将不可见的投影用加括号的方法表示，如（,a,）。,如图,3.7,（,b,）所示的空间点,C,、,D,位于垂直,H,面的投射线上，其水平投影,c,、,d,重合为一点，则空间点,C,、,D,为对,H,面的重影点，,z,坐标值大的点为可见点，图中,zC zD,，故,c,为可见，,d,为不可见，用,c,（,d,）表示。,3.1,点的投影,3.1.5,特殊位置上的点,在图,3.7,（,a,）所示引例中的空间点,C,、,D,、,E,它们在空间的位置有一些特殊性，空间点,C,在水平投影面上，空间点,D,在侧面投影面上，而空间点,E,则在,x,投影轴上。我们称这些点为特殊位置上的点。,在投影面上的点,由于在投影面上，故它有一个坐标为,0,。它的三面投影，必定有两个投影在投影轴上，另一个投影和其空间点本身重合。例如在,V,面上的点,A,，它的,y,坐标为,0,。所以，它的水平投影,a,在,OX,轴上，侧面投影,a,在,OZ,轴上，而正面投影,a,在,V,面上与其空间点本身重合为一点，如图,3.8,（,a,）所示。,在投影轴上的点,由于在投影轴上，故它有两个坐标为,0,。它的三面投影中，必定有一个投影在原点上，另两个投影和其空间点本身重合。例如在,OZ,轴上的点,B,，它的,x,、,y,坐标为,0,。所以，它的水平投影,b,在原点，正面投影,b,、侧面投影,b“,在,OZ,轴上与其空间点本身重合为一点，如图,3.8,（,b,）所示；,在原点上的空间点,3.1,点的投影,由于它有三个坐标都为,0,，因此，它的三个投影必定都在原点上。如图,3.8,（,c,）所示。,（,a,）空间点在投影面上,(b),空间点在投影轴上,(c),空间点在原点上,图,3.8,特殊位置的点,3.2,直线投影,3.2.2,各种位置直线的投影,空间直线对投影面有三种位置关系：平行、垂直和倾斜（一般位置）。,1.,投影面平行线投影特性,投影面平行线是指若空间直线平行于一个投影面，倾斜于其他两个投影面，这样的直线称之为投影面平行线，按其平行于,V,、,H,、,W,面分别称之为正平线、水平线和侧平线。投影面平行线在其平行的投影面上的投影反映实长，其他两个投影面上投影垂直于相应的投影轴，且投影线段的长小于空间线段的实长，如表,3-1,所示,表,3-1,投影面平行线的立体图、投影图及投影特征,3.2,直线投影,名称,正平线（,V,）,水平线（,H,）,侧平线（,W,）,实,例,立,体,图,3.2,直线投影,投影图,投,影,特,性,(1),正面投,ab,反映实长。,(2),正面投影,ab,与,OX,轴和,OZ,轴的夹角,、,分别为,AB,对,H,面和,W,面的倾角。,(3),水平投影轴,abOX,轴，侧面投影,abOZ,轴，且都小于实长。,(,1),水平投影,ef,反映实长。,(2),水平投影,ef,与,OX,轴和,OYH,的夹角,、,分别为,EF,对,V,面和,W,面的倾角。,(3),正面投影,efOX,轴，侧面投影,efOYW,，且都小于实长。,(1),侧面投影,ij,反映实长。,(2),侧面投影,ij,与,OZ,轴和,OYW,轴的夹角,和,分别为,EF,对,V,面和,H,面的倾角。,(3),正面投影,ijOZ,轴，水平投影,ijOYH,，且都小于实长。,3.2,直线投影,【,例,3-3,】,如图,3.10,（,a,）所示，已知直线,AB,的水平投影,ab,，并知,AB,对,H,面的倾角为,30,，,A,点距水平投影面,H,为,5mm,，,A,点在,B,点的左下方，求,AB,的正面投影,ab,。,分析：由,AB,的水平投影,ab,可知,AB,是正平线；正平线的正面投影与,OX,轴的夹角反映直线与,H,面的倾角。又知点到水平投影面,H,的距离等于正面投影到,OX,轴的距离，为此，可以求出,a,。,作图步骤如下：,1,过,a,作,OX,轴的垂直线,aax,，在,aax,的延长线上截取,aax=5mm,，如图,3.10,（,b,）所示。,2,过,a,作与,OX,轴成,30,的直线，与过,b,作,OX,轴垂线,bbx,的延长线相交，因点,A,在点,B,的左下方，得,b,，如图,3.10,（,c,）所示。,图,3.10,求正平线的投影,3.2,直线投影,2.,投影面垂直线投影特性,投影面垂直线是指若空间直线垂直于一个投影面，则必平行于其他两个投影面，这样的直线称之为投影面垂直线，对于垂直于,V,、,H,、,W,面的直线分别称之为正垂线、铅垂线和侧垂线。投影面垂直线在其垂直的投影面上的投影积聚为一个点，其他两个投影面上投影垂直于相应的投影轴，且反映实长，如表,3-2,所示。,表,3-2,投影面垂直线的立体图、投影图及投影特征,名称,正垂线（,V,）,铅垂线（,H,）,侧垂线（,W,）,实,例,3.2,直线投影,3.,一般位置直线投影特性,与三个投影面都处于倾斜位置的直线称为一般位置直线。,如图,3.11,（,a,）所示，直线,AB,与,H,、,V,、,W,面都处于倾斜位置，倾角分别为,、,、,。其投影如图,3.11,（,b,）所示。,图,3.11,一般位置直线的投影,（,a,）,(b),3.2,直线投影,一般位置直线的投影特性可归纳为：,1直线的三个投影和投影轴都倾斜，各投影和投影轴所夹的角度不等于空间线段对相应投影面的倾角；,2任何投影都小于空间线段的实长，也不能积聚为一点。,对于一般位置直线的辨认：直线的投影如果与三个投影轴都倾斜，则可判定该直线为一般位置直线。,3.2,直线投影,3.2.3,直线上的点,点在直线上，则点的各个投影必定在该直线的同面投影上，反之，若一个点的各个投影都在直线的同面投影上，则该点必定在直线上。如图,3.12,（,a,）所示直线,AB,上有一点,C,，则,C,点的三面投影,c,、,c,、,c,必定分别在该直线,AB,的同面投影,ab,、,ab,、,ab,上，且,cc,和,cc,分别垂直于相应的投影轴，如图,3.12,（,b,）所示。,图,3.12,直线上的点,3.2,直线投影,（,a,）,(b),3.2,直线投影,2.,连接,b,、,5,，再过分点,2,作,b5,的平行线，与,ab,相交，即得点,K,的水平投影,k,；由此求出,k,，如图,3.13,（,c,）所示。,(a)(b)(c),图,3.13,点分线段成定比,3.2,直线投影,【,例,3-5,】,判定图,3.14,（,a,）所示的点,K,，是否在侧平线,AB,上。,分析：由直线上点的投影特性可知，如果点,K,在直线,AB,上，则,akkb=akkb,。因此，可用这一定比关系来判定点,K,是否在直线,AB,上。另外，如果点,K,在直线,AB,上，则,k,应在,ab,上。所以也可用它们的侧面投影来判定。,(a)(b)(c),图,3.14,判定点是否在直线上,3.2,直线投影,投影面平行线、投影面垂直线在某一投影面上的投影总能反映空间直线段的实长及其与投影面的真实倾角，但一般位置直线在各投影面上的投影即不能反映线段的实长，也不能反映直线与投影面的倾角。在实际应用中，经常需要按照投影求出直线与投影面的倾角及线段的实长。通常将这种方法称为直角三角形法。,分析图,3.15,（,a,）可知，直线,AB,与其水平投影,ab,决定的平面,ABba,垂直于,H,面，在该平面内过,B,点作,ab,的平行线交,Aa,于点,AO,，则构成一直角,AAOB,。在直角,AAOB,中，直角边,AOB,为水平投影,ab,之长，另一直角边,AAO,则为,A,、,B,两点到,H,面的距离差（,z,坐标差）；斜边,AB,与直角边,BAO,夹角即为直线,AB,对,H,面的倾角,；斜边,AB,即为其实长。因此，只要求出直角,AAOB,的实形，即可求得,AB,对,H,面的倾角,及其实长。,不在投影图,3.15,（,b,）中，,AB,的水平投影,ab,已知，,A,、,B,两点到,H,面的距离之差，可由其正面投影求得，由此即可作出直角,AAOB.,的实形。,3.2,直线投影,（,a,）,(b),图,3.15,一般位置直线的实长和倾角,3.2,直线投影,具体的作图有两种：,方法一,（,1,）如图,3.16,（,a,）所示，求,A,、,B,两点到,H,面的距离之差：过,b,作,OX,轴的平行线与,aa,交于,a1,，则,aa1,等于,A,、,B,两点到,H,面的距离之差；,（,2,）如图,3.16,（,b,）所示，以,ab,为直角边，,aa1,为另一直角边，作直角三角形：过,a,作,ab,的垂线在该垂线上截取,aAO=aa1,，连接,bAO,，则,AOba,即为,AB,对,H,面的倾角,，,AOb=AB,（,TL,）。,（,a,）,(b),图,3.16,求一般位置直线的实长和倾角的方法一,3.2,直线投影,方法二,（,1,）如图,3.17,（,a,）所示，过,b,作,OX,轴的平行线与,aa,交于,a1,，则,aa1,即为,A,、,B,两点到,H,的距离之差；,（,2,）如图,3.17,（,b,）所示，在,ba1,的延长线上截取,a1BO=ab,，并连接,a,、,BO,，则,a1BOa,即为,AB,对,H,面的倾角,，,aBO=AB,（,TL,）,。,（,a,）,(b),图,3.17,求一般位置直线的实长和倾角的方法二,3.2,直线投影,求一般位置直线对,V,面的倾角,及实长求解，同学们可结合上述分析方法和教材，总结求解直线段对,V,面的倾角,及实长的作图方法。,【,例,3-6,】,如图,3.18,所示，已知直线,AB,的水平投影,ab,和点,A,的正面投影,a,，并知,AB,对,H,面的倾角,=30,，点,B,在点,A,之上，求,AB,的正面投影,ab,。,图,3.18,求一般位置直线的第二面投影,3.2,直线投影,分析：由于已知点,A,的正面投影,a,，所以只要求出,A,、,B,两点到,H,面的距离之差,ZB ZA,，即可确定,b,。由上述直角三角形法的原理可知，以,ab,为一直角边，作一锐角为,30,的直角三角形，则,30,角所对的直角边，即为,A,、,B,两点到,H,面的距离之差,ZB ZA,。,作图方法一：,1.,以,ab,为一直角边，作一锐角为,30,的直角,B0 ba,，则,B0 b,等于,A,、,B,两点到,H,面的距离之差,ZB ZA,，如图,3.19,（,a,）所示。,2.,过,b,作,OX,轴的垂线，过,a,作,OX,轴的平行线，两者交于,b1,，然后从,b1,沿,OX,轴的垂线向上截取,b1b=ZB ZA,（因为,B,点在,A,点之上），即得,b,，如图,3.19,（,b,）所示。,3.,连接,a,、,b,，即得,AB,直线的正面投影,ab,，如图,3.19,（,c,）所示。,3.2,直线投影,（,a,）,(b)(c),图,3.19,求一般位置直线的第二面投影的作图方法一,3.2,直线投影,作图方法二：,1.,过,b,作,OX,轴的垂直线,b b1,，过，,a,作,OX,轴的平行线，两线交于,b1,，在,ab1,的延长线上截取,b1 A0=ab,；如图,3.20,（,a,）所示。,2.,过,A0,作,30,的斜线与,b b1,的延长线相交，此交点即为,b,，连接,ab,，如图,3.19,（,b,）所示。,（,a,）,(b),（,a,）,(b),图,3.20,求一般位置直线的第二面投影的作图方法二,3.2,直线投影,3.2.5,两直线的相对位置,两直线的相对位置有平行、相交、交叉三种情况。,1.,两直线平行,若空间两直线平行，则它们的各同面投影必定互相平行。如图,3.21,（,a,）所示，由于,ABCD,，则必定,abcd,、,abc d,、,a b c d,，如图,3.21,（,b,）所示，。反之，若两直线的各同面投影互相平行，则此两直线在空间也必定互相平行。,（,a,）,(b),（,a,）,(b),图,3.21,两直线平行,（,a,）,(b),两直线平行,3.2,直线投影,在投影图中，若判别两直线是否平行，一般只要看它们的正面投影和水平投影是否平行就可以了。但对于两直线均为某投影面平行线时，若无直线所平行的投影面上的投影，仅根据另两投影的平行是不能确定它们在空间是否平行的，应从直线在所平行的投影面上的投影来判定是否平行。,如图,3.22,（,a,）所示，,AB,和,CD,为两条侧平线，看它们的正面投影,abcd,和水平投影,abcd,，但不能判定,AB,和,CD,是否平行，还需要补出它们的侧面投影来进行判定。从补出的侧面投影可以看出,ab,与,cd,不平行，这说明空间两直线,AB,和,CD,不平行。假若补出它们的侧面投影平行，则空间两直线一定平行。,图,3.22,（,b,）所示,AB,和,CD,为两条水平线，由于它们的三面投影均互相平行，所以它们是在空间也平行的两条直线,。,影不平行，图,3.22,（,c,）所示,AB,和,CD,为两条正平线，虽然它们水平和侧面投影平行，但其正面投所以它们在空间是不平行的两条直线。,3.2,直线投影,（,a,）,(b)(c),图,3.22,投影面平行线是否平行的判别,3.2,直线投影,【,例,3-7,】,已知平行四边形,ABCD,的两边,AB,和,AC,的投影，如图,3-23,（,a,），试完成平行四边形,ABCD,的投影。,分析：因为平行四边形的对边相互平行和平行投影特性可知,cdab,，,bdac,，,cdab,，,bdac,，因此只要做出这些平行线，即可完成平行四边形,ABCD,的投影。,作图方法：,1.,作,cdab,，,bdac,得,d,，如图,3-23,（,b,）所示。,(a)(b)(c),图,3.23,完成平行四边形,ABCD,的投影,2.,作,cdab,，,bdac,，,d,与,d,应在同一连线上，如图,3-23,（,c,）所示。,3.2,直线投影,（,a,）,(b)(c),图,3.23,完成平行四边形,ABCD,的投影,3.2,直线投影,2.,两直线相交,若空间两直线相交，则它们的各同面投影必定相交，且交点符合点的投影规律。如图,3.24,所示，两直线,AB,、,CD,相交于,K,点，因为,K,点是两直线的共有点，则此两直线的各组同面投影的交点,k,、,k,、,k,必定是空间交点,K,的投影。反之，若两直线的各同面投影相交，且各组同面投影的交点符合点的投影规律，则此两直线在空间也必定相交。,（,a,）,(b),图,3.24,两直线相,（,a,）,(b),图,3.24,两直线相,（,a,）,图,3.24,两直线相交,（,b,）,3.2,直线投影,在投影图中，若判别两直线是否相交，对于两条一般位置直线来说，只要任意两个同面投影的交点的连线垂直于相应的投影轴，就可判定这两条直线在空间一定相交。但是当两条直线中有一条直线是投影面平行线时，应利用直线在所平行的投影面内投影来判断。,图,3.25,（,a,）中，虽然,ab,和,cd,交于,k,，,ab,和,cd,交于,k,，且,kkOX,，但不能直接下结论，说二直线相交，通常可利用侧面投影或比例关系进行判断。,如图,3.25,（,b,），因为,CD,为侧平线，虽然正面投影和水平投影都相交，观看侧面投影，,ab,和,cd,也相交，但该交点与,k,的连线同,OZ,轴不垂直，所以该两直线不相交。,若只根据,V,、,H,两面投影来判定，如图,3.25,（,c,）所示，则需比较,ak,和,kb,的线性比与,ak,和,kb,的线性比是否相等，如果相等则相交，不等则不相交。,3.2,直线投影,（,a,）,(b)(c),图,3.25,两直线相交的判定,3.2,直线投影,【,例,3-8,】,已知四边形,ABCD,的,V,投影及其两条边的,H,投影，如图,3.26,（,a,）所示，试完成四边形在,H,面的投影。,分析：由于四边形,ABCD,对角线相交，所以，根据两线相交的投影特性，即可完成四边形,ABCD,的水平投影问题。,作图方法：,1.,连接,ac,和,bd,，得交点,k,，即两对角线交点,K,的,V,面投影，如图,3.26,（,b,）所示。,2.,因交点,K,的,H,面投影必在对角线,AC,的投影,ac,上，故连接,ac,，过,k,作,OX,垂线与,ac,交于点,k,；因点,D,的,H,面投影必在,bk,的延长线上，故连接,bk,并延长，如图,3.26,（,c,）所示。,3.,过,d,向下作,OX,轴的垂线，与,bk,的过,d,向下作,OX,轴的垂线，与,bk,延长线交于,k,，连接,da,、,dc,，,abcd,即为所求，如图,3.26,（,d,）所示。,3.2,直线投影,（,a,）,(b)(c)(d),图,3.26,根据两线相交的投影特性作四边形,ABCD,的水平投影,3.2,直线投影,3.,两直线交叉,两直线既不平行又不相交，称为交叉两直线。,若空间两直线交叉，则它们的各组同面投影必不同时平行，或者它们的各同面投影虽然相交，但其交点不符合点的投影规律。反之亦然。如图,3.27,（,a,）所示。,空间交叉两直线的投影的交点，实际上是空间两点的投影重合点。利用重影点和可见性，可以很方便地判别两直线在空间的位置。在图,3.27,（,b,）中，判断,AB,和,CD,的正面重影点,k,（,l,）的可见性时，由于,K,、,L,两点的水平投影,k,比,l,的,y,坐标值大，所以当从前往后看时，点,K,可见，点,L,不可见，由此可判定,AB,在,CD,的前方。同理，从上往下看时，点,M,可见，点,N,不可见，可判定,CD,在,AB,的上方，所以这两条直线在空间是交叉的。,3.2,直线投影,（,a,）（,b,）,图,3.27,两直线交叉,3.3,平面的投影,建筑物的形状虽然多种多样，但其投影轮廓都是由一些直线、圆弧或其他曲线组成的几何图形，为了能够正确、迅速的绘制出工程图中的平面图形，必须熟练地掌握各种几何图形的作图原理、作图方法及图形与尺寸间相互依存的关系。,3.3.1,平面的表示方法,1,不在同一直线上的三点可确定一平面，如图,3.28,（,a,）所示。,2,一直线和直线外一点可确定一平面，如图,3.28,（,b,）所示。,3,相交两直线可确定一平面，如图,3.28,（,c,）所示。,4,平行两直线可确定一平面，如图,3.28,（,d,）所示。,5,任意平面图形，如三角形、四边形、圆形等可确定一平面，如图,3.28,（,e,）所示。,3.2,直线投影,（,a,）（,b,）（,c,）（,d)(e),图,3.28,平面的表示方法,3.3,平面的投影,3.3.2,各种位置平面的投影,空间平面对投影面有三种位置关系：平行、垂直和一般位置。根据平面在三投影面体系中的位置可分为投影面倾斜面、投影面平行面、投影面垂直面三类。前一类平面称为一般位置平面，后两类平面称为特殊位置平面。,1.,投影面平行面,若空间平面平行于一个投影面，则必垂直于其他两个投影面，这样的平面称之为投影面平行面。,正平面,平行于,V,面而垂直于,H,、,W,面；,水平面,平行于,H,面而垂直于,V,、,W,面；,侧平面,平行于,W,面而垂直于,H,、,V,面。,投影面平行面在其平行的投影面上的投影反映实形，其他两个投影面上投影积聚成一条直线，且平行于相应的投影轴，如表,3-3,所示。,3.3,平面的投影,表,3,3,投影面平行面的投影特性,名称,正平线（,V,）,水平线（,H,）,侧平线（,W,）,实,例,立,体,图,3.3,平面的投影,投影图,投,影,特,性,（,1,）正面投影反映实形。,（,2,）水平投影积聚成直线且平行于,OX,轴。,（,3,）侧面投影积聚成直线且平行于,OZ,轴。,（,1,）水平投影反映实形。,（,2,）正面投影积聚成直线且平行于,OX,轴。,（,3,）侧面投影积聚成直线且平行于,OYW,轴。,（,1,）侧面投影反映实形。,（,2,）正面投影积聚成直线且平行于,OZ,轴。,（,3,）侧面投影积聚成直线且平行于,OYH,轴。,3.3,平面的投影,投影面平行面的投影特征：,1,平面平行于哪个投影面，它在该投影面上的投影反映空间平面的实形。,2,其他两个投影都积聚为直线，而且与相应的投影轴平行。,2.,投影面垂直面,若空间平面垂直于一个投影面，而倾斜于其他两个投影面，这样的平面称之为投影面垂直面。,正垂面,垂直,V,面而倾斜于,H,、,W,面；,铅垂面,垂直,H,面而倾斜于,V,、,W,面；,侧垂面,垂直,W,面而倾斜于,V,、,H,面。,平面与投影面所夹的角度称为平面对投影面的倾角。,、,、,分别表示平面对,H,面、,V,面、,W,面的倾角。投影面垂直面在其垂直的投影面上的投影积聚成一条直线，该直线和投影轴的夹角反映了空间平面和其他两个投影面所成的二面角，其他两个投影面上的投影为类似形，如表,3-4,所示。,3.3,平面的投影,表,3,4,投影面垂直面的投影特性。,名称,正垂面（,V,）,铅垂面（,H,）,侧垂面（,W,）,实,例,立,体,图,3.3,平面的投影,投影图,投,影,特,性,（,1,）正面投影积聚成一条直线，它与,OX,轴和,OZ,轴的夹角,、,分别为平面对,H,面和,W,面的真实倾角。,（,2,）水平投影和侧面投影都是类似形,（,1,）水平投影积聚成一条直线，它与,OX,轴和,OYH,的夹角,、,分别为对平面,V,面和,W,面的真实倾角。,（,2,）正面投影和侧面投影都是类似形。,（,1,）侧面投影积聚成一条直线，它与,OZ,轴和,OYW,轴的夹角,和,分别为平面对,V,面和,H,面的真实倾角。,（,2,）正面投影和水平投影都是类似形,3.3,平面的投影,投影面垂直面的投影特征：,1,平面垂直哪个投影面，它在该投影面上的投影积聚为一直线且与投影轴倾斜，并且这个投影和投影轴所夹的角度，就等于空间平面对相应投影面的倾角；,2,其他两个投影都是空间平面的类似形。,【,例,3-9,】,如图,3.29,（,a,）所示，四边形,ABCD,垂直于,V,面，已知,H,面的投影,abcd,及,B,点的,V,面投影,b,，且于,H,面的倾角,=45,，求作该平面的,V,面和,W,面投影。,（,a,）（,b,）（,c,）,图,3.29,画出四边形平面,ABCD,的投影,3.3,平面的投影,分析：因为四边形,ABCD,是正垂面，其正面投影积聚成一倾斜直线，所以做此倾斜直线与,OX,轴的夹角,=45,，再根据其水平投影求得正面投影,a b c d,，然后根据两投影可求得侧面投影。,作图方法：,1,如图,3.29,（,b,）所示，过,b,作与,OX,轴成,45,的线，使其与自,a,、,b,、,c,、,d,各点所作的,OX,轴垂线分别交于,a,、,c,、,d,。,2,如图,3.29,（,c,）所示，由四边形,ABCD,的正面投影,a b c d,和水平投影,abcd,求侧面投影，得,abcd,。,3.,一般位置平面,若空间平面和三个投影面均处于倾斜位置，称之为一般位置平面。一般位置平面在三个投影面上的投影均为类似形，在投影图上不能直接放映空间平面和投影面所成的二面角。如图,3.30,所示,3.3,平面的投影,a,）（,b,）,图,3.30,一般位置平面的投影,3.3,平面的投影,与三个投影面都处于倾斜位置的平面称为一般位置平面。,例如平面,ABC,与,H,、,V,、,W,面都处于倾斜位置，倾角分别为,、,、,。其投影如图所示。,一般位置平面的投影特征可归纳为：一般位置平面的三面投影，既不反映实形，也无积聚性，而都为类似形。,3.3,平面的投影,3.3.3,平面上的直线和点,点和直线在平面内的几何条件是：,1.,点若在平面内的任一直线上，则点在该平面上，如图,3.31,（,a,）所示，点,D,在平面,ABC,的直线,AB,上，则点,D,在平面,ABC,上。,2.,若直线通过平面上的两个点；则直线在该平面上，如图,3.31,（,b,）所示，直线,DE,通过平面,ABC,上的两个点,D,、,E,，则直线,DE,在平面,ABC,上。,3.,若直线通过平面内的一个点，且平行于属于该平面的任一直线，则该直线在这个平面上，如图,3.31,（,c,）所示，直线,DE,通过平面,ABC,上的点,D,，且平行于平面,ABC,上的直线,BC,则直线,DE,在平面,ABC,上。,3.3,平面的投影,（,a,）（,b,）（,c,）,图,3.31,平面内的点和直线的判断条件,3.3,平面的投影,1.,平面上的点,因点在平面内的一直线上，则该点必在平面上，所以在平面上取点，必须先在平面上取一直线，然后再在该直线上取点。这是在平面的投影图上确定点所在位置的依据。如图,3.32,（,a,）所示相交的两直线,AB,、,AC,确定一平面,P,，点,S,取自直线,AB,，所以点,S,必在平面,P,上，其投影图的画法见图,3.32,（,b,）所示。,（,a,）（,b,）,图,3.32,平面上的点,3.3,平面的投影,2.,平面上的直线,如图,3.33,（,a,）所示，相交两直线,AB,、,AC,确定一平面,P,，分别在直线,AB,、,AC,上取点,E,、,F,，连接,EF,，则直线,EF,为平面,P,上的直线，其投影图的画法见图,3.33,（,b,）所示。,（,a,）（,b,）,图,3.33,平面上的直线（,1,）,3.3,平面的投影,如图,3.34,（,a,）所示，相交两直线,AB,、,AC,确定一平面,P,，在直线,AC,上取点,E,，过点,E,作直线,MN,，则直线,MN,为平面,P,上的直线，其投影图的画法见图,3.34,（,b,）所示。,（,a,）（,b,）,图,3.34,平面上的直线（,2,）（此图要改）,3.3,平面的投影,图,3.34,平面上的直线（,2,）（修改后的图,3.3,平面的投影,【,例,3-10,】,如图,3.35,（,a,）所示，试判断点,K,和点,M,是否属于,ABC,所确定的平面。,（,a,）（,b,）（,c,）,图,3.35,判断点是否属于平面,3.3,平面的投影,分析：点,K,和点,M,若属于,ABC,，则它们必分别属于平面,ABC,上的某一直线，否则就不属于该平面。,作图方法,:,1,如图,3.35,（,b,）所示，连接,am,交,bc,于,d,，由,d,在,bc,上求得,d,，连,a,、,d,，作出属于,ABC,的直线,AD,，延长,ad,后与,m,相交，即,m,在,ad,上，所以可判定点,M,属于平面,ABC,。,2,同理，如图,3.35,（,c,）所示，连,ck,交,ab,于,e,，由,e,在,ab,上求得,e,，连,c,、,e,，得到属于,ABC,的另一直线,CE,，由于,ce,连线未过,k,点，故,K,点不在直线,CE,上，说明点,K,在平面,ABC,上。,3.,平面上的投影面平行线,3.3,平面的投影,属于平面且又平行于一个投影面的直线称为平面上的投影面平行线。平面上的投影面平行线一方面要符合平行线的投影特性，另一方面又要符合直线在平面上的条件。如图,3.36,所示，过,A,点在平面内要作一水平线,AD,，可过,a,作,a d OX,轴，再求出它的水平投影,ad,，,a d,和,ad,即为,ABC,上一水平线,AD,的两面投影。如过,C,点在平面内要作一正平线,CE,，可过,c,作,c eOX,轴，再求出它的正面投影,c e,，,c e,和,ce,即为,ABC,上一正平线,CE,的两面投影。,图,3.36,平面上的投影面平行线,3.3,平面的投影,【,例,3-11,】ABC,平面如图,3.37,（,a,）所示，要求在,ABC,平面上取一点,K,，使,K,点在,A,点之下,15mm,，在,A,点之前,10mm,，试求出,K,点的两面投影。,（,a,）（,b,）,图,3.37,平面上取点,3.3,平面的投影,分析：因为,K,点在,ABC,平面上，在,A,点之下,15mm,，可作平面上的水平线,MN,；在,A,点之前,10mm,，可作平面上的正平线,EF,。,K,点必在,MN,和,EF,两线的交点上。,作图方法：,1,如图,3.37,（,b,）所示，从,a,向下取,15mm,作,mnOX,轴，求出直线,MN,的水平投影,mn,；,2,从,a,向前取,10mm,作,efOX,轴，求出直线,EF,的正面投影,ef,；,3,mn,和,ef,交于,k,，,mn,和,ef,交于,k,，,kk,即为所求。,