第42讲空间直角坐标系与空间角.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2013/09/25,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,我们知道笛卡尔之前代数和几何是相互分离，老死不相往来。是笛卡尔让代数和几何联系在一起。那笛卡尔是通过什么让几何和代数联系在一起？那就是通过平面直角坐标系，赋予点坐标。这是让平面几何和代数联系在一起。我们知道几何分平面几何、立体几何。那如果让立体几何与代数联系在一起该怎办呢？那就是通过空间直角坐标系。什么是空间直角坐标系？,空间直角坐标系,问题,1,:,数轴上的点,M,的坐标用一个实数,x,表示，它是,一维坐标,；,平面上的点,M,的坐标用有序实数对（,x,，,y,）表示，它是,二维坐标,.,O,x,x,O,x,(x,y),y,空间内点位置能用两个数来描述吗？该如何描述呢？,作用：让几何与代数联系在一起。把几何问题转化为代数问题，用代数知识解决几何问题,实例,如何确定空中飞行的飞机的位置？,中国国家大剧院,墙,墙,地面,下图是一个房间的示意图,下面来探讨表示电灯位置的方法,.,z,1,3,4,x,4,y,1,5,O,(4,5,3),总结,1,、构造一个长方体来理解。坐标的绝对值是长方体的长、宽、高。或则,2,、“,4”,、“,5”,就是灯泡在水平面,XOY,上的投影的横坐标与纵坐标。“,3”,是高度。,o,x,y,z,从空间某一个定点,引三条互相垂直且有单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系,xyz,点,叫做坐标原点,，,x,轴,、,y,轴,、,z,轴叫做坐标轴,，,这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为,xOy,平面,、,yOz,平面,、,和,z,Ox,平面,o,x,y,z,在空间直角坐标系中,让右手拇指指向,x,轴的正方向，食指指向,y,轴的正方向，若中指指向,z,轴的正方向，则称这个坐标系为,右手直角坐标系,说明,:,本书建立的坐标系,都是右手直角坐标系,.,空间直角坐标系的画法,:,o,x,y,z,1.,X,轴与,y,轴、,x,轴与,z,轴均成,135,0,而,z,轴垂直于,y,轴,135,0,135,0,2.,y,轴和,z,轴的单位长度相同，,x,轴上的单位长度为,y,轴（或,z,轴）的单位长度的一半,注：长方体的八个顶点每个顶点出发的三条两两垂直的棱都可以建立空间直角坐标系。右手空间直角坐标系就是以最里面的那个顶点出发的三条棱。,坐标面把空间分成,每一个部分叫,卦限,八个部分,面,面,面,合作探究：,有了空间直角坐标系，那空间中的,任意一点,M,怎样来表示它的坐标呢？,经过,M,点作三个平面分别,垂直,于,x,轴、,y,轴和,z,轴，它们与,x,轴、,y,轴和,z,轴分别交于三点，三点在相应的坐标轴上的坐标,a,b,c,组成的有序数组（,a,b,c),叫做,点,M,的坐标,.,记为,：,M,（,a,b,c),y,x,z,M,O,M,c,b,a,注：叙述不用这么复杂，即以,O,、,M,为空间对角线构造一个长方体。,M,、,M,的横坐标纵坐标一样。竖坐标要么是高度要么是深度，化空间问题为平面问题化不熟悉为熟悉。,反过来，给定有序实数组,（,x,，,y,，,z,）,，我们可以在,x,轴、,y,轴和,z,轴上依次取坐标为,x,，,y,和,z,的点,P,、,Q,和,R,，分别过,P,、,Q,和,R,各作一个平面，分别垂直于,x,轴、,y,轴和,z,轴，这三个平面的唯一交点就是有序实数组（,x,，,y,，,z,）,确定的点,M,空间直角坐标系,y,x,z,M,O,M,R,Q,P,注：叙述不用这么复杂，即以,O,、,M,为空间对角线构造一个长方体。,M,、,M,的横坐标、纵坐标一样，竖坐标要么是高度要么深度。化空间问题为平面问题化不熟悉为熟悉。,空间直角坐标系,y,x,z,P,M,Q,O,M,R,这样空间一点,M,的位置可以用有序实数组（,x,，,y,，,z,）来表示，有序实数组（,x,，,y,，,z,）叫做点,M,在此,空间直角坐标系中的坐标,，记作,M,（,x,，,y,，,z,）其中,x,叫做点,M,的,横坐标,，,y,叫做点,M,的,纵坐标,，,z,叫做点,M,的,竖坐标,叙述不用这么复杂。,1,、构造一个长方体来理解。,2,、,M,的横坐标、纵坐标就是,M,的横坐标、纵坐标。,M,的竖坐标要么是高度要么是深度。化空间问题为平面问题化不熟悉为熟悉。,例,1,：在空间直角坐标系中，作出点（,）,.,分析：,o,x,y,z,从原点出发沿,x,轴,正方向移动个单位,1,1,沿与,y,轴平行的方向,向右移动个单位,2,2,沿与,z,轴平行的方向,向上移动个单位,（,）,2,例题选讲,:,注：叙述不用这么复杂，先在,XOY,平面上画出点（,5,4,），再上升或下降,6,个单位即要么高度要么深度。化空间问题为平面问题化不熟悉为熟悉。,A1(1,4,0),A(1,4,1),(2,-2,0),B1,B,(2,-2,-1),x,O,y,z,1,1,1,(-1,-3,0),C1,(-1,-3,3),C,2,、在空间直角坐标系中作出下列各点,(1),、,A,（,1,4,1,）；,(2),、,B,（,2,-2,-1,）；,(3),、,C,（,-1,-3,3,）；,总结：理解学习空间直角坐标系中点的坐标的含义可以从两个角度来理解学习。,一、构造一个长方体来理解和学习。,二、空间中点的横坐标、纵坐标就是点在,XOY,平面上投影的横坐标、纵坐标，于是化空间问题为平面问题，化不熟悉为熟悉。平面解析几何的公式、定理依旧在,XOY,平面上成立。竖坐标要么是高度要么是深度。,在空间直角坐标系中，,x,轴上的点、,y,轴上的点、,z,轴上的点，,xOy,坐标平面内的点、,xOz,坐标平面内的点、,yOz,坐标平面内的点的坐标各具有什么特点？,总结,:,x,轴上的点的坐标的特点：,xOy,坐标平面内的点的特点：,xOz,坐标平面内的点的特点：,yOz,坐标平面内的点的特点：,y,轴上的点的坐标的特点：,z,轴上的点的坐标的特点：,（,x,，,0,，,）,（,，,y,，,）,（,，,0,，,z,）,（,x,，,y,，,）,（,，,y,，,z,）,（,x,，,0,，,z,）,面,面,面,(+,+,+),(-,-,+),(-,+,+),(+,-,+),(-,+,-),(+,+,-),(-,-,-),(+,-,-),再想一想,?,各个卦限中的点的符号是怎样的呢,?,总结,(1),在上方卦限,Z,坐标为正,;,(2),在下方卦限,Z,坐标为负,.,在,XOY,平面上与平面直角坐标系的一样，高度是正的深度是负的,例,3,结晶体的基本单位称为晶胞，下图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为,0.5,的小正方体堆积成的正方体），其中色点代表钠原子，白点代表氯原子,.,如图建立直角坐标系,Oxyz,，试写出全部钠原子所在位置的坐标,.,x,y,z,O,例题选讲,:,解,：,把图中的钠原子分成上、中、下三层来写它们所在位置的坐标,上层的原子所在的平面平行于平面，与轴交点的竖坐标为,1,，所以，这五个钠原子所在位置的坐标分别是,:,（,0,，,0,，,1,），（,1,，,0,，,1,），（,1,，,1,，,1,），（,0,，,1,，,1,），,（，,1,）,中层的原子所在的平面平行于平面，与轴交点的竖坐标为，所以，这四个钠原子所在位置的坐标分别是,（，,0,，），（,1,，），（，,1,，），（,0,，）；,下层的原子全部在平面上，它们所在位置的竖坐标全是,0,，所以这五个钠原子所在位置的坐标分别是,(0,，,0,，,0),，（,1,，,0,，,0,）,（,1,，,1,，,0,）,（,0,，,1,，,0,）,（，,0,）,.,x,y,z,O,练习,1,：,点,M(x,y,z),是空间直角坐标系,Oxyz,中的一点，写出满足,下列条件的点的坐标,(1),与点,M,关于,x,轴对称的点,(2),与点,M,关于,y,轴对称的点,(3),与点,M,关于,z,轴对称的点,(4),与点,M,关于原点对称的点,(5),与点,M,关于,xOy,平面对称的点,(6),与点,M,关于,xOz,平面对称的点,(7),与点,M,关于,yOz,平面对称的点,(x,-y,-z),(-x,y,-z),(-x,-y,z),(-x,-y,-z),(x,y,-z),(x,-y,z),(-x,y,z),关于谁对称谁不变，其余都相反,本课总结：此节课表面上看起来难，实际上不难。教材为什么难？因为叙述只能用书面专业用语不能口头语既讲话，像写小说只能书面语不能讲话。,如何计算空间两点之间的距离,?,4.3.2,空间两点间的距离公式,思考,类比平面两点间距离公式的推导，你能猜想一下空间两点 间的距离公式吗？,平面内两点,P,1,(x,1,y,1,),P,2,(x,2,y,2,),的距离公式,y,x,o,P,2,P,1,空间任一点,P(x,y,z),到原点,O,的距离。,x,z,y,0,P(x,y,z),A,B,C,|OA|=|x|,|OB|=|y|,|OC|=|z|,从立体几何可知，,|OP|,2,=|OA|,2,+|OB|,2,+|OC|,2,所以,思考,如果,|OP|,是定长,r,，那么 表示什么图形？,x,y,z,O,表示以原点为球心，,r,为半径的球体。,联想,表示什么图形？,x,O,y,r,表示以原点为圆心，,r,为半径的圆。,思考交流,：,知识探究（二）,:,空间两点间的距离公式,在空间中，设点,P,1,（,x,1,，,y,1,，,z,1,），,P,2,（,x,2,，,y,2,，,z,2,）在,xOy,平面上的射影分别为,M,、,N.,x,y,z,O,P,2,M,P,1,N,思考,1:,点,M,、,N,之间的距离如何？,思考,4:,若直线,P,1,P,2,是,xOy,平面的一条斜线，则点,P,1,、,P,2,的距离如何计算？,M,N,x,y,z,O,P,2,P,1,A,思考,5:,在上述图形背景下，点,P,1,（,x,1,，,y,1,，,z,1,）与,P,2,（,x,2,，,y,2,，,z,2,）之间的距离是,它对任意两点,P,1,、,P,2,都成立吗？,同学们注意推导空间两点间的距离公式是不难的，化空间问题为平面问题，化不熟悉的为熟悉的。,A,A,C,D,O,B,P,Q,3,、如图，以正方体的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系,Oxyz,，点,P,在正方体的对角线,AB,，点,Q,在正方体的棱,CD,上。,（,1,）当点,P,为对角线,AB,的中点，点,Q,在棱,CD,上运动时，探究,|PQ|,的最小值,（,2,）当点,Q,为棱,CD,的中点，点,P,在对角线,AB,上运动时，探究,|PQ|,的最小值,（,3,）当点,P,在对角线,AB,运动时，点,Q,在棱,CD,上运动时，探究,|PQ|,的最小值,由以上问题，你得到什么结论？你能证明你的结论吗？,答,（,1,）,点,Q,是,CD,中点。,（,2,）点,P,是,AB,中点,（,3,）点,Q,是,CD,中点，点,P,是,AB,中点。,文科同学只需掌握一、空间直角坐标系。二、空间向量的标准正交分解和坐标表示，三、利用空间向量求空间角的公式，这两点文科生不需要掌握。理科生要掌握。,