53.4相似矩阵.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,相似矩阵的定义,相似矩阵的性质,利用相似变换将方阵对角化,第三节,相似矩阵,称为对,A,进行,相似变换,设,A,B,都是,n,阶方阵,若有可逆矩阵,P,使,则称,B,是,A,的,相似矩阵,或说矩阵,A,与,B,相似,其中可逆矩阵,P,称为把,A,变成,B,的,相似变换矩阵。,对,A,进行运算,一、相似矩阵的概念,定义,（,1,）自反性,AA,（其中,k,是正整数）,（,5,）若,AB,，,（,2,）,对称性 若,AB,，则,BA,（,3,）,传递性 若,AB,，,BC,，则,AC,相似,是关于,A,的多项式,二、相似矩阵的性质,k,个,特别地,，若有可逆矩阵,P,使,为对角矩阵，即,则,，而对于矩阵,有,利用上述结论可以很方便计算矩阵,A,的多项式,(6),若,n,阶矩阵,AB,则有秩,A=,秩,B;,而可逆矩阵是若干个初等矩阵的乘积,(1),式左端就相当于对,A,施行一系列的初等,行变换和列变换,因而秩不变,.,(8),若,AB,则,A,B,或都可逆或都不可逆,且若,A,可逆,则,相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。,证,这表明,A,与,B,有相同特征值,设,A,与,B,相似，,推论,定理,6,问题,：,即如何将方阵,A,对角化,例1,三、矩阵的相似对角化的条件,P,的,列向量,是与,A,相似的对角阵中相应对角元素 的,特征向量,线性相关性？,A,与对角阵相似,A,有,n,个线性无关的特征向量,反之？,关键是,P,可逆吗？,A,能否与对角阵,相似取决于,A,能否有,n,个线性无关的特征向量,且相似变换阵,P,定理,7,n,阶矩阵,A,与对角阵相似的,充要条件,为,A,有,n,个,线性无关的特征向量,.,为,P,的列向量,推论,(,P.155,),若,A,有,n,个互异,的特征值，则,A,与对角阵相 似。,反之不真,若,A,有重特征值,不能马上断言,A,是否与对角阵相似,只要,k,重特征值正好对应,k,个线性无关的特征向量即可,这时要看重根对应的特征向量,.,例,1,判断下列实矩阵能否化为对角阵？,解,四、对角化的方法,解之得基础解系,求得基础解系,解之得基础解系,故 不能相似为对角矩阵,.,对应的特征向量分别为,例,2,设,2,阶矩阵,A,的特征值为,1,5,与特征值,求,A,.,解,例,3,已知,与,相似,求,x,y,.,解 因为相似矩阵有相同的特征值,而,故,x,=0,y,=1.,特征值,2,y,-1.,根据特征值的性质,有,故,A,、,B,有相同的,例,4,若,可相似对角化，求,解,一、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质,性质,1,实对称矩阵的特征值都是实数,.,证,5.4,实对称矩阵的相似矩阵,两式相减：,实对称矩阵的相异特征值所属的特征向量必正交。,证,性质,2,一般地,能保证矩阵相异特征值所对应的特征向量线性无关,但不能保证它们是正交的,实对称矩阵,A,一定与对角矩阵相似,定理,8,特征值,的重数,k,对应的线性无关的特征向量的个数,n,R,(,E,-A,),个,n,阶实对称矩阵,A,的,k,重特征值,所对应的线性无关的特征向量恰有,k,个。,R,(,E,-A,)=,n,k,例,定理,9,实对称阵,A,一定与对角阵,正交相似,.,证,将它们正交规范化后所构成的矩阵记为,P,，,二、实对称矩阵的相似对角化,用正交阵将实对称矩阵,A,化为对角阵的步骤：,解,例,1,例,2,利用,正交矩阵,将对称矩阵,对角化。,解：,A,的特征多项式为,故,A,的特征值为,定义,设,n,阶方阵,A,B,如果存在可逆矩阵,P,，使得 则称,A,与,B,合同（或相合）,合同也是矩阵之间的一种关系，它满足反身性，对称性和传递性,由,Th9,及正交矩阵的性质知，实对称矩阵必与对角矩阵合同,.,可以证明，对角矩阵必与形如,的对角矩阵合同,.,推论,任一实对称矩阵必与对角矩阵 合同,(,其中,1,与,-1,的 个数分别是,A,的特征值个数与负特征值的个数,),5,二次型及其标准形,旋转变换,二次齐次多项式,二次曲线,可逆线性变换,对于,n,元的二次齐次多项式，能否存在一个线性变换,将其变为只含平方项的二次齐次多项式,正交变换,一、二次型及其标准形的概念,称为二次型,.,只含有平方项的二次型,称为二次型的标准形,例如,都为二次型；,为二次型的标准形,.,1,用和号表示,对,二次型,二、二次型的表示方法,2,用矩阵表示,三、二次型的矩阵及秩,在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，,就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对,称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二,次型与对称矩阵之间存在,一一对应,的关系,解,例,设,四、化二次型为标准形,对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求,可逆的线性变换，将二次型化为标准形,证明,即 为对称矩阵,.,说明,用正交变换化二次型为标准形的具体步骤,例,2,求一个,正交变换,x,=,Py,，把二次型,化为,标准形,.,利用,正交矩阵,将对称矩阵,对角化,.,于是问题转化为：,解：,A,的特征多项式为,故,A,的特征值为,相应于,无关的特征向量只有一个，可取为,的特征向量满足,相应于,无关的特征向量只有一个，可取为,的特征向量满足,相应于,无关的特征向量只有一个，可取为,的特征向量满足,正交矩阵为,所做,正交变换,为,标准形,为：,解,例3,用正交变换化实二次型为标准形，其特点是,保,持几何形状不变,问题,有没有其它方法，也可以把实二次型化,为标准形？,问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有,效的方法,拉格朗日配方法,1.,若二次型含有 的平方项，则先把含有,的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同,样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线,性变换，就得到标准形,;,拉格朗日配方法的步骤,2.,若二次型中不含有平方项，但是,则先作可逆线性变换,化二次型为含有平方项的二次型，然后再按,1,中方,法配方,.,例,2,所做可逆变换为,含有平方项,含有,的项配方,而我们曾用,正交变换,化,标准形,为：,比较,解,例,4,由于所给二次型中无平方项，所以,再配方，得,所用变换矩阵为,二次型的标准形不唯一，但它们具有共性：,注：,(1),所含,平方项个数相同,，都,等于矩阵,A,的秩,；,(2),平方项的系数,正负项数相同,。,定义：称标准形中正系数个数为,正惯性指数,；,负系数个数为,负惯性指数,；,正惯性指数减去负惯性指数为,符号差,.,例,的正惯性指数为,2,，,负惯性指数为,1,，,符号差为,1.,惯性定理,第六节 正定二次型,正定矩阵,；,正定二次型,定义,矩阵的正定与负定是怎样定义的？,一、实二次型的分类,负定矩阵,；,负定二次型,，,如何证明,A,是正定阵？,A,正定,x,T,A,x,0,判别法,I,：,用定义,例,1,证,判别法,II,：,用标准型,二、二次型正定的判别方法,正惯性指数,=,n,证,“”：,“”：,反证,证,推论,1,例,2,判别法,III,：,用特征值,推论,2,实对称矩阵,A,正定的充要条件是存在可逆矩,阵,P,使,(,负定,),例,4,判别法,IV,：,用顺序主子式,定理,13,(,奇数阶主子式为负,偶数阶为正,),这个定理称为霍尔维茨定理,A,为正定阵,A,的特征值均,0,A,与,E,合同,A,的各阶顺序主子式,0,即存在可逆阵,Q,使得,E,=,Q,T,AQ.,存在可逆阵,U,使得,A=U,T,U.,思考题,