高一--平面向量讲义.doc
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1、平面向量讲义2.1平面向量的实际背景及基本概念1向量:既有_,又有_的量叫向量2向量的几何表示:以A为起点,B为终点的向量记作_3向量的有关概念:(1)零向量:长度为_的向量叫做零向量,记作_(2)单位向量:长度为_的向量叫做单位向量(3)相等向量:_且_的向量叫做相等向量(4)平行向量(共线向量):方向_的_向量叫做平行向量,也叫共线向量记法:向量a平行于b,记作_规定:零向量与_平行考点一向量的有关概念例1判断下列命题是否正确,并说明理由若ab,则a一定不与b共线;若,则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点;在平行四边形ABCD中,一定有;若向量a与任一向量b平行,则a0;若ab,bc
2、,则ac;若ab,bc,则ac.变式训练1判断下列命题是否正确,并说明理由(1)若向量a与b同向,且|a|b|,则ab;(2)若向量|a|b|,则a与b的长度相等且方向相同或相反;(3)对于任意|a|b|,且a与b的方向相同,则ab;(4)向量a与向量b平行,则向量a与b方向相同或相反考点二向量的表示方法例2一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点,然后又改变方向向西偏北50走了200 km到达C点,最后又改变方向,向东行驶了100 km到达D点(1)作出向量、;(2)求|.考点三相等向量与共线向量例3如图所示,O是正六边形ABCDEF的中心,且a,b,c.(1)与a的模相等的向量有多
3、少个?(2)与a的长度相等,方向相反的向量有哪些?(3)与a共线的向量有哪些?(4)请一一列出与a,b,c相等的向量2.2平面向量的线性运算1向量的加法法则(1)三角形法则如图所示,已知非零向量a,b,在平面内任取一点A,作a,b,则向量_叫做a与b的和(或和向量),记作_,即ab_.上述求两个向量和的作图法则,叫做向量求和的三角形法则对于零向量与任一向量a的和有a0_.(2)平行四边形法则如图所示,已知两个不共线向量a,b,作a,b,则O、A、B三点不共线,以_,_为邻边作_,则对角线上的向量_ab,这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则2向量加法的运算律(1)交换律:ab_.(2)结合律
4、:(ab)c_.3. 相反向量(1)定义:如果两个向量长度_,而方向_,那么称这两个向量是相反向量(2)性质:对于相反向量有:a(a)_.若a,b互为相反向量,则a_,ab_.零向量的相反向量仍是_ 4. 向量的减法(1)定义:aba(b),即减去一个向量相当于加上这个向量的_(2)作法:在平面内任取一点O,作a,b,则向量ab_.如图所示(3)几何意义:如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为_,被减向量的终点为_的向量例如:_.5向量数乘运算实数与向量a的积是一个_,这种运算叫做向量的_,记作_,其长度与方向规定如下:(1)|a|_.(2)a (a0)的方向;特别地
5、,当0或a0时,0a_或0_.6向量数乘的运算律(1)(a)_.(2)()a_.(3)(ab)_.特别地,有()a_;(ab)_.7共线向量定理向量a (a0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数,使_8向量的线性运算向量的_、_、_运算统称为向量的线性运算,对于任意向量a、b,以及任意实数、1、2,恒有(1a2b)_.考点一运用向量加法法则作和向量例1如图所示,已知向量a、b,求作向量ab.变式训练1如图所示,已知向量a、b、c,试作和向量abc.考点二运用向量加减法法则化简向量例2化简:(1); (2); (3).(4)()() (5)()();(6)()()变式训练2如图,在平行四边形ABC
6、D中,O是AC和BD的交点(1)_;(2)_;(3)_;(4)_.变式训练3如图所示,O是平行四边形ABCD的对角线AC、BD的交点,设a,b,c,求证:bca. 考点三 向量的共线例3设e1,e2是两个不共线的向量,若向量me1ke2 (kR)与向量ne22e1共线,则()Ak0 Bk1Ck2 Dk 变式训练4 已知ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P,且,则()AP在ABC内部BP在ABC外部CP在AB边上或其延长线上DP在AC边上 考点四:三点共线例4两个非零向量a、b不共线(1)若Aab,B2a8b,C3(ab),求证:A、B、D三点共线;(2)求实数k使kab与2akb共线变式训
7、练5 已知向量a、b,且a2b,5a6b,7a2b,则一定共线的三点是() AB、C、D BA、B、C CA、B、D DA、C、D变式训练6 已知平面内O,A,B,C四点,其中A,B,C三点共线,且xy, 则xy_.2.3平面向量的基本定理及坐标表示1平面向量基本定理(1)定理:如果e1,e2是同一平面内的两个_向量,那么对于这一平面内的_向量a,_实数1,2,使a_.(2)基底:把_的向量e1,e2叫做表示这一平面内_向量的一组基底2.两向量的夹角与垂直(1)夹角:已知两个_a和b,作a,b,则_ (0180),叫做向量a与b的夹角范围:向量a与b的夹角的范围是_当0时,a与b_.当180时
8、,a与b_.(2)垂直:如果a与b的夹角是_,则称a与b垂直,记作_3平面向量的坐标表示(1)向量的正交分解:把一个向量分解为两个_的向量,叫作把向量正交分解(2)向量的坐标表示:在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个_i,j作为基底,对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x,y使得a_,则_叫作向量a的坐标,_叫作向量的坐标表示(3)向量坐标的求法:在平面直角坐标系中,若A(x,y),则_,若A(x1,y1),B(x2,y2),则_.4平面向量的坐标运算(1)若a(x1,y1),b(x2,y2),则ab_,即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和(2)若a(x1,y1),
9、b(x2,y2),则ab_,即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差(3)若a(x,y),R,则a_,即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标5两向量共线的坐标表示设a(x1,y1),b(x2,y2)(1)当ab时,有_(2)当ab且x2y20时,有_即两向量的相应坐标成比例6若,则P与P1、P2三点共线当_时,P位于线段P1P2的内部,特别地1时,P为线段P1P2的中点;当_时,P位于线段P1P2的延长线上;当_时,P位于线段P1P2的反向延长线上考点一对基底概念的理解例1如果e1,e2是平面内两个不共线的向量,那么下列说法中不正确的是()e1e2(、R)可以表示平面内的
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