高中数学第三章圆锥曲线与方程3.3.1双曲线及其标准方程讲义北师大版选修.ppt

双曲线及其标准方程,请同学们回忆：椭圆的定义是什么？,如果把上述定义中,“距离的和”,改为,“距离的差”,那么点的轨迹会发生怎样的变化？,复习引入：,平面内与两个定点,F,1，,F,2,的距离的,和,等于常数（,大于,|,F,1,F,2,|,）的点的轨迹叫做椭圆。,思考：,数学实验,（,1,）取一条拉链；,（,2,）如图把它固定在板上的两点,F,1,、,F,2,；,（,3,）设,（,4,）在点,M,处放一只笔，拉动拉链（,M,）。,思考：拉链运动的轨迹是什么？,如图,(A),，,|MF,1,|-|MF,2,|=|F,2,F|=2,a,如图,(B),，,|MF,2,|,-,|MF,1,|=2,a,由上面两式可得：,|MF,1,|,-,|MF,2,|=2,a,（,差的绝对值）,|MF,1,|,-,|MF,2,|=2,a,（,差的绝对值）,上面 两条曲线合起来叫做,双曲线,每一条叫做双曲线,的一支。,注意：,常数,2a,要小于,|F,1,F,2,|,且大于,0,；,双曲线的定义,定点,F,1,、,F,2,双曲线的,焦点,|F,1,F,2,|=2,c ,双曲线的,焦距,平面内与两定点,F,1,，,F,2,的距离的,差的绝对值,等于常数,2a,(,大于,0,且小于,|F,1,F,2,|),的点的轨迹叫做双曲线。,1,、平面内与两定点的距离的差等于常数,2a,（小于,|F,1,F,2,|,且大于,0,）的点的轨迹是：,2,、平面内与两定点的距离的差的绝对值等于,常数（等于,|F,1,F,2,|,）的点的轨迹是：,3,、平面内与两定点的距离的差的绝对值等于,常数（大于,|F,1,F,2,|,）的点的轨迹是：,双曲线的一支,是在直线,F,1,F,2,上且,以,F,1,、,F,2,为端点向外的两条射线,不存在,设,M(,x,，,y),是双曲线上任意一点，,|F,1,F,2,|=2c,，,F,1,(-c,0),F,2,(c,0),根据双曲线的定义，又设点,M,与,F,1,F,2,的距离的差的绝对值等于常数,2a(a0).,即,|MF,1,|-|MF,2,|=2a,双曲线的标准方程,如图使 轴经过点,F,1,、,F,2,且以线段,F,1,、,F,2,的中点作为原点 ，建立直角坐标系,求曲线方程的一般步骤为,:,建系、设点,条件立式,代换,化简方程,查缺补漏,由双曲线定义知,2c2a,，即,ca,，,我们把由此得到的方程叫做,双曲线的标准方程,.,注意,:,3.,c,2,=a,2,+b,2,c,最大,.,2.,a,b,无大小关系,;,化简得：（,c,2,a,2,)x,2,a,2,y,2,=a,2,(c,2,a,2,),。,因此,c,2,a,2,0,令,c,2,a,2,=b,2,(b0),，得：,b,2,x,2,a,2,y,2,=a,2,b,2,，,1.,焦点在,轴，,焦点坐标,焦点在,y,轴上的双曲线标准方程是,:,焦点在,X,轴上的双曲线标准方程是,:,定义,图象,方程,焦点,a.b.c,的关系,谁正谁对应,a,2,焦点在谁轴,。,|MF,1,|-|MF,2,|=2a(02a|F,1,F,2,|),F(c,0),F(0,c),c,2,=a,2,+b,2,双曲线的标准方程：,椭圆的标准方程：,2,：,a,b,c,大小满足勾股定理。,1,：焦点坐标相同，焦距相等。,1.,椭圆中,a,最大，,a,2,=b,2,+c,2,；在双曲线中,c,最大，,c,2,=a,2,+b,2,；,2.,椭圆方程中“,+”,，双曲线方程中“”；,3.,判断焦点位置的方法不同。,例,1.,已知双曲线的焦点为,F,1,(-5,0),，,F,2,(5,0),，,双曲线上一点,P,到,F,1,、,F,2,的距离的差的绝对值等于,8,，求双曲线的标准方程,.,2,a,=8,c=5,a,=4,c=5,b,2,=5,2,-,4,2,=9,所以所求双曲线的标准方程为,：,解：根据题意可知，双曲线的焦点在,x,轴上，,结论,设方程,确定,a,、,b,、,c,定焦点,例,2.,已知双曲线,（,1,）求此双曲线的左、右焦点,F,1,F,2,的坐标；,（,2,）如果此双曲线上一点,P,与焦点,F,1,的距离等于,16,，求点,P,与焦点,F,2,的距离。,解：,（,1,）根据双曲线的方程，可知此双曲线的焦点在,X,轴上。,由,a,2,=36,b,2,=45,得,c,2,=a,2,+b,2,=36+45=81,所以,c=9,，焦点,F,1,F,2,的坐标分别为（,-9,，,0,），（,9,，,0,）。,（,2,）因为点,P,在双曲线上，所以,|PF,1,|PF,2,|=2a.,由,a=6,|PF,1,|=16,得,16-|PF,2,|=12,或,-12,因此，,|PF,2,|=4,，或,|PF,2,|=28.,x,2,与,y,2,的系数的大小,x,2,与,y,2,的系数的正负,c,2,=,a,2,+,b,2,AB,0,小结：,（,1,）推导双曲线的标准方程；,（,2,）利用待定系数法求双曲线的标准方程；,（,3,）类比法。,焦点在,y,轴上的双曲线的方程是,_,；,椭圆的焦点由,_,决定；,双曲线的焦点由,_,决定；,在双曲线的标准方程中,a,b,c,的关系是,_,；,方程,Ax,2,+By,2,=1,表示双曲线的充要条件是,_,。,