课件-第二节-可分离变量的微分方程.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二节 可分离变量的微分方程,一、可分离变量的微分方程,形如 的方程，称为,可分离变量,的微分方程.,分离变量，得：,设,y,=,(,x,),是方程的解,则有恒等式：,两边积分,得,即：,设函数,G,(,y,)和,F,(,x,)是,g,(,y,)和,f,(,x,)的一个原函数,则有,当,G,(,y,)与,F,(,x,),可微且,G,(,y,)=,g,(,y,),0时,说明由确定的隐,函数,y,=,(,x,)是,的解.,称为方程的,隐式通解,或,通积分,.,同样,当,F,(,x,)=,f,(,x,),0,时,上述过程可逆,由确定的隐,函数,x,=,(,y,)也,是,的解.,一、可分离变量的微分方程,形如 的方程，称为,可分离变量,的微分方程.,求解步骤,：(变量分离法),1、分离变量,得,2、两边积分,得,3、求出通解,隐函数确定的微分方程的解,微分方程的隐式通解,例1,求解微分方程,解,分离变量,得,两端积分,得,二、典型例题,解得,例2,求解微分方程,解,分离变量,得,两端积分,得,解得,解,分离变量,得,两端积分,得,解得,解,根据题意,有,(,初始条件,),对方程分离变量,即,利用初始条件,得,故所求铀的变化规律为,然后积分,:,解,根据牛顿第二定律,得,初始条件为,对方程分离变量,然后积分,:,得,利用初始条件,得,代入上式后化简,得特解,例,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度,成正比,并设降落伞离开跳伞塔时,(,t,=0),速度为,0,求,降落伞下落速度与时间的函数关系.,t,足够大时,解,分离变量,解得,然后积分,:,可分离变量的微分方程,初值问题:,的解也可直接用变上限积分来确定：,分离变量法步骤:,1.分离变量;,2.两端积分隐式通解.,三、小结,若是求特解，还需根据初值条件定常数.,(1),找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.,常用的方法:,1),根据几何关系列方程,2),根据物理规律列方程,3),根据微量分析平衡关系列方程.,(2),利用反映事物个性的特殊状态确定初值条件.,(3),求通解,并根据初值条件确定特解.,3.解,微分方程应用题的方法和步骤,思考与练习,求方程的通解,:,提示,:,方程变形为,练 习 题,练习题答案,例 9,有高为 1,m,的半球形容器,水从它的底部小孔流出,小孔横截面积为 1,cm,2,(如图).开始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里水面的高度,h,(水面与孔口中心间的距离)随时间,t,的变化规律.,解,由力学知识得,水从孔口流出的流量为,流量系数,孔口截面面积,重力加速度,设在微小的时间间隔,水面的高度由,h,降至,h,+d,h,比较(1)和(2)得:,即为未知函数的微分方程.,可分离变量,所求规律为,