高中全程复习配套等差数列苏教数学理.ppt

*,Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,高中全程复习配套课件等差数列苏教数学理,内 容,要 求,A,B,C,等差数列,三年,3,考 高考指数,:,1.,等差数列的定义,(1),条件：一个数列从,_,起，每一项,_,它的前一项所,得的差都等于同一个常数,.,(2),公差：常数叫公差，用字母,d,表示,.,(3),定义表达式：,_.,第二项,减去,a,n+1,-a,n,=d(nN,*,),判断下列数列是否为等差数列,.(,请在括号中填写“是”或,“否”,),(1),数列,0,，,0,，,0,，,0,，,0,，,(),(2),数列,1,，,1,，,2,，,2,，,3,，,3,，,(),(3),数列,(),(4),数列,a,2a,3a,4a,，,(),【,即时应用,】,【,解析,】(1)(4),中从第二项开始，每项与前一项的差为同一常数；而,(2)(3),并不是同一常数，故,(1)(4),为等差数列，,(2)(3),不是,.,答案：,(1),是,(2),否,(3),否,(4),是,2.,等差数列的通项公式,若等差数列,a,n,的首项是,a,1,，公差是,d,，则其通项公式为,a,n,=_.,a,1,+(n-1)d,(1),在等差数列,a,n,中，,a,5,=10,a,12,=31,则数列的通项公式为,_.,(2),等差数列,10,，,7,，,4,，,的第,20,项为,_.,【,即时应用,】,【,解析,】(1)a,5,=a,1,+4d,a,12,=a,1,+11d,a,n,=a,1,+(n-1)d=-2+(n-1)3=3n-5.,(2),由,a,1,=10,d=7-10=-3,n=20,得,a,20,=10+(20-1)(-3)=-47.,答案：,(1)a,n,=3n-5 (2)-47,(1)数列0，0，0，0，0，(),当n=16时，Sn有最大值，Sn的最大值是256.,当且仅当n=32-n，即n=16时，Sn有最大值256.,等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.,(2)由题意知2a+1是a与4a+2的等差中项，即,若等差数列an的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an=_.,a66=a45+(66-45)4=237.,等差数列的基本运算,已知数列an的前n项和为Sn，且满足an+2SnSn-1=0(n2),即a11+a22=2a1+31d=0,(天津高考)已知an为等差数列，Sn为其前n项和，,(3)通项公式法：验证an=pn+q；,an+an-1+an-2+an-5=180 ,(扬州模拟)已知数列an是等差数列，其前n项和为Sn,(2)(湖北高考)九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为_升.,3.,等差中项,若,a,A,b,这三个数成等差数列，那么叫做,a,和,b,的,等差中项,.,(1),请思考 是,a,，,A,，,b,成等差数列的,_,条件,.,(2),若等差数列,a,n,的前三项依次为,a,2a+1,4a+2,则它的第五,项为,_.,【,即时应用,】,【,解析,】(1),若 可知,2A=a+b,可推出,A-a=b-A,所以,a,A,b,成等差数列；反之，若,a,A,b,成等差数列，则 故,是,a,，,A,，,b,成等差数列的充要条件,.,(2),由题意知,2a+1,是,a,与,4a+2,的等差中项，即,解得,a=0,故数列,a,n,的前三项依次为,0,，,1,，,2,，则,a,5,=0+41=4.,答案：,(1),充要,(2)4,4.,等差数列的前,n,项和公式,(1),已知等差数列,a,n,的首项,a,1,和末项,a,n,则,S,n,=_.,(2),已知等差数列,a,n,的首项,a,1,和公差,d,，则,S,n,=_.,(1),在等差数列,a,n,中，,a,1,=5,a,n,=95,n=10,则,S,n,=_.,(2),在等差数列,a,n,中，,a,1,=100,d=-2,n=50,则,S,n,=_.,(3),在等差数列,a,n,中，,d=2,n=15,a,n,=-10,则,S,n,=_.,【,即时应用,】,【,解析,】,(3),由,a,n,=a,1,+(n-1)d,得,-10=a,1,+(15-1)2,解得,a,1,=-38,答案：,(1)500 (2)2 550 (3)-360,等差数列的基本运算,【,方法点睛,】,等差数列运算问题的通法,等差数列运算问题的一般求法是设出首项,a,1,和公差,d,，然后由通项公式或前,n,项和公式转化为方程,(,组,),求解,.,【例1】(1)(广东高考)等差数列an前9项的和等于前4项的和.若a1=1,ak+a4=0,则k=_.,(2)(湖北高考)九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为_升.,(3)(福建高考)已知等差数列an中，a1=1,a3=-3.,求数列an的通项公式；,若数列an的前k项和Sk=-35，求k的值.,【,解题指南,】(1),根据,S,9,=S,4,求公差,d,，利用,a,k,+a,4,=0,求,k.,(2),转化为关于,a,1,d,的方程组，先求,a,1,d,再求,a,5,，或直接转化为关于,a,5,d,的方程组求解,.,(3),求出公差,d,后直接写出,a,n,，求出,S,n,，根据,S,k,=-35,求,k,的值,.,【,规范解答,】(1)S,4,=S,9,由,a,k,+a,4,=0,，得,答案：,10,(2),方法一：设自上第一节竹子容量为,a,1,依次类推，数列,a,n,为等差数列,.,又,a,1,+a,2,+a,3,+a,4,=4a,1,+6d=3,a,7,+a,8,+a,9,=3a,1,+21d=4.,解得,方法二：设自上第一节竹子容量为,a,1,，则第九节容量为,a,9,且,数列,a,n,为等差数列,.,a,1,+a,2,+a,3,+a,4,=3,a,7,+a,8,+a,9,=4,即,4a,5,-10d=3 ,3a,5,+9d=4 ,联立解得,答案：,(3),设等差数列,a,n,的公差为,d,，,由,a,1,=1,a,3,=-3,可得,1+2d=-3,，解得,d=-2.,从而,a,n,=1+(n-1)(-2)=3-2n.,由知,a,n,=3-2n,由,S,k,=-35,得,2k-k,2,=-35.,即,k,2,-2k-35=0,，解得,k=7,或,k=-5.,又,kN,*,故,k=7.,【,互动探究,】,本例,(3),中，若将“,a,1,=1,a,3,=-3”,改为“,a,1,=31,S,10,=S,22,”,，试求,S,n,;,这个数列的前多少项的和最大？并求出这个最大值,.,【,解析,】S,10,=a,1,+a,2,+a,10,S,22,=a,1,+a,2,+a,22,，又,S,10,=S,22,，,a,11,+a,12,+a,22,=0,，,即,a,11,+a,22,=2a,1,+31d=0,又,a,1,=31,d=-2,方法一：由知,S,n,=32n-n,2,=-(n-16),2,+256,当,n=16,时，,S,n,有最大值，,S,n,的最大值是,256.,方法二：由,S,n,=32n-n,2,=n(32-n),欲使,S,n,有最大值，应有,1n6),求数列an的项数及a9+a10.,【,解题指南,】(1),根据,S,2,=S,6,，先求,a,4,+a,5,的值，再求,a,5,.,(2),根据,S,3,S,6,-S,3,S,9,-S,6,成等差数列求解,.,(3),根据前,6,项与最后,6,项的和求出,a,1,+a,n,再求,n,及,a,9,+a,10,.,【,规范解答,】(1)S,2,=S,6,，,S,6,-S,2,=a,3,+a,4,+a,5,+a,6,=0,，,2(a,4,+a,5,)=0,即,a,4,+a,5,=0,，,a,5,=-a,4,=-1.,答案：,-1,(2),设等差数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,则,S,3,S,6,-S,3,S,9,-S,6,成等差数列，,且,S,3,=40,，,S,6,-S,3,=20.,S,9,-S,6,=20+(-20)=0,，,S,9,=S,6,=60.,答案：,60,(3),由题意知,a,1,+a,2,+a,6,=36,a,n,+a,n-1,+a,n-2,+a,n-5,=180 ,+,得,(a,1,+a,n,)+(a,2,+a,n-1,)+(a,6,+a,n-5,)=6(a,1,+a,n,)=216,，,a,1,+a,n,=36,又,18n=324,n=18.,a,1,+a,18,=36,a,9,+a,10,=a,1,+a,18,=36.,当且仅当n=32-n，即n=16时，Sn有最大值256.,【互动探究】本例(3)中，若将“a1=1,a3=-3”改为“a1=31,S10=S22”，试求,an=Sn-Sn-1,且an+2SnSn-1=0(n2)，,等差数列运算问题的通法,数列an的通项公式为_.,(2)数列1，1，2，2，3，3，(),(2)(湖北高考)九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为_升.,(2)若an,bn都是等差数列，k,mR,数列kan+mbn仍为等,求证：是等差数列.,【规范解答】(1)设等差数列an的公差为d，,【解析】Sk+2-Sk=ak+2+ak+1=2+(2k+1)2=24，,这是容易被忽视的问题.,若等差数列an的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an=_.,(2)由a1=10,d=7-10=-3,n=20,得,(2)将an代入bn后，表示出bn是解题关键.,(2)已知等差数列an的首项a1和公差d，则Sn=_.,得的差都等于同一个常数.,【变式备选】等差数列an的前n项和为Sn，已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,求m的值.,【,互动探究,】,若本例,(1),题的条件不变，改为求此等差数列的前多少项的和最大，并求出最大值,.,【,解析,】,在本例中第,(1),题已求解出,a,5,=-1,又,a,4,=1,得公差,d=-2,此等差数列的前,4,项和最大，即,S,4,最大,.,且,S,4,=1+3+5+7=16.,【,反思,感悟,】1.,在等差数列,a,n,中，若,m+n=p+q=2k,则,a,m,+a,n,=a,p,+a,q,=2a,k,是常用的性质，本例,(1)(3),题都用到了这个性质，在应用此性质时，一定要观察好每一项的下标规律，不要犯,a,2,+a,5,=a,7,的错误,.,2.,本例,(2),题也可先求,a,1,d,再求,a,7,+a,8,+a,9,但不如用性质简单,.,【,变式备选,】,等差数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,，已知,a,m-1,+a,m+1,-a,m,2,=0,S,2m-1,=38,求,m,的值,.,【,解析,】a,m-1,+a,m+1,=2a,m,a,m-1,+a,m+1,-a,m,2,=2a,m,-a,m,2,=0,，,解得,a,m,=0,或,a,m,=2.,又,a,1,+a,2m-1,=2a,m,a,m,0,a,m,=2,2m-1=19,解得,m=10.,【满分指导】等差数列主观题的规范解答,【典例】(14分)(广州模拟)已知等差数列an满足：,a3=7，a5+a7=26，an的前n项和为Sn.,(1)求an及Sn；,(2)令 求数列bn的前n项和Tn.,【,解题指南,】,分析题意知，对本题,(1),可列方程组求解；,(2),将,a,n,代入,b,n,后，表示出,b,n,是解题关键,.,【,规范解答,】(1),设等差数列,a,n,的公差为,d,，,因为,a,3,=7,，,a,5,+a,7,=26,，所以有,解得,a,1,=3,d=2,，,4,分,所以,a,n,=3+2(n-1)=2n+1,7,分,(2),由,(1),知,a,n,=2n+1,，,所以,9,分,所以,即数列,b,n,的前,n,项和,14,分,【,阅卷人点拨,】,通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：,失,分,警,示,在解答本题时有两点容易造成失分：,(1),利用方程的思想联立方程求解时,不能准确求出首项,a,1,和公差,d,；,(2),在求解数列,b,n,的前,n,项和时，不能熟练准确地利用裂项法求和,.,备,考,建,议,解决等差数列问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注,:,(1),对通项公式与前,n,项和公式记忆错误；,(2),基本公式中的项数或奇偶项的确定不正确；,(3),判断一个数列是否为等差数列时，易忽略验证第一项,.,另外需要熟练掌握几种常见的裂项方法，才能快速正确地解决一些数列求和问题,.,1.(徐州模拟)已知等差数列an满足a3+a4+a6+a9=56,则,其前10项之和为_.,【解析】a3+a4+a6+a9=2a5+2a6=56,a5+a6=28,答案：140,2.(大纲版全国卷改编)设Sn为等差数列an的前n项和，若a1=1,公差d=2,Sk+2-Sk=24,则k=_.,【解析】Sk+2-Sk=ak+2+ak+1=2+(2k+1)2=24，,k=5.,答案：5,3.(天津高考)已知an为等差数列，Sn为其前n项和，,nN*,若a3=16,S20=20,则S10的值为_.,【解析】由题意知,解得,答案：110,4.(重庆高考)在等差数列an中，a3+a7=37,则a2+a4+a6+a8=_.,【解析】a2+a8=a4+a6=a3+a7=37，,a2+a4+a6+a8=372=74.,答案：74,5.(扬州模拟)已知数列an是等差数列，其前n项和为Sn,若a1a2a3=15,且 则a2=_.,【解析】数列an是等差数列，,S1=a1，S3=3a2，S5=5a3.,又,又a1a2a3=15,答案：3,谢谢观看！,