高等数学无穷级数函数展开为幂级数教材课程.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,如何将函数表示为幂级数,?,怎么做？,一、函数展开为幂级数,1、泰勒级数,将函数展开为幂级数的问题是否,就是将函数展开为泰勒级数的问题?,定理,证,由定理的条件可知,且其和函数,于是有,由数学归纳法,得,该定理说明,幂级数的和函数,则该幂级数一定是下列形式:,定理和定义给我们提供了什么信息?,定义,定理和定义告诉我们：,处有任意阶导数,则它,就有一个相应的泰勒级数存在.,但此泰勒级数,不一定收敛,即算收敛,其和函数也不一定等于,就是说,函数与它的泰勒级数间划等号是有条件的.,内可表示为幂级数的形式,则该幂级数一定是函数,f,(,x,),的泰勒级数.,问 题,回忆泰勒中值定理的构建过程,由级数的部分和及收敛性,质看出一点什么没有?,定理,证,余下的工作由学生自己完成.,推 论,证,（提示）,自己做!,马克劳林级数,就可写出它的泰勒级数.,但它的泰勒级数不一,定收敛,只有当拉格朗日余项,时,泰勒级数才收敛于,一个函数如果能够展开为幂级数形式,则,该幂级数一定是它的泰勒级数,且这种展开是,唯一的.,即使收敛,其和函数,2、函数展开为,幂级数,函数展开,为幂级数,直接展开法,间接展开法,该方法是先求出函数,写出它的泰勒级数,然后,判断泰勒公式中的,拉格朗日余项是否满足,确定级,数的收敛区间.,直接展开法,例,1,解,例,2,解,从一些已知函数的泰勒展开式出发,利用,幂级数的四则运算和解析运算性质,以及进行,适当的变量代换来求出另外一些函数的泰勒公,式的方法,称为间接展开法.,间接展开法,例,3,解,利用变量代换,例,4,解,等比级数的和,例,5,解,可利用它对某些数值或定积分值等进行近似计算,二、,函数幂级数展开式的应用举例,计算,的近似值,精确到,例,1,解,计算,的近似值,使准确到,故,令,得,于是有,例,2,解,在上述展开式中取前四项,说明,在展开式,中,令,得,据此递推公式可求出任意正整数的对数.如,(,n,为自然数),利用,求,误差.,先把角度化为弧度,(弧度),误差不超过,的近似值,并估计,例,3,解,(,取,计算积分,的近似值,精确到,例,4,解,则,n,应满足,则所求积分近似值为,欲使截断误差,计算积分,的近似值,精确到,由于,故所给积分不是广义积分.,若定义被积函数在,x,=0 处的值为 1,则它在积分区间,上连续,且有幂级数展开式:,例,5,解,