四向量代数与空间解析几何教学幻灯片.ppt

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第九章 向量代数与空间解析几何,第一节空间直角坐标系与向量的概念,第二节 向量的点积和叉积,第三节 平面与直线,第四节 曲面与空间曲线,第一节空间直角坐标系与向量的概念,一、空间直角坐标系,1.建立空间直角坐标系,在空间中过定点 作三条互相垂直且有相同长度单位的数,轴 、和 ，,分别称为 轴、轴和 轴，,也称为横轴、纵轴和竖轴，统称为坐标轴。习,惯上，把 轴、轴放置在水平面上，它们的,正方向按,右手螺旋法则,确定（如图8-1），,点为 坐标原点。这样就构成了空间直角坐标系。,任意两个坐标轴确定一个平面，称为,坐标面,，它们是,、和 坐标面，三个坐标面把空间分成八个部分，,每一部分称为一个,卦限,，共有八个卦限，其顺序如图,8-2,所示。,2.空间直角坐标系中点的坐标,我们来建立点与有序数组的对应关系。,设 为空间的任意一点，过点 作垂直于,坐标面的直线，其垂足为 ，过 分,别作与 轴、轴垂直且相交的直线，过 作与 轴垂直且相交,的直线，依次得 轴上的三个垂足,M,、,N,、,R,。设 分别,是,M,、,N,、,R,点在数轴上的坐标。这样空间內任一点 就确定了唯,一的一个有序数组 ，用 表示之。,反之，任给一个有序数组 ，它们分别在,二、向量的基本概念及其线性运算,1.向量的基本概念,(1).向量和数量,量可分为两种：,数量,（或,标量,）只有大小、没有方向；,向量,（或,矢量,）不仅有大小还有方向。,(2).向量的表示,用黑体小写字母表示向量，如 ，等，有时为了书写方便,也用 等表示。几何上用有向线段表示，起点为 、终,点为 的向量记为 （见图8-4）。,(3).向量的模,向量的大小称为向量的模，用 等表示（即有向线,段的长度）。,特别地，模为1的向量称为,单位向量,；模为零的向量称为,零向量,，记为 。规定零向量的方向为任意方向。,(4).自由向量、平行向量、相等向量、逆向量,约定：,我们所讨论的向量与起点无关，在保持长度和方向不变,的条件下可以自由平移，这种向量称为,自由向量,。,方向相同或相反的两个向量 和 称为,平行向量,，记为：；,把模相等且方向相同的两个向量 和 称为,相等向量,，记为：,；,把与向量 的模相等但方向相反的向量称为 的,逆向量,，记为：,。,2.向量的加法及向量与数的乘法,(1).向量的加法,向量 、的和是以 、为邻边的平行四边形 的对,角线向量 ，记作 。,这种用平行四边形对角线求两向量和的方法称为,平行四边形法则,。,由图8-5可知，所以又有 ，即以第一个向量,的终点为起点，做第二个向量 ，连接,，则 就是,与 的和，并称这种求和方法为,三角形法则,。该法则可以,推广到多个向量的求和。,例如求向量 的和时，可将它们平行移动，使其首尾相接,，然后以第一个向量的起点为起点，以最后一个向量的终点为,终点做向量即为 三向量的和，如图8-6。,向量的加法满足如下运算规律：,（交换律）；,（结合律）；,；,。,(2).向量的减法,向量的减法可作为加法的逆运算：如果 ，则 。,将 与 平移使它们的起点重合，则由 的终点到 的终点作,一向量（方向指向被减向量 ）就是 （见图8-7）。,(3).数与向量的乘积,定义,：设 为一实数，向量 与数 的乘积是一个向量，记作,，并且规定：,；,当 时：与 同向；当 时：与 反向；,当 时，（零向量）。,数与向量的乘积是一种新的运算，常称为,数乘向量,，其结果为,一新向量；数乘向量满足如下的,运算规律,（为实数）：,（结合律）；,（对数的加法的分配律）；,（对向量的加法的分配律）。,有了数乘向量，便容易表示出向量的单位向量：,把与向量 同向且模为1的向量称为 的,单位向量,，记为 ，,显然有 或 。,三、向量的坐标表示法,1向径及其坐标表示,（1）向径,起点在坐标原点 ，终点为 的向量 称为点 的,向径,（也称为点 的位置向量），记为 或 。,（2）基本单位向量,在坐标轴上分别与 轴、轴、轴方向相同的单位向量称为,基,本单位向量,，分别用 、表示。,（）向径的坐标表示,若点 的坐标为 ，则向量 ，,由向量的加法法则有：,（见图8-8）。即点 的向径 的,坐标表达式为：。还可简记,为 ，即 。,2向量 的坐标表达式,设有点 、，则以 为起点、以 为终,点的向量：，又因为 、均为向径，所以,，,于是有：,，,这就是说,：。,3向量 的模,任给一向量 ，都可将其视为以点 为,终点的向径，由上图（图8-8）不难看出 ，,即 ，亦即,向量 的模：。,4.空间两点间的距离公式,点 与点 间的距离记为 ，则,，而 ，所,以得：。,例1,（1）写出点 的向径；,（2）写出起点为 ，终点为 的向量的坐,标表达式。,解,（1）。,（2）。,例2,已知两点 、，求这两点间的距离 。,解,由两点间的距离公式，得,。,例,在 轴上求与点 、等距离的点。,解,设所求点为 ，由条件 ，有：,，,即 ，两端平方得 ，也即,，故所求点为 。,5.坐标表示下的向量运算,设 ，则有：,（1）；,（2）；,（3）；,（4）；,（5）。,证明从略。,第二节 向量的点积和叉积,一、向量的点积（数量积）,1引例,已知力 与 轴正向夹角为 ,其大小为 ，在力 的作用,下，一质点 沿 轴由 点()移动到 点()(如图,8-9），求力 所做的功？,解,力 在水平方向的分力大小为 ，,所以，力 使质点 沿 轴方向(从 到 )所,做的功为：,(1),注意到 ，所以(1)式可写成:,(2),点积的定义,定义1,设向量 与 之间夹角为（），则称实数,为 与 的,点积,（或,数量积,），并用记号,表示，即 =,特别，零向量与任何向量的点积显然为0（即为数零）。,注意，我们约定两向量 与 间的夹角的范围是,于是由定义1即可得：,3点积满足的运算规律,由点积的定义容易验证点积满足下列运算规律：,(1)（交换律）；,（2）（分配律）；,（3）（结合律）。,显然 ，且可,得到以下结论,定理1,两个非零向量 与 垂直（记为 ）的充分必要,条件为 。,证明,（见书）。,由此定理可得到：,；另,有 ,。,4点积的坐标表示式,则,由此可得上述两非零向量垂直的充分必要条件又可表为：,另外，由 ,可得两向量，夹角的余弦公式：,例,试证向量 ,是互相垂直（即正交）的,证明,因为 ，所以由定理1知与互,相垂直。,例2,设向量 与 x 轴、y 轴、z 轴正向的夹,角分别为 ，称其为向量 的三个方向角，并称 、为向量 的方向的余弦，试证：,，并且 =1,证明,因为 ，而单位向量 ，,，的坐标表达式分别为 ，,于是有：，,=,例3,已知三点 ,解,故 ,二、向量的叉积(向量积),1引例,设 点为一杠杆的支点,力,作用于杠杆上点 处，,求力 对支点 的力矩 .,解,根据物理学知识，力 对点 的力矩是向量 ,其大小为 ，其中 为支点 到,力,的作用线的距离,为矢量 与 的夹角（如图8-10）,力矩 的方向规定为：伸出右手，让四指与大拇指垂直，,并使四指先指向 方向，然后让四指沿小于 的方向握,拳转向力 的方向，这时拇指的方向就是力矩 的方向,因此，力矩 是一个与向量 和向量 有关的向量，其大,小为,，其方向满足：,（1）同时垂直于向量 和 ；（2）向量 ，依次符合右,手螺旋法则,2叉积的定义,定义,2 两个向量 和 的叉积（也称为向量积）是一个向量，记作 ，并规定如下：,（1）；,（2）的方向规定为：既垂直于 又垂直于 ，并且,按顺序 ，符合右手螺旋法则（如图8-11）,若把 ，的起点放在一起，并以 ，为邻边作一平行四边形，,则向量 与 的叉积的模 即为该平行四边,形的面积（如图8-12）,3叉积满足的运算规律,由叉积的定义可得叉积满足下列运算规律：,（1）（反交换律：与 模相等，方向相反）,（2）（与数因子的结合律）,（3）（左分配律）,（右分配律）,定理2,两个非零向量 、平行的充要条件是 ,证明,（见书）,由此定理可得：,，；,，,4叉积的坐标表示式,设 ，,则,=,=,=,注意,利用三阶行列式，上式可写成,由于两个向量 与 平行的充分必要条件是 ，而 就是 的坐标全为零,即 ，,于是得：，。,所以两个非零向量 与 平行的充分必要条件是：,例4,设 ，求,解,=,例5,求垂直于 与 的单位向量,解,设 ，则 ，,由,而,故得所求单位向量为,例6,已知三点 ，求 的面积,。,解,因为,sin()，其在几何上表示以 ，为,邻边的平行四边形的面积，且,，,，则有：,故,例7,设 ，如果 与 平行，且已知 ，求 ,解,设,，,，则有 ，,从而得 ，又,又,即 ，所以 ，,故所求,(4),曲边梯形的曲边由参数方程给出的情形：,如果曲边梯形的曲边由参数方程 给出，其中当,到 时，参数 相应地从 变到 ，而 连续，且,恒有 （），则曲边梯形面积为：,。.,这里 与 分别是曲边的两个端点所对应的参数值。,例3,计算椭圆 的面积 。,解,由于椭圆关于两坐标轴对称（图7-6），,所以 ，其中 是椭圆位于第一象限部分,的面积,。,椭圆的参数方程为,，且当 时，；时，。,按公式，得所求面积为：,。,2极坐标情形,设由平面曲线 （）及两条射线,围成一平面图形（图7-7），这种图形称为“,曲边扇形,”。,下面推导在极坐标系下“曲边扇形”的面积公式。,取 为积分变量，其变化区间为 。,于微小区间 上，以小圆扇形面积（图7-7,中的阴影部分）作为小曲边扇形面积的近似值，得面积微元为：,。,再积分，便得所求的曲边扇形面积为：,.,例4,求双纽线 所围成的图形面积（图7-8）。,解,由图形的对称性，只需求其在第一象限中的面积，然后再4,倍即可。在第一象限 的变化范围为 ，于是,由公式 即得所求图形的面积为：,。,例5,求心形线 及圆 所围成的阴影部分面积,（图7-9）。,解,先求两线交点，以确定 的变化范围，,解方程组 ，得 。,由图形的对称性，得所求面积为：,二体积,1平行截面面积为已知的立体体积,设一物体被垂直于某直线的平面所截的面积可求，则该物体可,用定积分求其体积。,对于一个空间立体，不妨设它与轴线 轴相垂直的平面的截面,面积 （）是一已知的连续函数，如图7-10，则可求,得该立体介于,和 之间的体积。,在微小区间 上视 不变，得体积微元,，,再对 在 上积分，则得体积公式：,.,例6,设有底圆半径为 的圆柱，被一与圆柱地底面交成 角且,过底圆直径的平面所截，求截下的楔形体积(图7-11)。,解,取坐标系如图，则底圆方程为：。,取 为积分变量，其变化区间为 。,在 的任一点 处垂直于 轴作立体的,截面，得一直角三角形，两条直角边分别为,及 ，即 及 。,此直角三角形面积为 ，从而根据公式，即得,楔形体积为：,。,2旋转体体积,旋转体是由某平面内的一个图形绕该平面内的一条定直线旋转,一周而成的立体，这条定直线称为旋转体的轴。,设一旋转体是由连续曲线 和直线 及 轴,所围成的曲边梯形绕 轴旋转而成(图7-12)，下面来求它的体,积 。,这时截面面积 是圆面积，。,在 的变化区间 上积分，得旋转体体,积为：.,类似地，由曲线 和直线 及 轴所围成,的曲边梯形绕 轴旋转，所得旋转体体积(图7-13)为：,例7,求由椭圆 所围成的图,形绕 轴旋转而成的旋转椭球体体积(图7-14)。,解,旋转椭球体可看作由上半椭圆,及 轴围成的图形绕 轴旋转而成的，于是,由公式可得所求体积为：,。,例8,求圆 绕 轴旋,转一周所成的旋转体(环体)的体积(图7-15)。,解,将圆方程改写为 ，右半圆弧,方程为 ，左半圆弧,方程为 ，环体是这两个半圆,在 轴的区间 上所围成的曲边梯形绕,轴旋转所得体积之差，于是得体积微元为：,从而由公式可得环体体积为：,。,三平面曲线的弧长,1在直角坐标系中的计算,设曲线 具有一阶连续导数 ，现要求该曲线上从,到 的一段弧 的长度 (图7-16),。,取 为积分变量，它的变化区间为 。,在 上任取微小区间 ，则曲线在,上的小弧段 的长度可以用曲线,在点 处的切线相应于 上,的切线段 来近似代替，于是得弧长微元为：,这里 也即弧微分公式。,最后在 积分，就得所求弧长：,2曲线由参数方程表达时的计算,设曲线的参数方程为 ，当 时，所,对应的点就是曲线上的 点，又 在 上有一阶连,续导数，我们来计算曲线弧 的长度 。,取 为积分变量，它的变化区间为 。在 上任取微小,区间 ，则曲线相应于 的小弧段长度 的近似值,是弧微分，即这时弧长微元为 ,从而所求弧长为：,.,注意,(1)计算弧长时，由于被积函数都是正的，因此为使弧,长为正，定积分定限时要求下限必须小于上限；,(2)由于弧长公式中被积函数比较复杂，所以代公式前，要将,部分充分化简后再求积分,。,例9,两根电线杆之间的电线，由于自身重量而下垂成曲线，这,一曲线称为悬链线，已知悬链线方程为 ，求,从 到 这一段的弧长(图7-17)。,解,先求导：，于是弧长微元为：,故由公式得悬链线的所求弧长为：,。,例10,求摆线 在 的一拱的弧长。,解,由于在 上，故由公式可得这一拱摆线长为：,。,第三节 平面与直线,一、平面的方程,1.平面的点法式方程,（1）.法向量,如果一个非零向量垂直于一个平面，则称此向量为该平面的,法（线）向量,。,（2）.平面的点法式方程,已知点 为平面 上一点，向量,为平面 的法向量，求平面 的方程,。,设点为 平面 上任意一点，连结 成向量,（,（,见图8-13）。,由于平面 的法向量 垂直于 上任一直线，故有 ，,从而得到 ，,即有 ，,于是得,方程为：（1）,显然平面,上任一点满足方程（1）；反之，若,点,不在平面 上，,则,不垂直 ，,从而,即点,的坐标不满足方程（1），故方程（1）,是平面 的方程。平面 是方程（1）的图形，,我们称这种由平,面 上一定点和其法向量所确定的平面,方程为,平面的点法式方,程,。,例1,求过点,且垂直于向量 的平面方程。,解,由公式（1）得所求平面方程为,，,即 。,例2,求过三点 ,的平面方程。,解,，设 ,则 ，,即 垂直于所求平面，从而有：,故所求平面为 ,即 。,2.平面的一般方程,由,上面的讨论可以看出，任一平面方程都是三元一次方程。,反之，任一三元一次方程 (2),的图形必为平面。,这是因为任取满足方程（2）的一组数 ，有,:,（3）,式（2）式（3），得 ,这是过点 且法向量 的平面方程，,即任,一三元一次方程的图形是一平面。我们称方程,为,平面的一般（式）方程,，其中 。,下面研究几种特殊位置的平面方程：,（1）若 ，则平面一般方程变为 ,由 于点,满足方程，故它表示通过原点的平面。,2）若 ，则方程化为 ，即平面法向量,在轴上投影为0，,故 垂直 轴，,所以平面平行于,轴；若 ,则平面过 轴。,同理，平行于 轴和 轴的平面方程分别为：,；通过 轴和 轴的平面方程分别为：,，；,（3）若 ，则平面方程化为 ，故平面平行于 轴及 轴，因而该平面平行于 坐标面。,，分别为 ，坐标面。,注意,平面方程中若缺 中的某一项，则平面就平行,或,通过（时）那项所对应的坐标轴；若缺其中两项，则平,面就平行或重合（时）于那两项所决定的平面。,例3,求通过 轴和点 的平面方程。,解,由所给条件，设所求平面方程为 ,由点,在平面上，所以有 ,代入方程 ,得 ，又显然 ，故得所求平面方程为:,例4,求过点 ,且平行于 ，,的平面方程。,解,设平面的法向量为 ，由条件 ，所以可取：,故所求平面方,程为 ,。类似例2可得，,过点 ,的平面方程为,，我们称之为,平面的截距式方程,。其中,分别为平面在 轴，轴，轴上的,截距,（如图8-14）。,例5,求在 轴，轴，轴上的截距分别为,3，-1，2,的平面方程。,解,由条件知所求平面方程为 。,例6,一平面过点 ，且与平面,平行，求该平面方程。,解 由条件知所求平面的法线向量 平行于平面,的法线向量 ，故可取：,由法点式得所求平面方程为:,即 。,例7,一平面过点 ，,且与平面,垂直，求该平面的方程。,解,平面 的法向量 ，,显然所求平面的法向量 ，故可取：,由点法式得所求平面方程为 ，,即 。,在这里，我们规定两平面法向量间的夹角为,两平面的夹角,。,例8,求两平面 与 的夹角 。,解,已知 ，故,于是得夹角 。,二、直线的方程,1.直线的点向式方程及参数式方程,（1）.直线的方向向量,如果一个非零向量平行于一条已知直线，则称这个向量为该直,线的,方向向量,。,（2）.直线的点向式方程（标准式方程）,已知向量,（不全为零）,和一定点,，求经过点 且与平行的直线方程。,设 是所求直线上的任意一点，由条件 ，而,，,（如图8-15），由二非零向量平行的充分必要条件,得：,(4),方程组（4）称为,直线的点向式方程,（也称为,直线的标准式方,程,）。,注意,因为 ，所以 不全为零。,若其中有一个为零，例如 时，（4）式应理解为,而当有两个为零时，,例如 ,（4）式应理解为,例9,求过两点 ，的直线方程。,解,所求直线的方向向量为：,由直线的点向式方程得所求直线方程为,（3）。直线的参数式方程,设,一,直线的点向式方程为：，,于是有 ，即有,（t为参数,）(5),我们称方程组（5）为直线的,参数式方程,。,2。直线的一般式方程,空间直线也可看作两个平面的交线，所以可用这两个平面方程的联立方程组来表示直线的方程，即：,(6),方程组（6）称为直线的,一般式方程,，也称为直线的,面交式方程,。,注意,只有两个平面不平行时才会有交线。,3.直线一般式方程与点向式方程的相互转化,（1）.一般式方程化为点向式方程,由直线的一般式方程化为点向式方程，可先求出满足式（6）的,任意一组解 ，则点 即为直线上的点；,由于直线的方向向量 与两平面的法向量 ，都垂直，,所以可选 。,由点 及方向向量 可把直线的一般式,方程化为点向式方程。,例10,把直线的一般式方程 化为点向式方,程。,解,由条件知两平面的法向量分别为：，,设所求直线的方向向量为 ，则 ，故取,，即,再求直线上的一定点A，取 ，得 解得 ，即 在直线上，故得直线点向式方程为 。,（2）.点向式方程化为一般式方程,由直线的点向式方程化为一般式方程，只需将点向式方程的两个等号所联接的式子写成两个平面方程，再联立即可。,即,变形后，得：,，此即为,直线的一般式方程。,例11,求过点 且与直线 平行的直线方程。,解,因所求的直线与已知直线平行，故所求直线的方向向量,可取为 =2，3，-5，于是得到所求直线的标准方程为：,例12,求过点,M,(2，1，2)且与两平面2,x,+,y,+,z,+1=0和,x,+,y,z,2=0都平行的直线方程,。,解,因所求直线与两已知平面平行，,故所求直线的方向向量 与两已知平面的法向量 ，垂直，即 ,故取 ，,即 ，,于是得所求直线方程为 。,4。两直线的夹角,两直线方向向量间的夹角称为两直线的夹角。,例13,求直线 和 间的夹角。,解,直线,L,1，,L,2的方向向量分别为 ，,故两直线间的夹角 的余弦为：,所以 。,例14,求过点,A,(1，1，0)和直线 的平面方程。,解,显然点 在平面上，设所求平面法向量为 ，,则 ，其中 ，,从而,故所求平面方程为 ，即,例15,求过直线 且与平面 垂直的平面方程。,解,显然已知直线的方向向量 ，已知平面的法向量 ，设所求平面法向量为 ，则 ，,于是取 ，又所求平面过已,知直线上的点 ，故所求平面方程为：,即 。,三、直线与平面的位置关系,直线与它在平面上的投影线间的夹角 ，称为,直线与平面的夹角,。,设直线,L,的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，向量 与 间的夹角为 （如图8-16），则,，所以,。,例16,讨论直线,L,：和平面 ：,的位置关系。,解,由于直线,L,的方向向量 ，平面 的法向量,，所以，直线,L,与平面 的夹角 的正弦：,所以 ，即直线,L,与平面 平行或直线,L,在平面 内。容易验,证直线,L,上的点 在平面 上，,所以直线,L,在平面 上。,第四节 曲面与空间曲线,一、曲面方程的概念,定义,如果曲面上每一点的坐标都满足方程 ，,而不在曲面 上的点的坐标都不满足这个方程，则称,方程,为曲面 的方程，,而称,曲面 为此方程的图,形,。,例1,求与两定点 ，等距离的点的轨,迹方程。,解,设 为轨迹上的点，按题意有：，,=，,化简得：,因此在轨迹上的点的坐标满足上述方程，而不在轨迹上的点的,坐标不满足该方程，所以它就是所求点的轨迹方程。该方程是,的一次方程，它表示一个平面。,例2,求球心在 ，半径为,R,的球面方程。,解,设定点 的坐标为 ，则点 在以,为球心，,以,R,为球半径的球面上的充要条件为,即 。,两边平方，得 ,显然，球面上的点的坐标满足方程，不在球面上的点的坐标,不满足方程，所以方程就是以 球心，以,R,为球,半径的球面方程。,时，则得球心在坐标原点的球面方,程为：,二、母线平行于坐标轴的柱面,1.定义,直线,L,沿定曲线,C,平行移动所形成的曲面称为,柱面,；定曲线,C,称为柱面的,准线,，动直线,L,称为柱面的,母线,（见图8-17）。,2.柱面方程,本节我们只讨论准线在坐标面上，而母线垂直,于该坐标面的柱面，先看一个具体问题。,设一个圆柱面的母线平行于,z,轴，准线,C,是 平面上以原点为,圆心，,R,为半径的圆，即准线,C,的方程为 ，试求。,在圆柱面上任取一点 ，过点的母线与 平面的交点,一定在准线,C,上（见图8-18），所以不论点,M,的坐标,中的,z,取什么值，它的横坐标,x,和纵坐标,y,必定满足方,程 ;,反之，不在圆柱面上的点，它的坐标不满足,这个方程，于是所求柱面方程为 。,注意,在平面直角坐标系中，方程 表示一个圆，,而在空间直角坐标系中，方程 表示一个母线平行于,z,轴的圆柱面。,一般来说，如果柱面的准线是 面上的曲线,C,，它在平面直角坐标系中的方程为 ，那么，,以,C,为准线，母线平行于z轴的柱面方程,就是 。相仿地，方程 表示,母线平行于,x,轴的柱面；,方程 表示母线平行于y轴的柱面。,于是，我们有,结论,：在空间直角坐标系,下，,二元方程必为柱面方程,，且方程中缺哪个,变量，,该柱面的母线就平行于哪一个坐标轴。,例如：,方程 表示母线平行于轴的椭,圆柱面，方程 表示母线平行于轴,的双曲柱面，方程 表示母线,平行于轴的抛物柱面，,以上三个方程都是二次的，因此称其为,二次柱面,（见图8-19、,8-20、8-21）。,三、旋转曲面,1.定义,一平面曲线,C,绕同一平面上的一条定直线,L,旋转一周所形成的曲面称为,旋转曲面,；其中曲线,C,称为,旋转曲面的母线,，直线,L,称为,旋转曲面的轴,（或称,旋转轴,）。,.旋转曲面方程,我们本节主要讨论母线在某个坐标面上，旋转轴是该坐标面上,的一条坐标轴的旋转曲面。,设在 平面上有一条已知曲线,C,，它方程是：,求此曲线,C,绕轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程（见图8-,22）。,在旋转曲面上任取一点 ，,设这点是,由母线上点 绕轴旋转一定角度而得,到。由图8-22可知，点 与,z,轴的距离等于,点与,z,轴的距离，,且有同一竖坐标，即,又因为点 在母线,C,上，,所以 ，于是有：。旋转曲面上的,点都满足方程 ，而不在旋转曲面上的点都不,满足该方程，故此方程是母线为,C,，旋转轴为,z,轴的旋转,曲面的方程。可见，只要在 坐标面上曲线,C,的方程,中，将 y 换成 ，就得到曲线,C,绕轴旋转的旋转曲面,方程。,同理，曲线,C,绕,y,轴旋转所成的的旋转曲面方程为,对于其它坐标面上的曲线，绕该坐标面上任何一条坐标轴旋转,所生成的旋转曲面，其方程可以用上述类似方法求得。,例3,求由 平面上的直线 绕z轴旋转所生成的旋,转曲面方程。,解,在 中，把 y 换成 ，得所求方程为,，即 ，此曲面为顶点在原点，对称轴为轴的圆锥面（见图8-23）。,四、二次曲面,由上一节已知，在空间直角坐标系中，若方程 是一次方程，则它的图形必是一个平面。,平面也称为一次曲面,；,若方程 是二次方程，则它的图形称为,二次曲面,。,对于空间曲面方程，我们一般地用一系列平行于坐标面的平面,去截曲面，从而求得一系列的交线，对这些交线进行综合分析,就可了解曲面的形状和特征，这种方法称为,截痕法,。,下面我们就用截痕法研究几个常见的二次方程所表示的二次曲,面的形状和特征。,1.椭球面,方程 所表示的曲面称为,椭球,面,，,其中a,、b、c,称为椭球面的半轴。,由方程 可知 ，,即,由此可见，该曲面包含在 ，这六个平面所,围成的长方体内。,现用截痕法来考察这个曲面。,用 坐标面 和平行于 坐标面的平面 去,截曲面，其截痕分别为椭圆，,且 由0逐渐增大到C时，椭圆,由大变小，逐渐缩为一点。,同样用 坐标面与平行于 坐标面的平面去截曲面和用,坐标面与平行于 坐标面的平面去截曲面，它们的交线,与上述结果类同。综上我们可知方程 所表示的曲,面形状如图8-25所示。,当 时原方程化为 ，,它是一个椭圆绕轴旋转而成的,旋转椭球面,。,由方程 知 ，故曲面在 坐,标面的上方。,用 坐标面去截曲面，截痕是一点 ，称为此椭圆抛,物面的顶点。,用平行于 坐标面的平面 截此曲面，其交线为,平面上的椭圆，,且当 h 增大时，椭圆的半轴也随之增大。,若用平面 或 截曲面，其交线分别为抛物线。,综合上面的讨论可得椭圆抛物面的形状,如图8-26所示。,当 时，原方程化为 ，,它是由抛物线绕 z 轴旋转而成，称为,旋转抛物面,。,类似的讨论可得方程 和,所表示的图形。,这里,所表示的曲面称为,单叶双曲面,。,其图形如图8-27所示；而方程,所表示的曲面称为,双叶双曲面,，,其图形如图8-28所示。,五、空间曲线及其在坐标面上的投影,1.空间曲线的一般式方程,第三节中我们曾经把空间直线看作是两平面的交,线，类似地，也,可以把空间曲线看作是两张曲面,的交线,。,设 曲面的方程是 ，曲面 的方,程是 ，,则其交线,C,上的点必定同,时满足 ，的方程。不在,C,上的点一定不能,同时满足这两个方程。,因此，联立方程组 即为空间曲线,C,的方,程，它称为空间曲线的,一般式方程,。,2.投影柱面及投影曲线,设空间曲线,C,的方程为 ,过曲线,C,上的每一点作,坐标面的垂线，这些垂线形成了一个母线平行于轴且过,曲线,C,的柱面，称此柱面为曲线,C,关于 面的,投影柱面,。这个,柱面与 面的交线称为曲线,C,在 面上的,投影曲线,，简,称,投影,。,3.投影曲线方程,在方程组,中消去变量,Z，得方程,。,上述方程缺变量Z，所以它是一个母线平行于 Z轴的柱面。又,因为,C,上的点的坐标满足方程组 ,当然也满足方,程 ，所以,C,上的点都在此柱面上。方程,就是曲线,C,关于 面的投影柱面方程。它与 面的交线,就是,C,在 面上的投影方程。,同理，若分别从方程组 中消去变量x或y，分别得,方程 或 ，则曲线,C,在 面与 面的,投影方程分别为 与 。,例5,求曲线 在 面上的投影方程，并问它,在 面上是怎样一条曲线？,解,消去z变量得 ，这是曲线,C,关于 坐标面的投影柱面方程，所以曲线,C,在 坐标面上的投影方程为 ,它是 坐标面上的一个圆（见图8-29）。,例6,求空间曲线,C,在 坐标面上的投影曲线,方程。,解,由所给方程组消去,Z,即得曲线,C,关于 坐标面的投影,柱面方程为 ，,此柱面与 坐标面的交线：,即为曲线,C,在坐标面的投影曲线（见图8-30）。,