高数复习知识点.pdf
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1、高等数学(上)知识点第 1 页 共 12 页高等数学上册知高等数学上册知识识点点、函数与极限函数与极限、函数函数1、函数定函数定义义及性及性质质(有界性、(有界性、单调单调性、奇偶性、周期性);性、奇偶性、周期性);2、反函数、复合函数、函数的运算;反函数、复合函数、函数的运算;3、初等函数:初等函数:幂幂函数、指数函数、函数、指数函数、对对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数;反双曲函数;4、函数的函数的连续连续性与性与间间断点;断点;(重点)(重点)函数函数在在连续连续 )(xf0 x)()(lim00 xfxfxx 第一第一类类:左右
2、极限均存在:左右极限均存在.间间断点断点 可去可去间间断点、跳断点、跳跃间跃间断点断点 第二第二类类:左右极限、至少有一个不存在:左右极限、至少有一个不存在.无无穷间穷间断点、振断点、振荡间荡间断点断点5、闭闭区区间间上上连续连续函数的性函数的性质质:有界性与最大:有界性与最大值值最小最小值值定理、定理、零点定理零点定理(重点)、(重点)、介介值值定理及其推定理及其推论论.、极限极限1、定定义义1、数列极限数列极限 axNnNaxnnn ,0lim2、函数极限函数极限AxfxxxAxfxx)(0 ,0 ,0)(lim00使 使使 使使 使高等数学(上)知识点第 2 页 共 12 页左极限:左极
3、限:右极限:右极限:)(lim)(00 xfxfxx)(lim)(00 xfxfxx)()()(lim000 xfxfAxfxx使 使使 使2、极限存在准极限存在准则则1、夹夹逼准逼准则则:1))(0nnzxynnn2)azynnnnlimlimaxnnlim2、单调单调有界准有界准则则:单调单调有界数列必有极限有界数列必有极限.3、无无穷穷小(大)量小(大)量1、定定义义:若:若则则称称为为无无穷穷小量;若小量;若则则称称为为无无穷穷大量大量.lim0lim2、无无穷穷小的小的阶阶:高:高阶阶无无穷穷小、同小、同阶阶无无穷穷小、等价无小、等价无穷穷小、小、阶阶无无穷穷小小kTh1 ;)(oT
4、h2 (无(无穷穷小代小代换换)limlim lim,使 使使 使使 使使 使4、求极限的方法求极限的方法1、单调单调有界准有界准则则;2、夹夹逼准逼准则则;3、极限运算准极限运算准则则及函数及函数连续连续性;性;4、两个重要极限:两个重要极限:(重点)(重点)a)b)1sinlim0 xxxexxxxxx)11(lim)1(lim105、无无穷穷小代小代换换:(:()(重点)(重点)0 xa)xxxxxarctanarcsintansin高等数学(上)知识点第 3 页 共 12 页b)221cos1xxc)()xex1axaxln1d)()xx)1ln(axxaln)1(loge)xx1)1
5、(、导导数与微分数与微分、导导数数1、定定义义:000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx左左导导数:数:000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx右右导导数:数:000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx函数函数在在点可点可导导)(xf0 x)()(00 xfxf2、几何意几何意义义:为为曲曲线线在点在点处处的切的切线线的斜率的斜率.)(0 xf)(xfy)(,00 xfx3、可可导导与与连续连续的关系:的关系:4、求求导导的方法的方法1、导导数定数定义义;(重点)(重点)2、基本公式;基本公式;3、四四则则运算;运算;4、复合函数求复合函数求导导(链链式法式法则则););
6、(重点)(重点)5、隐隐函数求函数求导导数;数;(重点)(重点)6、参数方程求参数方程求导导;(重点)(重点)高等数学(上)知识点第 4 页 共 12 页7、对对数求数求导导法法.(重点)(重点)5、高高阶导阶导数数1、定定义义:dxdydxddxyd222、Leibniz 公式:公式:nkknkknnvuCuv0)()()(、微分微分1、定定义义:,其中,其中与与无关无关.)()()(00 xoxAxfxxfyAx2、可微与可可微与可导导的关系:可微的关系:可微可可导导,且,且dxxfxxfdy)()(00、微分中微分中值值定理与定理与导导数的数的应应用用、中中值值定理定理1、Rolle 定
7、理:定理:(重点)(重点)若函数若函数满满足:足:)(xf1);2);3);,)(baCxf),()(baDxf)()(bfaf则则.0)(),(fba使 使2、Lagrange 中中值值定理:若函数定理:若函数满满足:足:)(xf1);2);,)(baCxf),()(baDxf则则.)()()(),(abfafbfba使 使3、Cauchy 中中值值定理:若函数定理:若函数满满足:足:)(),(xFxf1);2);3),)(),(baCxFxf),()(),(baDxFxf),(,0)(baxxF则则)()()()()()(),(FfaFbFafbfba使 使高等数学(上)知识点第 5 页
8、共 12 页、洛必达法洛必达法则则(重点)(重点)、Taylor 公式公式(不考)(不考)、单调单调性及极性及极值值1、单调单调性判性判别别法:法:(重点)(重点),则则若若,,)(baCxf),()(baDxf0)(xf则则单调单调增加;增加;则则若若,则则单调单调减少减少.)(xf0)(xf)(xf2、极极值值及其判定定理:及其判定定理:a)必要条件:必要条件:在在可可导导,若,若为为的极的极值值点,点,则则.)(xf0 x0 x)(xf0)(0 xfb)第一充分条件:第一充分条件:(重点)(重点)在在的的邻邻域内可域内可导导,且,且,)(xf0 x0)(0 xfc)则则若当若当时时,当,
9、当时时,则则为为极大极大值值点;点;0 xx 0)(xf0 xx 0)(xf0 x若当若当时时,当,当时时,则则为为极小极小值值点;点;0 xx 0)(xf0 xx 0)(xf0 x若在若在的两的两侧侧不不变变号,号,则则不是极不是极值值点点.0 x)(xf 0 xd)第二充分条件:第二充分条件:(重点)(重点)在在处处二二阶阶可可导导,且,且,)(xf0 x0)(0 xf,0)(0 xfe)则则若若,则则为为极大极大值值点;点;若若,则则为为极小极小值值点点.0)(0 xf0 x0)(0 xf0 x3、凹凸性及其判断,拐点凹凸性及其判断,拐点1)在区在区间间 I 上上连续连续,若,若,则则称
10、称在在)(xf2)()()2(,212121xfxfxxfIxx)(xf区区间间 I 上的上的图图形是凹的;若形是凹的;若,则则称称在在2)()()2(,212121xfxfxxfIxx)(xf区区间间 I 上的上的图图形是凸的形是凸的.2)判定定理)判定定理(重点)(重点):在在上上连续连续,在,在上有一上有一阶阶、二、二阶导阶导数,数,则则)(xf,ba),(ba a)若若,则则在在上的上的图图形是凹的;形是凹的;0)(),(xfbax)(xf,ba b)若若,则则在在上的上的图图形是凸的形是凸的.0)(),(xfbax)(xf,ba高等数学(上)知识点第 6 页 共 12 页3)拐点:)
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