知识点047--多项式解答题资料44.pdf

一解答题 1试至少写两个只含有字母 x、y 的多项式，且满足下列条件：（1）六次三项式；（2）每一项的系数均为 1 或1；（3）不含常数项；（4）每一项必须同时含字母 x、y，但不能含有其他字母 考点：多项式。专题：开放型。分析：多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”，满足条件（1），即最高项的次数为 6，满足条件（2），多项式的系数是 1 或1，满足条件（3），即多项式没有常数项，满足条件（4）多项式中每项都含 xy，不能有其它字母 解答：解：此题答案不唯一，如：x3y3x2y4+xy5；x2y4xyxy2 点评：多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”，要看清每项条件的要求 2已知多项式（2mx2x2+3x+1）（5x24y2+3x）化简后不含 x2项求多项式 2m33m3（4m5）+m的值 考点：多项式。分析：化简 2mx2x2+3x+15x2+4y23x 得（2m6）x2+4y2+1，不含 x 的二次项，2m6=0，由此可以求出 m，然后即可求出代数式的值 解答：解：原式=2mx2x2+3x+15x2+4y23x=（2m6）x2+4y2+1 不含 x 的二次项 2m6=0 m=3 2m33m3（4m5）+m=2m33m3+4m5m=m3+3m5=27+95=23 点评：本题考查了多项式的化简，关键是利用不含的 x2项是该项系数为 0，求出 m 的值 3对于多项式 3x2 x4y1.3+2xy2，分别回答下列问题：（1）是几项式；（2）写出它的各项；（3）写出它的最高次项；（4）写出最高次项的次数；（5）写出多项式的次数；（6）写出常数项 考点：多项式。分析：多项式是由单项式组成，包括常数，确定单项式是包括前面的符号，多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”根据前面的定义即可确定多项式 3x2 x4y1.3+2xy2的项数，最高次项，次数 解答：解：多项式 3x2 x4y1.3+2xy2有 4 项组成，最高项是 x4y，次数是 5，常数项是1.3（1）四项式；（2）3x2，x4y，1.3，2xy2；（3）x4y；（4）5 次；（5）5 次；（6）1.3 点评：多项式是由单项式组成，多项式中不含字母的项是常数项，确定单项式是包括前面的符号，多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”4已知多项式（2mx2x2+3x+1）（5x24y2+3x），是否存在 m，使此多项式与 x 无关？若不存在，说明理由；若存在，求出 m 的值 考点：多项式。分析：使多项式与 x 无关，即含 x 的项的系数为 0，所以先去括号，合并同类项，再令含 x 的项的系数为 0 即可 解答：解：（2mx2x2+3x+1）（5x24y2+3x）=2mx2x2+3x+15x2+4y23x=（2m15）x2+4y2+1=（2m6）x2+4y2+1，当 2m6=0，即 m=3 时，此多项式为 4y2+1，与 x 无关 因此存在 m，使多项式（2mx2x2+3x+1）（5x24y2+3x），与 x 无关，m 的值为 3 点评：解决本题的关键是理解“使此多项式与 x 无关”这句话的含义，在多项式中不含哪项，即哪项的系数为 0 5已知：A=ax2+x1，B=3x22x+1（a 为常数）若 A 与 B 的和中不含 x2项，则 a=3；在的基础上化简：B2A 考点：多项式。分析：不含 x2项，即 x2项的系数为 0，依此求得 a 的值；先将表示 A 与 B 的式子代入 B2A，再去括号合并同类项 解答：解：A+B=ax2+x1+3x22x+1=（a+3）x2x A 与 B 的和中不含 x2项，a+3=0，解得 a=3 B2A=3x22x+12（3x2+x1）=3x22x+1+6x22x+2=9x24x+3 点评：多项式的加减实际上就是去括号和合并同类项 多项式加减的运算法则：一般地，几个多项式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项 合并同类项的法则：把系数相加减，字母及字母的指数不变 本题注意不含 x2项，即 x2项的系数为 0 6当 a=1，b=0.5 时，求多项式 12a2（ab）（a2+b2）的值 考点：多项式。分析：此题可以将将 a、b 的值代入式中求值，也可以化简多项式再代入数值求值，由于没有同类项，所以两种方法都比较麻烦 解答：解：当 a=1=，b=0.5=时，原式=12（）2（）（）2+（）2=12 2（+）=22 点评：求单项式的值要注意书写格式及运算顺序，字母值是负数时要注意加括号，分数平方应加括号 7买单价 c 元的球拍 a（a0）个，付出 500 元钱，应找回多少元钱？用代数式表示，并说明你列出的代数式是单项式还是多项式？考点：多项式。分析：先根据总价=单价数量，得出买 a 个球拍所需钱数，再用 500 元总价，即可得出结果；然后根据单项式、多项式的定义进行判断 解答：解：买单价 c 元的球拍 a（a0）个，需要 ac 元，如果付出 500 元钱，那么应找回（500ac）元钱；500ac 是多项式 点评：本题考查了列代数式及多项式的定义 8若 P 是关于 x 的三次三项式，Q 是关于 x 的五次三项式，则 P+Q 是关于 x 的5次多项式，PQ 是关于 x 的5次多项式 考点：多项式。分析：根据多项式的次数的定义来解答多项式的次数是多项式中最高次项的次数合并同类项时，只有同类项才可以合并，Q 中的五次项没有同类项，所以所得结果仍为五次多项式 解答：解：无论 P+Q 还是 PQ，Q 中的最高次项 5 次项都是消不掉的，因为 P 只是一个三次多项式，所以，则P+Q 是关于 x 的 5 次多项式，PQ 是关于 x 的 5 次多项式 点评：此题考查的是多项式的定义，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数 9已知：多项式 x2（3k1）xy3y2+3mxy8 中不含 xy 项求 8k+1423m+2的值 考点：多项式。分析：首先根据 xy 项的系数为 0，求出 k 与 m 的关系式，然后将所求代数式改写为 2 的幂的形式，再把 k 与 m 的关系式代入即可 解答：解：由题意，可知（3k1）+3m=0，3k3m=1 8k+1423m+2=（23）k+12223m+2=23k+3+23m2=23k3m+3=21+3=16 点评：本题主要考查了求代数式的值的方法多项式中不含 xy 项，即 xy 项的系数为 0，据此得出 3k3m=1，再将其整体代入求值 10把多项式 2+r3r2r 按 r 升幂排列 考点：多项式。分析：先分清多项式的各项，然后按多项式降幂排列的定义排列我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列 解答：解：多项式 2+r3r2r 的各项分别是 2，r3，r2，r，按 r 升幂排列为 2rr2+r3 点评：我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号 11已知多项式 x2ym+1+2xy23x34 是六次四项式，而单项式 26x2ny5m的次数与这个多项式的次数相同，求 n的值 考点：多项式。分析：由于多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”，多项式 x2ym+1+2xy23x34 中 2xy2和 3x3的次数都是 3 次，因此 x2ym+1是最高次项，由此得到 2+m+1=6，从而确定 m 的值；又单项式 26x2ny5m的次数也是 6次，由此可以确定 n 的值 解答：解：多项式 x2ym+1+2xy23x34 是六次四项式，2+m+1=6，m=3；又单项式的次数与多项式次数相同，2n+5m=6，n=2 点评：本题主要考查了多项式的次数和项数的概念，利用定义确定待定系数的值 12把多项式3ab+5b46a52a2b2分别按 a 的降幂和按 b 的升幂排列起来 考点：多项式。分析：对一个多项式作升幂（或降幂）排列应先确定是对哪个字母排列，每一种排列只能按这个字母的指数大小作为标准，如按字母 a 的降幂排列就是将含 a 的项按 a 的指数由大到小排列当然，重新排列多项式，实质上是根据加法交换律进行的，因此在变更某一项的位置时，一定要带着这一项的符号一起移动其中，带有“+”号的项移到第一项时“+”号可以省略；带有“”号的项移到第一项时“”号不能省略 解答：解：（1）按 a 的降幂排列：6a52a2b23ab+5b4；（2）按 b 的升幂排列：6a53ab2a2b2+5b4 点评：本题考查了多项式的升幂和降幂排列，排列时一定要带着这一项的符号一起移动 13关于 x，y 的多项式 6mx2+4nxy+2x+2xyx2+y+4 不含二次项，求 6m2n+2 的值 考点：多项式。分析：由于多项式 6mx2+4nxy+2x+2xyx2+y+4 不含二次项，即二次项系数为 0，在合并同类项时，可以得到二次项为 0，由此得到故 m、n 的方程，即 6m2x2=0，4n+2=0，解方程即可求出 n，m，然后把 m、n 的值代入6m2n+2，即可求出代数式的值 解答：解：多项式 6mx2+4nxy+2x+2xyx2+y+4=（6m1）x2+（4n+2）y+2x+y+4 不含二次项，即二次项系数为 0，即 6m1=0，m=；4n+2=0，n=，把 m、n 的值代入 6m2n+2 中，原式=4 点评：根据在多项式中不含哪一项，则哪一项的系数为 0，由此建立方程，解方程即可求得待定系数的值 14如果多项式 xmyn+1z+x2y（m2）x24 是八次三项式，试求 m、n 的值 考点：多项式。分析：由于多项式是八次三项式，则 xmyn+1z 只能是最高次项了，由此得到 m+n+1=8，而多项式只有三项，可以得到（m2）x2的系数为 0，由此可以求出 m，再利用可以求出 n 解答：解：由题意知，m+n+1+1=8，m2=0 m=2，n=4 点评：本题考查了多项式的最高次项的概念以及多项式的项数的定义 15下列代数式，哪些是多项式，并指出它是几次几项式（1）x4+2x21（2）2xy+（3）a3+2ab+b3a3b 考点：多项式。分析：几个单项式的和叫多项式；多项式中的每个单项式叫做多项式的项；多项式中不含字母的项叫常数项；多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数根据以上概念分析每个选项（1）和（3）是多项式（2）中含有，不是和的形式，所以不是多项式 解答：解：（1）和（3）是多项式；（2）中含有分式，不是和的形式，所以不是多项式；（1）x4+2x21 是四次三项式；（3）a3+2ab+b3a3b 是四次四项式 点评：本题考查了多项式的有关定义，充分利用定义解决问题 16有一个多项式 a10a9b+a8b2a7b3+按这样的规律写下去，你知道第 7 项是什么吗？最后一项呢？这是一个几次几项式？有什么规律？考点：多项式。专题：规律型。分析：可以观察出，从左到右，a 的指数在逐渐减 1，b 的指数在逐渐加 1当 a 的指数为 0 时为最后一项，此时b 的指数为 10，共 11 项，因此是 10 次 11 项式，项数与字母的次数关系是（1）n+1a11nbn1，这里 n 代表第 n项根据这个公式可以任意确定第几项 解答：解：可以观察出，从左到右，a 的指数在逐渐减 1，b 的指数在逐渐加 1，第 7 项是 a4b6，最后一项是 b10，这里是关于 a，b 的十次十一项式，项数与字母的次数关系是（1）n+1a11nbn1，这里 n 代表第 n 项 点评：本题是找规律题，关键是找出每项表示方法为（1）n+1a11nbn1 17已知多项式 x3x2ym+1+x3y3x41 是五次四项式，单项式 3x3ny3mz 与多项式的次数相同，求 m，n 的值 考点：多项式。分析：多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”，由于多项式 x3x2ym+1+x3y3x41 中 x3y3x4的次数都是4 次，可以推出3x2ym+1的次数就是 5 次了，2+m+1=5，由此可以求出 m；而单项式 3x3ny3mz 与多项式的次数相同，3n+3m+1=5，由此可以求出 n 解答：解：多项式 x3x2ym+1+x3y3x41 是五次四项式的，2+m+1=5，m=2；又单项式 3x3ny3mz 与多项式的次数相同，3n+3m+1=5，n=1 点评：本题考查了多项式的最高次项的定义和多项式的次数的定义 18关于 x，y 的多项式（3a+2）x2+（9a+10b）xyx+2y+7 不含二次项，求 3a5b 的值 考点：多项式。分析：由于多项式（3a+2）x2+（9a+10b）xyx+2y+7 不含二次项，则 3a+2=0，9a+10b=0，求出 a、b 的值后再代入代数式即可求代数式的值 解答：解：由题意可知 3a+2=0，则 a=，9a+10b=0，则 b=当 a=，b=时，3a5b=3（）5=5 点评：本题考查了多项式的概念，解题的关键是明白多项式中不含那一次项，则该次项的系数为 0 19当 x，y 为何值时，多项式 x2+y24x+6y+28 有最小值，求出这个最小值 考点：多项式。分析：把所给多项式整理为两个完全平方式相加的形式，括号外的常数即为多项式的最小值 解答：解：x2+y24x+6y+28=x24x+4+y2+6y+9+15=（x2）2+（y+3）2+15，多项式的最小值为 15 点评：解决本题的关键是把所给多项式整理为两个完全平方式相加的形式；难点是根据得到的式子判断出所求的最小值 20阅读下面计算+的过程，然后填空 解：因为=（），=（）=（）所以+=（）+（）+（）+（）=（+）=（）=以上方法为裂项求和法，请类比完成：（1）+=（2）在和式+（）=中最未一项为（3）已知3x2ya+1+x3y3x42 是五次四项式，单项式3x3by3a与多项式的次数相同，求+的值 考点：多项式；有理数的混合运算。专题：阅读型。分析：对于第一问，只需按照给出的规律展开即可求得，第二问则是知道结果求左边最后一项，可以运用方程思想，第三问首先需要根据多项式的次数求出 a，b 的值，然后再展开求值 解答：解：（1）原式=（+）=（）=（2）设最后一项为，则原式=（1+）=，解得 x=11 故最后一项为 （3）因为3x2ya+1+x3y3x42 是五次四项式，所以 2+a+1=5，则 a=2 又因为单项式3x3by3a与多项式的次数相同，所以 3b+3a=5，则 b=原式=2 =1=点评：此类问题一般都可以展开，前后项消去，最后只剩下前后两端的数值，计算较为简便 21当 x=20 时，一个关于 x 的二次三项式的值等于 694，若该二次三项式的各项系数及常数项都是绝对值小于 10的整数，求满足条件的所有二次三项式 考点：多项式；不等式的性质；解一元一次不等式组。分析：设满足条件的二次三项式为 ax2+bx+c（a、b、c 都是常数，且 abc0），先把 x=20 代入，得400a+20b+c=694，将其变形，得出 400a=694（20bc）再根据二次三项式的各项系数及常数项都是绝对值小于10 的整数，运用不等式的性质，分别求出 a、b、c 的值，从而得出结果 解答：解：设满足条件的二次三项式为 ax2+bx+c（a、b、c 都是常数，且 abc0）x=20，ax2+bx+c=694，400a+20b+c=694 400a=694（20b+c）10b10，10c10，21020b+c210，484400a904，1.21a2.26 又a 是整数，a=2 将 a=2 代入，得 20b+c=106 于是，20b=106c，又10c10，11620b96，5.8b4.8，又b 为整数，b=5 将 b=5 代入，得 c=6 将 x=20 代入 2x25x6，得其值为 694 满足条件的二次三项式只有 2x25x6 点评：本题利用不等式的性质考查了一元一次不等式组的解法及多项式的有关内容难度较大，属于竞赛题型 22下列代数式中，哪些是单项式？哪些是多项式？，2xy2，2x+y2，a2+3a2，3x，3x+4y，单项式：，2xy2，3x 多项式：2x+y2，a2+3a2，3x+4y 考点：多项式；单项式。分析：根据单项式和多项式的定义来求解数与字母乘积的代数式叫做单项式；几个单项式的和叫做多项式 解答：解：数与字母乘积的代数式叫做单项式，2xy2，3x 是单项式；几个单项式的和是多项式，2x+y2，a2+3a2，3x+4y 是多项式 故填空答案：，2xy2，3x；2x+y2，a2+3a2，3x+4y 点评：本题考查出了学生对单项式和多项式定义的掌握情况，应用到以下知识点：（1）表示数与字母乘积的代数式叫做单项式；（2）几个单项式的和叫做多项式 23多项式（a4）x3xb+xb 是关于 x 二次三项式，（1）求 a、b 的值 （2）求 a+b 的值 考点：多项式。专题：计算题。分析：（1）根据题意得 a4=0，b=2，从而得出答案即可；（2）将 a，b 的值相加即可 解答：解：（1）多项式（a4）x3xb+xb 是关于 x 二次三项式，a4=0，b=2，a=4，b=2；（2）a=4，b=2；a+b=4+2=6 点评：本题考查了多项式的运算，是基础知识要熟练掌握 24请你做评委：在一堂数学活动课上，同在一合作学习小组的小明、小亮、小丁、小彭对刚学过的知识发表了自己的一些感受：小明说：“绝对值不大于 4 的整数有 7 个”小亮说：“当 m=3 时，代数式 3xymx+2 中不含 x 项”小丁说：“若|a|=3，|b|=2，则 a+b 的值为 5 或 1”小彭说：“多项式2x+x2y+y3是三次三项式”你觉得他们的说法正确吗？如不正确，请帮他们修正，写出正确的说法 考点：多项式；绝对值；代数式求值。专题：综合题。分析：根据绝对值、整数的定义直接求得结果；根据代数式 3xymx+2 中不含 x 项，x 项的系数为 0 即可判定；由|a|=3，|b|=2，可得 a=3，b=2，可分为 4 种情况求解；多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数，根据这个定义即可判定 解答：解：小明的说法错，应为：“绝对值不大于 4 的整数有 9 个”小亮的说法对 小丁的说法错，应为：“若|a|=3，|b|=2，则 a+b 的值为5 或1”小彭的说法对 点评：本题考查了绝对值、整数的定义，不含某项，某项的系数为 0，有理数加法，多项式的定义，综合性较强，但难度不大 25请你做评委：在一堂数学活动课上，同在一合作学习小组的小明、小亮、小丁、小彭对刚学过的知识发表了自己的一些感受：小明说：“绝对值不大于 4 的整数有 7 个”小亮说：“，因为两个数比较大小，绝对值大的数越大”小丁说：“若|a|=3，|b|=2，则 a+b 的值为 5 或 1”小彭说：“多项式2x+xy+3y 是一次三项式”你觉得他们的说法正确吗？如不正确，请帮他们修正，写出正确的说法 考点：多项式；绝对值；有理数大小比较。专题：综合题；分类讨论。分析：根据绝对值、整数的定义直接求得结果；根据两个负数，绝对值大的其值反而小比较；由|a|=3，|b|=2，可得 a=3，b=2，可分为 4 种情况求解；多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数，根据这个定义即可判定 解答：解：四个人说的都是错的 绝对值不大于 4 的整数有 9 个；，因为两个负数比较大小，绝对值大的数反而小；若|a|=3，|b|=2，则 a=3，b=2，则 a+b 的值为 5、5、1、1；多项式2x+xy+3y 是二次三项式 点评：本题考查了绝对值、整数的定义，有理数大小比较，有理数加法，多项式的定义，综合性较强，但难度不大 26已知多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，求 n 的值 考点：多项式；解一元一次方程。专题：计算题；方程思想。分析：由于多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”，多项式中 xy2和 x3的次数都是 3 次，因此 x2ym+2是最高次项，由此得到 2+m+2=6，从而确定 m 的值；又单项式的次数也是 6 次，由此可以确定 n 的值 解答：解：多项式是六次四项式，2+m+2=6，m=2；又单项式的次数与多项式次数相同，3n+5m+1=6，3n+52+1=6，n=故所求 n 的值为 点评：本题主要考查了多项式的次数和项数的定义，利用定义列出方程，解方程求出结果 27已知有理数 a 和 b 满足多项式 AA=（a1）x5+x|b+2|2x2+bx+b 是关于的二次三项式当 x7 时，化简：|xa|+|xb|考点：多项式。专题：计算题。分析：根据有理数 a 和 b 满足多项式 AA=（a1）x5+x|b+2|2x2+bx+b 是关于的二次三项式，求得 a、b 的值，然后对|xa|+|xb|化简即可 解答：解：有理数 a 和 b 满足多项式 AA=（a1）x5+x|b+2|2x2+bx+b 是关于 x 的二次三项式，a1=0，解得 a=1 当|b+2|=2 时，解得 b=0，此时 A 不是二次三项式；当|b+2|=1 时，解得 b=1 或 b=3，当 a=1，b=1，x7 时，|xa|+|xb|=|x1|+|x+1|=1xx1=2x，当 a=1，b=3，x7 时，|xa|+|xb|=|x1|+|x+3|=1xx3=2x2 点评：本题考查了多项式的知识，解题的关键是根据题意求得 a、b 的值，题目中重点渗透了分类讨论思想 28已知关于 x 的二次多项式 a（x3x2+3x）+b（2x2+x）+x35，当 x=2 时，多项式的值为17，求当 x=2 时，该多项式的值 考点：多项式；代数式求值。专题：计算题。分析：先将关于 x 的二次多项式变形，根据二次多项式的特点求出 a 的值；再根据当 x=2 时，多项式的值为17，求出 b 的值；进而求出当 x=2 时，该多项式的值 解答：解：a（x3x2+3x）+b（2x2+x）+x35=ax3ax2+3ax+2bx2+bx+x35=（a+1）x3+（2ba）x2+（3a+b）x5 原式是二次多项式，a+1=0，a=1 原式=（2b+1）x2+（b3）x5 当 x=2 时，原式=10b7=17 b=1 当 x=2 时，原式=6b+5=1 点评：本题主要考查了二次多项式的特点注意三次项不存在说明它们合并的结果为 0，依此求得 a 的值是解题的关键 29如果关于 x 的多项式 x4+（a1）x3+5x2（b+3）x1 不含 x3项和 x 项，求 a、b 的值 考点：多项式。专题：计算题。分析：要使 x4+（a1）x3+5x2（b+3）x1 中不含 x3项和 x 项，那么 x3项和 x 项的系数应为 0，由此可以得到关于 a、b 的方程，解方程即可求出 a、b 的值 解答：解：关于 x 的多项式 x4+（a1）x3+5x2（b+3）x1 不含 x3项和 x 项，a1=0，b+3=0，a=1，b=3 故 a 的值为 1，b 的值为3 点评：本题考查了多项式的有关定义在多项式中如果不含某一项就是这一项的系数等于 0 30已知多项式是七次多项式，单项式 4x2ny6m与该多项式的次数相同，试求 m、n 的值 考点：多项式；单项式；解一元一次方程。专题：应用题；方程思想。分析：由于多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”，多项式与单项式4x2ny6m次数相同，都是 7 次，因此 x2ym+1是最高次项，由此得到 2+m+1=7，从而确定 m 的值；又单项式4x2ny6m的次数也是 7 次，由此可以确定 n 的值 解答：解：多项式是七次多项式，2+m+1=7，m=4；又单项式的次数与多项式次数相同，2n+6m=7，n=2.5 故答案为：m=4，n=2.5 点评：本题主要考查了多项式的次数、项数的定义及一元一次方程的解法及应用 菁优网 版权所有 仅限于学习使用，不得用于任何商业用途