复系数与实系数多项式的因式分解.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.8,复系数于是系数多项式的因式分解,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、复系数多项式,二、实系数多项式,1.8 复系数与实系数,多项式的因式分解,提供网站：,1.,代数基本定理,一、复系数多项式,若 则 在复数域,上必有一根,等价叙述：,若,则存在,使,即，,在复数域上必有一个一次因式,推论,复数域上的不可约多项式只有一次多项式，即,则 可约,即，,不可约,提供网站：,2.,复系数多项式因式分解,定理,若 则 在复数域,上可唯一分解成一次因式的乘积,推论,1,若 则 在,其中 是不同的复数，,上具有标准分解式,推论,2,复根（重根按重数计算,）,若,，则 有,n,个,3.,韦达定理,设,若,在 上的 个根 ，则,（所有可能的,i,个不同的,的积之和）,且,特别地,如 ，,为其根，,则有,二、实系数多项式,命题,：若 是实系数多项式 的复根，则,的共轭复数 也是 的复根,若 为根，则,两边取共轭有,也是为 复根,证：,设,1.,2.,实系数多项式因式分解定理,，若 ，,则 可唯一,地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积,证：对 的次数作数学归纳,时，结论显然成立.,假设对次数,n,的多项式结论成立,设 ，由代数基本定理,有一复根 ,若 为实数,则 ，其中,若 不为实数，则 也是 的复根，于是,设 ，则,即在,R,上 是,一个二次不可约多项式,从而,由归纳假设 、可分解成一次因式与二次,不可约多项式的乘积,由归纳原理，定理得证,在,R,上具有标准分解式,推论,1,其中,且 ，即 为,R,上的不可约多项式.,推论,2,实数域上不可约多项式只有一次多项式和某些二,次不可约多项式，所有次数,3,的多项式皆可约.,3.,实数域上的因式分解与求所有复根的过程有着密切关系,（,1,）由所有实根确定一次不可约因式；,（,2,）由成对共轭（非实）复根确定二次不可约因式,例,1,求 在 上与在 上的标准分解式,.,1),在复数范围内 有,n,个复根，,解：,这里,2)在实数域范围内,当,n,为奇数时,当,n,为偶数时,提供网站：,作业,P46,25.,提供网站：,