考研连续性间断点.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、函数的连续性问题,可见,函数,在点,1,、函数连续性的定义,定义,:,在,的,某邻域内有定义,则称,函数,(1),在点,即,(2),极限,(3),设函数,连续必须具备下列条件,:,存在,;,且,有定义,存在,;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,continue,若,在,某区间上每一点都连续,则称它在该,区间上,连续,或称它为该,区间上的,连续函数,.,例如,在,上,连续,.,(,有理整函数,),又如,有理分式函数,在其,定义域内连续,.,在,闭区间,上的连续函数的集合记作,只要,都有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对自变量的增量,有,函数的增量,左连续,右连续,当,时,有,函数,在点,连续有下列,等价命题,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在,在,2,、函数的间断点,(1),函数,(2),函数,不,存在,;,(3),函数,存在,但,不连续,:,设,在点,的某去心邻域内有定义,则下列情形,这样的点,之一,函数,f,(,x,),在点,虽有定义,但,虽有定义,且,称为,间断点,.,在,无定义,;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,间断点分类,:,第一类间断点,:,及,均存在,若,称,若,称,第二类间断点,:,及,中至少一个不存在,称,若,其中有一个为振荡,称,若,其中有一个为,为,可去间断点,.,为,跳跃间断点,.,为,无穷间断点,.,为,振荡间断点,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为其,无穷间断点,.,为其,振荡间断点,.,为,可去间断点,.,例如,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,显然,为其,可去间断点,.,(4),(5),为,其跳跃间断点,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（,6,）,确定函数,间断点的类型,.,解,:,间断点,为,无穷间断点,;,故,为,跳跃间断点,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理,2.,连续单调递增 函数的反函数,在其,定义域内连续,3,、连续函数的运算法则,定理,1.,在某点连续的,有限个,函数经,有限次,和,差,积,(,利用极限的四则运算法则证明,),商,(,分母不为,0),运算,结果仍是一个在该点连续的函数,.,例如,例如,在,上,连续单调递增，,其,反函数,(,递减,).,(,证明略,),在,1,1,上也连续单调递增,.,递增,(,递减,),也,连续单调,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理,3.,连续函数的复合函数是连续的,.,在,上,连续 单调 递增,其,反函数,在,上也连续单调递增,.,证,:,设函数,于是,故,复合函数,又,如,且,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,是由连续函数链,因此,在,上连续,.,复合而成,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4,、初等函数的连续性,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在,定义区间内,连续,例如,的,连续区间为,(,端点为单侧连续,),的,连续区间为,的,定义域为,因此它无连续点,而,机动 目录 上页 下页 返回 结束,强调：,基本初等函数,在定义区间内,连续,连续函数的,四则运算,的结果连续,连续函数的,反函数,连续,连续函数的,复合函数,连续,初等函数在定义区间内连续,说明,:,分段函数在界点处是否连续需讨论其,左、右连续性,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1,、最值定理,2,、介值定理,机动 目录 上页 下页 返回 结束,五、闭区间上连续函数的性质,注意,:,若函数在,开区间,上连续,结论不一定成立,.,1,、最值定理,定理,1.,在,闭区间,上连续的函数,即,:,设,则,使,值和最小值,.,或在闭区间内,有间断,在该区间上一定有最大,(,证明略,),点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,无,最大值和最小值,也无最大值和最小值,又如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,推论,.,由,定理,1,可知有,证,:,设,上,有界,.,2,、介值定理,定理,2.,(,零点定理,),至少有一点,且,使,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在闭区间上连续的函数在该区间上有界,.,定理,3.,(,介值定理,),设,且,则对,A,与,B,之间的任一数,C,一点,证,:,作辅助函数,则,且,故由,零点定理知,至少有一点,使,即,推论,:,使,至少有,在闭区间上的连续函数,必取得介于最小值与最,大值之间的任何值,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,强调：,在,上达到最大值与最小值,;,上可取最大与最小值之间的任何,值,;,4.,当,时,使,必存在,上有界,;,在,在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,1.,设函数,在,x,=0,连续,则,a,=,b,=,.,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,六、例题,有无穷间断点,及可去间断点,解,:,为无穷间断点,所以,为可去间断点,极限存在,例,2.,设函数,试,确定常数,a,及,b.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,3.,设,f,(,x,),定义在区间,上,若,f,(,x,),在,连续,解：,且对任意实数,证明,f,(,x,),对一切,x,都连续,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,4.,证明方程,一个根,.,证,:,显然,又,故据零点定理,至少存在一点,使,即,在区间,内至少有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,上连续,且恒为正,例,6.,设,在,对任意的,必,存在一点,证,:,使,令,则,使,故由,零点定理知,存在,即,当,时,取,或,则有,证明,:,小结 目录 上页 下页 返回 结束,例,7,若,f,(x),在,a,b,上连续，,a,x,1,x,2,x,n,b,则在,x,1,x,n,上必有,，,使,证：,再由介值定理的推论可知，,至少有一点,x,1,x,n,例,8,证,由零点定理,证,7/9,