高三数学难题.doc
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1、例3(2012辽宁高考)如图,椭圆C0:1(ab0,a,b为常数),动圆C1:x2y2t,bt1a.点A1,A2分别为C0的左,右顶点,C1与C0相交于A,B,C,D四点(1)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程;(2)设动圆C2:x2y2t与C0相交于A,B,C,D四点,其中bt2a,t1t2.若矩形ABCD与矩形ABCD的面积相等,证明:tt为定值自主解答(1)设 A(x1,y1),B(x1,y1),又知A1(a,0),A2(a,0),则直线A1A的方程为y(xa),直线A2B的方程为y(xa)由得y2(x2a2)由点A(x1,y1)在椭圆C0上,故1.从而yb2,代入得1(xa,y0
2、)(2)证明:设A(x2,y2),由矩形ABCD与矩形ABCD的面积相等,得4|x1|y1|4|x2|y2|,故xyxy.因为点A,A均在椭圆上,所以b2xb2x.由t1t2,知x1x2,所以xxa2,从而yyb2,因此tta2b2为定值3(2012山东省实验中学模拟)已知抛物线y22px(p0)及定点A(a,b),B(a,0),ab0,b22pa,M是抛物线上的点设直线AM,BM与抛物线的另一个交点分别为M1,M2,当M变动时,直线M1M2恒过一个定点,此定点坐标为_解析:设M,M1,M2,由点A,M,M1共线可知,得y1,同理由点B,M,M2共线得y2.设(x,y)是直线M1M2上的点,则
3、,即y1y2y(y1y2)2px,又y1,y2,则(2pxby)y022pb(ax)y02pa(by2pa)0.当xa,y时上式恒成立,即定点为.6(2013长沙)直线l:xy0与椭圆y21相交于A、B两点,点C是椭圆上的动点,则ABC面积的最大值为_解析:由得3x22,x,A,B,|AB|.设点C(cos ,sin ),则点C到AB的距离dsin(),SABC|AB|d.答案:8(2012黄冈质检)已知椭圆1(ab0)的离心率为,椭圆上任意一点到右焦点F的距离的最大值为1.(1)求椭圆的方程;(2)已知点C(m,0)是线段OF上一个动点(O为坐标原点),是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与
4、椭圆交于A,B点,使得|AC|BC|?并说明理由解:(1),b1,椭圆的方程为y21.(2)由(1)得F(1,0),0m1.假设存在满足题意的直线l,设l的方程为yk(x1),代入y21中,得(2k21)x24k2x2k220.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,x1x2,y1y2k(x1x22).设AB的中点为M,则M.|AC|BC|,CMAB,即kCMkAB1,k1,即(12m)k2m.当0m时,k ,即存在满足题意的直线l;当m1时,k不存在,即不存在满足题意的直线l.2(2012郑州模拟)已知圆C的圆心为C(m,0),m3,半径为,圆C与离心率e的椭圆E:1(ab0)的其
5、中一个公共点为A(3,1),F1,F2分别是椭圆的左、右焦点(1)求圆C的标准方程;(2)若点P的坐标为(4,4),试探究直线PF1与圆C能否相切?若能,设直线PF1与椭圆E相交于D,B两点,求DBF2的面积;若不能,请说明理由解:(1)由已知可设圆C的方程为(xm)2y25(m3),将点A的坐标代入圆C的方程中,得(3m)215,即(3m)24,解得m1,或m5.m3,m1.圆C的标准方程为(x1)2y25.(2)直线PF1能与圆C相切,依题意设直线PF1的斜率为k,则直线PF1的方程为yk(x4)4,即kxy4k40,若直线PF1与圆C相切,则.4k224k110,解得k或k.当k时,直线
6、PF1与x轴的交点的横坐标为,不合题意,舍去当k时,直线PF1与x轴的交点的横坐标为4,c4,F1(4,0),F2(4,0)由椭圆的定义得:2a|AF1|AF2|56.a3,即a218,e,满足题意故直线PF1能与圆C相切直线PF1的方程为x2y40,椭圆E的方程为1.设B(x1,y1),D(x2,y2),把直线PF1的方程代入椭圆E的方程并化简得,13y216y20,由根与系数的关系得y1y2,y1y2,故SDBF24|y1y2|4.3(2012深圳模拟)如图,已知椭圆C:1(ab0)的离心率为,以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T:(x2)2y2r2(r0),设圆T与椭圆C交于点M与点N.(1)
7、求椭圆C的方程;(2)求,的最小值,并求此时圆T的方程;(3)设点P是椭圆C上异于M,N的任意一点,且直线MP,NP分别与x轴交于点R,S,O为坐标原点,求证:|OR|OS|为定值解:(1)依题意,得a2,e,c,b1.故椭圆C的方程为y21.(2)易知点M与点N关于x轴对称,设M(x1,y1),N(x1,y1),不妨设y10.由于点M在椭圆C上,y1.(*)由已知T(2,0),则,(x12,y1),,(x12,y1),,(x12,y1)(x12,y1)(x12)2y(x12)2x4x132.由于2x12,故当x1时,,取得最小值.把x1代入(*)式,得y1,故M,又点M在圆T上,代入圆的方程
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