新疆巴音郭楞州库尔勒市巴州三中学2026届初三下学期期末质量评估数学试题含解析.doc

新疆巴音郭楞州库尔勒市巴州三中学2026届初三下学期期末质量评估数学试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．下列事件中是必然事件的是（　　）
A．早晨的太阳一定从东方升起
B．中秋节的晚上一定能看到月亮
C．打开电视机，正在播少儿节目
D．小红今年14岁，她一定是初中学生
2．有6个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（ ）

A． B． C． D．
3．下列运算中，正确的是 （ ）
A．x2+5x2=6x4 B．x3 C． D．
4．下列函数中，y关于x的二次函数是( )
A．y＝ax2+bx+c B．y＝x(x﹣1)
C．y= D．y＝(x﹣1)2﹣x2
5．在平面直角坐标系中,点是线段上一点,以原点为位似中心把放大到原来的两倍,则点的对应点的坐标为( )
A． B．或
C． D．或
6．计算（﹣3）﹣（﹣6）的结果等于（　　）
A．3 B．﹣3 C．9 D．18
7．如图，要使□ABCD成为矩形，需添加的条件是（）

A．AB=BC B．∠ABC=90° C．AC⊥BD D．∠1=∠2
8．的相反数是（　　）
A． B．- C． D．-
9．抚顺市中小学机器人科技大赛中，有7名学生参加决赛，他们决赛的成绩各不相同，其中一名参赛选手想知道自己能否进入前4名，他除了知道自己成绩外还要知道这7名学生成绩的（　　）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差
10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，点E是△ABC的内心，过点E作EF∥AB交AC于点F，则EF的长为( )

A． B． C． D．
11．某校八年级两个班，各选派10名学生参加学校举行的“古诗词”大赛，各参赛选手成绩的数据分析如表所示，则以下判断错误的是（ ）
班级
平均数
中位数
众数
方差
八（1）班
94
93
94
12
八（2）班
95
95.5
93
8.4
A．八（2）班的总分高于八（1）班
B．八（2）班的成绩比八（1）班稳定
C．两个班的最高分在八（2）班
D．八（2）班的成绩集中在中上游
12．a、b互为相反数，则下列成立的是（　　）
A．ab=1 B．a+b=0 C．a=b D．=-1
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．若x2+kx+81是完全平方式，则k的值应是________．
14．如果将“概率”的英文单词 probability中的11个字母分别写在11张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌子上，任取一张，那么取到字母b的概率是________．
15．因式分解：4ax2﹣4ay2=_____．
16．27的立方根为 ．
17．尺规作图：过直线外一点作已知直线的平行线．
已知：如图，直线l与直线l外一点P．
求作：过点P与直线l平行的直线．

作法如下：
（1）在直线l上任取两点A、B，连接AP、BP；
（2）以点B为圆心，AP长为半径作弧，以点P为圆心，AB长为半径作弧，如图所示，两弧相交于点M；
（3）过点P、M作直线；
（4）直线PM即为所求．

请回答：PM平行于l的依据是_____．
18．如图，在△ABC中，AB=AC，BE、AD分别是边AC、BC上的高，CD=2，AC=6，那么CE=________．

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）解方程
20．（6分）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，直线MN是过点A的直线CD⊥MN于点D，连接BD．
（1）观察猜想张老师在课堂上提出问题：线段DC，AD，BD之间有什么数量关系．经过观察思考，小明出一种思路：如图1，过点B作BE⊥BD，交MN于点E，进而得出：DC+AD=　　BD．
（2）探究证明
将直线MN绕点A顺时针旋转到图2的位置写出此时线段DC，AD，BD之间的数量关系，并证明
（3）拓展延伸
在直线MN绕点A旋转的过程中，当△ABD面积取得最大值时，若CD长为1，请直接写BD的长．

21．（6分）如图，已知是的外接圆，圆心在的外部，，，求的半径.

22．（8分）如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O分别交BC、AC于F、G，且G是的中点，过点G作DE⊥BC，垂足为E，交BA的延长线于点D
（1）求证：DE是的⊙O切线；
（2）若AB=6，BG=4，求BE的长；
（3）若AB=6，CE=1.2，请直接写出AD的长．

23．（8分）京沈高速铁路赤峰至喀左段正在建设中，甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设，甲队单独施工30天完成该项工程的，这时乙队加入，两队还需同时施工15天，才能完成该项工程．若乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程?若甲队参与该项工程施工的时间不超过36天，则乙队至少施工多少天才能完成该项工程?
24．（10分）如图（1），P 为△ABC 所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点 P 叫做△ABC 的费马点．
（1）如果点 P 为锐角△ABC 的费马点，且∠ABC=60°．
①求证：△ABP∽△BCP；
②若 PA=3，PC=4，则 PB= ．
（2）已知锐角△ABC，分别以 AB、AC 为边向外作正△ABE 和正△ACD，CE 和 BD相交于 P 点．如图（2）
①求∠CPD 的度数；
②求证：P 点为△ABC 的费马点．

25．（10分）在平面直角坐标系中，关于的一次函数的图象经过点，且平行于直线．
（1）求该一次函数表达式；
（2）若点Q（x，y）是该一次函数图象上的点，且点Q在直线的下方，求x的取值范围．
26．（12分）如图，A（4，3）是反比例函数y=在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB∥x轴，截取AB=OA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y=的图象于点P．求反比例函数y=的表达式；求点B的坐标；求△OAP的面积．

27．（12分）清朝数学家梅文鼎的《方程论》中有这样一题：山田三亩，场地六亩，共折实田四亩七分；又山田五亩，场地三亩，共折实田五亩五分，问每亩山田折实田多少，每亩场地折实田多少？
译文为：若有山田3亩，场地6亩，其产粮相当于实田4.7亩；若有山田5亩，场地3亩，其产粮相当于实田5.5亩，问每亩山田和每亩场地产粮各相当于实田多少亩？
参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、A
【解析】
必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件，依据定义即可求解．
【详解】
解：B、C、D选项为不确定事件，即随机事件．故错误；
一定发生的事件只有第一个答案，早晨的太阳一定从东方升起．
故选A．
该题考查的是对必然事件的概念的理解；必然事件就是一定发生的事件．
2、C
【解析】
试题分析：根据主视图是从正面看得到的图形，可得答案．
解：从正面看第一层三个小正方形，第二层左边一个小正方形，右边一个小正方形．
故选C．
考点：简单组合体的三视图．
3、C
【解析】
分析：直接利用积的乘方运算法则及合并同类项和同底数幂的乘除运算法则分别分析得出结果.
详解：A. x2+5x2= ，本项错误;B. ,本项错误;C. ,正确；
D.,本项错误.故选C.
点睛：本题主要考查了积的乘方运算及合并同类项和同底数幂的乘除运算，解答本题的关键是正确掌握运算法则.
4、B
【解析】
判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是.
【详解】
A.当a=0时， y=ax2+bx+c= bx+c，不是二次函数，故不符合题意；
B. y=x（x﹣1）=x2-x，是二次函数，故符合题意；
C. 的自变量在分母中，不是二次函数，故不符合题意；
D. y=（x﹣1）2﹣x2=-2x+1，不是二次函数，故不符合题意；
故选B.
本题考查了二次函数的定义，一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数，据此求解即可.
5、B
【解析】
分析：根据位似变换的性质计算即可．
详解：点P（m，n）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，
则点P的对应点的坐标为（m×2，n×2）或（m×（-2），n×（-2）），即（2m，2n）或（-2m，-2n），
故选B．
点睛：本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
6、A
【解析】
原式=−3+6=3，
故选A
7、B
【解析】
根据一个角是90度的平行四边形是矩形进行选择即可．
【详解】
解：A、是邻边相等，可判定平行四边形ABCD是菱形；
B、是一内角等于90°，可判断平行四边形ABCD成为矩形；
C、是对角线互相垂直，可判定平行四边形ABCD是菱形；
D、是对角线平分对角，可判断平行四边形ABCD成为菱形；
故选：B．
本题主要应用的知识点为：矩形的判定． ①对角线相等且相互平分的四边形为矩形．②一个角是90度的平行四边形是矩形．
8、B
【解析】
∵+（﹣）=0，
∴的相反数是﹣．
故选B．
9、A
【解析】
7人成绩的中位数是第4名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前4名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
【详解】
由于总共有7个人，且他们的分数互不相同，第4的成绩是中位数，要判断是否进入前4名，故应知道中位数的多少，
故选A．
本题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义，熟练掌握相关的定义是解题的关键.
10、A
【解析】
过E作EG∥AB，交AC于G，易得CG=EG，EF=AF，依据△ABC∽△GEF，即可得到EG：EF：GF，根据斜边的长列方程即可得到结论．
【详解】
过E作EG∥BC，交AC于G，则∠BCE=∠CEG．
∵CE平分∠BCA，∴∠BCE=∠ACE，∴∠ACE=∠CEG，∴CG=EG，同理可得：EF=AF．
∵BC∥GE，AB∥EF，∴∠BCA=∠EGF，∠BAC=∠EFG，∴△ABC∽△GEF．
∵∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∴AC=10，∴EG：EF：GF=BC：BC：AC=4：3：5，设EG=4k=AG，则EF=3k=CF，FG=5k．
∵AC=10，∴3k+5k+4k=10，∴k=，∴EF=3k=．
故选A．

本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构相似三角形以及构造等腰三角形．
11、C
【解析】
直接利用表格中数据，结合方差的定义以及算术平均数、中位数、众数得出答案．
【详解】
A选项：八（2）班的平均分高于八（1）班且人数相同，所以八（2）班的总分高于八（1）班，正确；
B选项：八（2）班的方差比八（1）班小，所以八（2）班的成绩比八（1）班稳定，正确；
C选项：两个班的最高分无法判断出现在哪个班，错误；
D选项：八（2）班的中位数高于八（1）班，所以八（2）班的成绩集中在中上游，正确；
故选C．
考查了方差的定义以及算术平均数、中位数、众数，利用表格获取正确的信息是解题关键．
12、B
【解析】
依据相反数的概念及性质即可得．
【详解】
因为a、b互为相反数，
所以a+b=1，
故选B．
此题主要考查相反数的概念及性质．相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，1的相反数是1．

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13、±1
【解析】
试题分析：利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．
解：∵x2+kx+81是完全平方式，
∴k=±1．
故答案为±1．
考点：完全平方式．
14、
【解析】
分析：让英文单词probability中字母b的个数除以字母的总个数即为所求的概率．
详解：∵英文单词probability中，一共有11个字母，其中字母b有2个，∴任取一张，那么取到字母b的概率为．
故答案为．
点睛：本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
15、4a（x﹣y）（x+y）
【解析】
首先提取公因式4a，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】
4ax2-4ay2=4a（x2-y2）
=4a（x-y）（x+y）．
故答案为4a（x-y）（x+y）．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．
16、1
【解析】
找到立方等于27的数即可．
解：∵11=27，
∴27的立方根是1，
故答案为1．
考查了求一个数的立方根，用到的知识点为：开方与乘方互为逆运算
17、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形对边平行；两点确定一条直线．
【解析】
利用画法得到PM＝AB，BM＝PA，则利用平行四边形的判定方法判断四边形ABMP为平行四边形，然后根据2平行四边形的性质得到PM∥AB．
【详解】
解：由作法得PM＝AB，BM＝PA，
∴四边形ABMP为平行四边形，
∴PM∥AB．
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形对边平行；两点确定一条直线．
本题考查基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行四边形的判定与性质．
18、
【解析】
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD=2，
∵BE、AD分别是边AC、BC上的高，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠C=∠C，
∴△ACD∽△BCE，
∴，
∴，
∴CE=，
故答案为.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19、x=-1．
【解析】
解：方程两边同乘x-2，得2x=x-2+1
解这个方程，得x= -1
检验：x= -1时，x-2≠0
∴原方程的解是x= -1
首先去掉分母，观察可得最简公分母是（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解
20、（1）；（2）AD﹣DC=BD；（3）BD=AD=+1．
【解析】
（1）根据全等三角形的性质求出DC，AD，BD之间的数量关系
（2）过点B作BE⊥BD，交MN于点E．AD交BC于O，
证明，得到，，
根据为等腰直角三角形，得到，
再根据，即可解出答案.
（3）根据A、B、C、D四点共圆，得到当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的右侧时，△ABD的面积最大．
在DA上截取一点H，使得CD=DH=1，则易证，
由即可得出答案.
【详解】
解：（1）如图1中，

由题意：，
∴AE=CD，BE=BD，
∴CD+AD=AD+AE=DE，
∵是等腰直角三角形，
∴DE=BD，
∴DC+AD=BD，
故答案为．
（2）．
证明：如图，过点B作BE⊥BD，交MN于点E．AD交BC于O．

∵，
∴，
∴．
∵，，，
∴，
∴．又∵，
∴，
∴，，
∴为等腰直角三角形，．
∵，
∴．
（3）如图3中，易知A、B、C、D四点共圆，当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的右侧时，△ABD的面积最大．

此时DG⊥AB，DB=DA，在DA上截取一点H，使得CD=DH=1，则易证，
∴．
本题主要考查全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质以及图形的应用，正确作辅助线和熟悉图形特性是解题的关键.
21、4
【解析】
已知△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，作于点，则直线为的中垂线，直线过点，在Rt△OBH中，用半径表示出OH的长，即可用勾股定理求得半径的长．
【详解】

作于点，则直线为的中垂线，直线过点，
，，
，
即，
.
考查垂径定理以及勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键.
22、（1）证明见解析；（1）；（3）1.
【解析】
（1）要证明DE是的⊙O切线，证明OG⊥DE即可；
（1）先证明△GBA∽△EBG，即可得出=,根据已知条件即可求出BE；
（3）先证明△AGB≌△CGB，得出BC=AB=6，BE=4.8再根据OG∥BE得出=，即可计算出AD.
【详解】
证明：（1）如图，连接OG，GB，

∵G是弧AF的中点，
∴∠GBF=∠GBA，
∵OB=OG，
∴∠OBG=∠OGB，
∴∠GBF=∠OGB，
∴OG∥BC，
∴∠OGD=∠GEB，
∵DE⊥CB，
∴∠GEB=90°，
∴∠OGD=90°，
即OG⊥DE且G为半径外端，
∴DE为⊙O切线；
（1）∵AB为⊙O直径，
∴∠AGB=90°，
∴∠AGB=∠GEB，且∠GBA=∠GBE，
∴△GBA∽△EBG，
∴，
∴；
（3）AD=1，根据SAS可知△AGB≌△CGB，
则BC=AB=6，
∴BE=4.8，
∵OG∥BE，
∴，即，
解得：AD=1．
本题考查了相似三角形与全等三角形的判定与性质与切线的性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形与全等三角形的判定与性质与切线的性质.
23、（1）乙队单独施工需要1天完成;（2）乙队至少施工l8天才能完成该项工程．
【解析】
（1）先求得甲队单独施工完成该项工程所需时间，设乙队单独施工需要x天完成该项工程，再根据“甲完成的工作量+乙完成的工作量=1”列方程解方程即可求解；
（2）设乙队施工y天完成该项工程，根据题意列不等式解不等式即可.
【详解】
（1）由题意知，甲队单独施工完成该项工程所需时间为1÷=90（天）．
设乙队单独施工需要x天完成该项工程，则
，
去分母，得x+1=2x．
解得x=1．
经检验x=1是原方程的解．
答：乙队单独施工需要1天完成．
（2）设乙队施工y天完成该项工程，则
1-
解得y≥2．
答：乙队至少施工l8天才能完成该项工程．
24、（1）①证明见解析；②；（2）①60°；②证明见解析；
【解析】
试题分析：（1）①根据题意，利用内角和定理及等式性质得到一对角相等，利用两角相等的三角形相似即可得证；
②由三角形ABP与三角形BCP相似，得比例，将PA与PC的长代入求出PB的长即可；
（2）①根据三角形ABE与三角形ACD为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两个角为60°，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形ACE与三角形ABD全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠1=∠2，再由对顶角相等，得到∠5=∠6，即可求出所求角度数；
②由三角形ADF与三角形CPF相似，得到比例式，变形得到积的恒等式，再由对顶角相等，利用两边成比例，且夹角相等的三角形相似得到三角形AFP与三角形CFD相似，利用相似三角形对应角相等得到∠APF为60°，由∠APD+∠DPC，求出∠APC为120°，进而确定出∠APB与∠BPC都为120°，即可得证．
试题解析：（1）证明：①∵∠PAB+∠PBA=180°﹣∠APB=60°，∠PBC+∠PBA=∠ABC=60°，
∴∠PAB=∠PBC，
又∵∠APB=∠BPC=120°，
∴△ABP∽△BCP，
②解：∵△ABP∽△BCP，
∴，
∴PB2=PA•PC=12，
∴PB=2；
（2）解：①∵△ABE与△ACD都为等边三角形，
∴∠BAE=∠CAD=60°，AE=AB，AC=AD，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，
在△ACE和△ABD中，
，
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴∠1=∠2，
∵∠3=∠4，
∴∠CPD=∠6=∠5=60°；
②证明：∵△ADF∽△CFP，
∴AF•PF=DF•CF，
∵∠AFP=∠CFD，
∴△AFP∽△CDF．
∴∠APF=∠ACD=60°，
∴∠APC=∠CPD+∠APF=120°，
∴∠BPC=120°，
∴∠APB=360°﹣∠BPC﹣∠APC=120°，
∴P点为△ABC的费马点．

考点：相似形综合题
25、（1）；（2）．
【解析】
（1）由题意可设该一次函数的解析式为：，将点M（4，7）代入所设解析式求出b的值即可得到一次函数的解析式；
（2）根据直线上的点Q（x，y）在直线的下方可得2x－1<3x+2，解不等式即得结果.
【详解】
解：（1）∵一次函数平行于直线，∴可设该一次函数的解析式为：，
∵直线过点M（4，7），
∴8+b=7，解得b=－1，
∴一次函数的解析式为：y=2x－1；
（2）∵点Q（x，y）是该一次函数图象上的点，∴y=2x－1，
又∵点Q在直线的下方，如图，
∴2x－1<3x+2，
解得x>－3.

本题考查了待定系数法求一次函数的解析式以及一次函数与不等式的关系，属于常考题型，熟练掌握待定系数法与一次函数与不等式的关系是解题的关键.
26、（1）反比例函数解析式为y=；（2）点B的坐标为（9，3）；（3）△OAP的面积=1．
【解析】
（1）将点A的坐标代入解析式求解可得；
（2）利用勾股定理求得AB=OA=1，由AB∥x轴即可得点B的坐标；
（3）先根据点B坐标得出OB所在直线解析式，从而求得直线与双曲线交点P的坐标，再利用割补法求解可得．
【详解】
（1）将点A（4，3）代入y=，得：k=12，
则反比例函数解析式为y=；
（2）如图，过点A作AC⊥x轴于点C，

则OC=4、AC=3，
∴OA==1，
∵AB∥x轴，且AB=OA=1，
∴点B的坐标为（9，3）；
（3）∵点B坐标为（9，3），
∴OB所在直线解析式为y=x，
由可得点P坐标为（6，2），（负值舍去），
过点P作PD⊥x轴，延长DP交AB于点E，
则点E坐标为（6，3），
∴AE=2、PE=1、PD=2，
则△OAP的面积=×（2+6）×3﹣×6×2﹣×2×1=1．
本题考查了反比例函数与几何图形综合，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征、正确添加辅助线是解题的关键.
27、每亩山田产粮相当于实田0.9亩，每亩场地产粮相当于实田亩．
【解析】
设每亩山田产粮相当于实田x亩，每亩场地产粮相当于实田y亩，根据山田3亩，场地6亩，其产粮相当于实田4.7亩;又山田5亩，场地3亩，其产粮相当于实田5.5亩，列二元一次方程组求解．
【详解】
解：设每亩山田产粮相当于实田x亩，每亩场地产粮相当于实田y亩．
可列方程组为
解得
答：每亩山田相当于实田0.9亩，每亩场地相当于实田亩．