金融数学--第二章.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第二章 年金,年金,是根据一个事先确定的计划或者方案在一段时间内持续的收付款行为。,例如，养老金、按揭贷款、固定收益资产的定期收入。,分析方法是利用现金流分析方法，计算现值和终值。,学习要点,一、基本年金现值与终值的计算,二、期末年金与期初年金的关系,三、延续年金与永续年金的现值,四、剩余付款期不是单位时间的年金的计算,五、实际应用,2.1,基本年金,定义,2.1,若年金现金流在第一个付款期末首,次发生，随后依次分期进行，则称这种年金,为,期末年金,。,（,0,，,R,，,R,，,，,R,）,定义,2.2,对于期末年金来说，如果每次付款,为,1,个单位货币，共,n,期，则称之为,n,期标准期,末年金,。,（,0,，,1,，,1,，,，,1,）,n,期标准期末年金现值,上式变形可得,n,期标准期末年金终值,这个终值可以写成,结论,2.1,证明,（,2,）由（,1,）有,所以,例,2.1,（商业银行还款方式）,现有,10,年期,50,万元贷款，年利率为,8%,。试计算以下四种还款方式应付的利息：,（,1,）在第,10,年底一次付清；,（,2,）每年年底偿还当年的利息，本金最后一次付清；,（,3,）,每年年底偿还固定的金额，,10,年还清；,（,4,）,每年年底偿还额由固定本金和剩余贷款的利息组成，,10,年还清。,解,（,1,）一次性还完的金额为,50,（,1+8%,）,10,=107.946250(,万元,),偿还利息为,107.946250-50=57.946250(,万元,),（,2,）所付利息为,50,8%10=40(,万元,),（,3,）设每期还款额为,R,，还款现金流为,（,0,，,R,，,R,，,，,R,）,现金流的现值就是贷款金额，所以有,即,解得,R,=7.451474,（万元）,共付利息为,10,R,-50=24.514744,（万元）,商业银行将上述还款方式称之为,等额本息,法,。,（,4,）利用一般会计中的平均摊销的原理,每期还款额,=,固定本金,+,剩余本金产生的利息,第,1,年底还款额为,R,1,=50/10+50,i,=9,（万元）,第,2,年底还款额为,R,2,=50/10+,（,50-5,）,i,=8.6,（万元）,第,2,年底还款额为,R,3,=50/10+,（,50-2,5,）,i,=8.2,（万元）,一般的，,第,k,年底还款额为,R,k,=50/10+50-5,（,k,-1,),i,=9-0.4,（,k,-1,),（万元）,共付利息为,商业银行将上述还款方式称之为,等额本金,法,。,比较一下，第（,4,）中还款方式所付的利息最,后少，而第（,3,）中还款方式最受欢迎。请大,家思考一下？,根据我们的生活习惯，都愿意选择稳定,点的还款方式，等额本息法的选择比较普,遍。如果感觉还款压力不大，可以选择等额,本金法，但是我们可以对等额本息法做一些,调整，例如缩短短款年限，使得整体的利息,变少。,定义,2.3,若年金现金流在第一个付款期初首,次发生，随后依次分期进行，则称这种年金,为,期初年金,。,（,R,，,R,，,R,，,，,0,）,定义,2.4,对于期初年金来说，如果每次付款,为,1,个单位货币，共,n,期，则称之为,n,期标准期,初年金,。,（,1,，,1,，,，,1,，,0,）,n,期标准期初年金：（,1,，,1,，,1,，,，,0,）,n,期标准期初年金现值,n,期标准期末年金终值,结论,2.2,证明,（,2,）由（,1,）有,所以,结论,2.3,例,2.2,某人从现值开始每年定期地投入相同,的一笔钱，希望在第,12,年底得到,100,万元的,回报。如果年利率为,7%,，实际上每年的投入,金额。,解,假设投入的现金流为,（,R,，,R,，,R,，,，,0,）,终值为,100,万元，则有,解得,R,=5.224485,（万元）,定义,2.5,若年金现金流首次发生在递延了一,段时间后进行，这样的年金称为,递延年金,。,例如，递延,m,期的,n,期期末标准现金流,（,0,，,0,，,，,0,，,1,，,1,，,，,1,）,这个现金流的现值可以认为是下面两个现金,流现值的差,（,0,，,1,，,，,1,，,1,，,1,，,，,1,）和,（,0,，,1,，,，,1,）,即,还可以表示为,定义,2.6,若年金的现金流永远持续不断的支,付下去，没有终结日期，这样的年金称为永,续年金。,例,2.3,某人留下遗产,10,万元，第一个,10,年,将每年利息付给甲，第二个,10,年将每年利息,付给乙，,20,年后将每年利息付给丙丙一直持,续下去，均在年底支付。假设年利率为,7%,，计算三人的相对收益比例。,解,甲的受益相当于,10,年期的期末年金，现值,为,乙的受益相当于递延,10,年的,10,年期的期末年,金，现值为,丙的受益相当于递延,20,年的永续年金，现值,为,这三者的受益比例分别为,49.2%,，,25.0%,，,25.2%,剩余付款期不是单位时间的现金流的计算,当年金现金流的为整数时，同时要保证每一,期的支付也为整数，就会导致现值与现金流,不一致，产生零碎的部分，对这一部分需进,行处理。,对于任意的在,0,，,1,的,t,，定义如下的现值,例,2.4,现有,10,万元的投资，年利率为,5%,，,每年年底定期收回,1,万元。试问：这样的定期,回报可以进行多少年？对不足,1,万元的最后一,次回报部分，按一下三种方式计算回报金,额。,方式,A,：不足,1,万元部分与最后一次正常回报,同时收回；,方式,B,：不足,1,万元部分在最后一次正常回报,的下一年底收回；,方式,C,：不足,1,万元部分在最后一次正常回报,的下一年的某个等价时间收回；,解,（,1,）设正常回报为,n,年，则有,解得,14,n,+,t,15,，取,n,=14,这种正常回报可以持续,14,年,（,2,）设这三种方式对应的不足部分的金额,为,X,A,，,X,B,，,X,C,万元,A,方式的现金流为,（,0,，,1,，,1,，,，,1+,X,A,）,有如下的终值方程,解得,X,A,=0.200684,（万元）,B,方式的现金流为,（,0,，,1,，,1,，,，,1,，,X,B,）,有如下的终值方程,解得,解得,X,B,=0.210718,（万元）,C,方式的现金流为,（,0,，,1,，,1,，,，,1,）和在,14,年后时间段为,t,的现金流（,0,，,X,C,）,有如下的现值方程,又因为,所以有,解得,t,=0.2067,于是,X,C,=(1+,i,),t,-1,/,i,=0.202719(,万元,),例,2.5,某人每年底存入,1000,元，年利率为,8%,，希望经过若干年后达到,25000,元。若,最后一次不足,1000,元的存款将在正常存款的,一年后进行，试计算正常存款年数和最后一,次存款的金额。,解,设正常存款年数为,n,，则有,解得,14,n,+,t,15,，取,n,=14,因此正常存款可以进行,14,年,设最后一次存款额为,X,，则有,解得,X,=-1152,即,在,15,年底的时候，不需要再追加资金，本身,的投资已经超过了预期的目标。,补充例题,（循环的现金流）已知一笔现金流如下,现在通过不断的重复这个现金流，得到无限,长度的现金流 。设每一期利率为,i,，,P,和,A,分别表示现金流,X,的现值和终值。试由,P,和,A,计算现金流 的现值 。,解,把每,n,项看做一个整体，则,这是一个每期为,X,的,n,期的永续年金。,那么它的现值为：,同样，可以用,A,来表示。,