信息光学_Chapter01_05.ppt

Information Optics,Institute of Information Optics,ISE,SDU,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,1.5 FT,的基本性质及有关的定理,本节给出,FT,的一些重要性质和有关的定理，有些加以推导，有些不推导。,利用这些性质和定理，只要知道不多几个函数的,FT,，,就能够容易地求出许多其它函数的,FT,。,这些性质和定理在线性系统分析、信号处理、图像处理及本课程中经常用到。,1.5-1,基本性质,1),线性性质（均匀性，叠加性）,若：,则：,其中：,a,和,b,是常数,和的,FT,等于,FT,的和,叠加性,幅值按同样的比例缩放,均匀性,同时具有叠加性和均匀性,线性性质性,2).,对称性质,若：,则：,证明方法一：,证明方法二：,若,f,(,x,y,),为偶函数，则,F,(,u,v,),也是偶函数，,即,:,若,f,(-,x,-,y,)=,f,(,x,y,),则,F,(-,u,-,v,)=,F,(,u,v,),。,若,f,(,x,y,),为奇函数，则,F,(,u,v,),也是奇函数，,即：若,f,(-,x,-,y,)=-,f,(,x,y,),则,F,(-,u,-,v,)=-,F,(,u,v,),。,关于,FT,的对称性还有：,3),迭次,FT,证明：,(,x,y,),(,u,v,),(-,x,-,y,),F,(,u,v,),f,(,x,y,),f,(-,x,-,y,),(,x,y,),(,u,v,),(,x,y,),F,(,u,v,),f,(,x,y,),f,(,x,y,),4),坐标缩放性质,若：,则：,a,，,b,为不为零的实常数,光学上，空域中空间坐标的放大或缩小，导致空间频域中的空间频谱坐标缩小或放大。,如：孔径夫琅和费衍射。,证明：,5),平移性：,若：,则：,x,0,，,y,0,为实常数,证明：,空域中的平移造成频域中频谱的相移。,光场复振幅不,具有平移不变性。但强度具有平移不,变性。,例如：孔径的夫琅和费衍射（加透镜）,f,f,y,1,x,1,v=y,2,/(,f,),u=x,2,/(,f,),在,透镜前横向平移。,强度分布（衍射图样）,6),体积或面积的对应关系,则有,：,若有,：,7),复共轭函数的,FT,若有,：,则有：,由上式知，若,f(x,y),为实函数,则其,FT,具有厄米对称性，即,:,1.5-2 FT,的基本定理,1),卷积定理,(Convolution Theorem),2),相关定理,(Correlation Theorem),3),巴塞伐定理,(,Parsevals,Theorem),4),广义巴塞伐定理,(Generalized,Parsevals,Theorem),5),导数定理,(Derivative Theorem),1),卷积定理,(Convolution Theorem),若：,则有：,即两个函数卷积的,FT,等于它们的,FT,之积。,两个函数乘积的,FT,等于它们的,FT,的卷积。,若,f,(,x,y,),和,g,(,x,y,),表示两幅图像，卷积定理即表示：两图像卷积的频谱等于两图像频谱之积；两图像乘积的频谱等于两图像频谱之卷积。,证明：（以一维函数为例）,卷积定理在,FT,理论及应用中非常重要：,对于一个复杂函数，其,FT,难求，若它可表示成几个简单函数的卷积，而这些简单函数的,FT,易求，则可用卷积定理。,如：,当两个函数或图像的卷积难求时，可先求得各自的,FT,，,乘积后，再求,IFT,即可得两者之卷积。,如：,数字图像处理或数字信号处理中有,FFT,与,FIFT,算法和程序；,光学上可用,FT,透镜实现,FT,和,IFT,功能。,2),相关定理,(Correlation Theorem),(1),互相关定理,(Cross-correlation Theorem),若：,则有：,通常把,F,*,(,u,v,),G,(,u,v,),称为,f,(,x,y,),和,g,(,x,y,),的互谱能量密度,简称为互谱密度。,互相关定理表明：两个函数的互相关与其互谱密度构成傅里叶变换对。,证明：,(,方法一）,证明：,(,方法二）,可用相关与卷积的关系、及卷积定理，来证明：,(2),自相关定理,(Auto-correlation Theorem),|,F,(,u,v,)|,2,称为的,f,(,x,y,),的能谱密度。,说明：,相关定理常用来求两个函数或图像的相关；当两个函数或图像的相关难求时，可先求得各自的,FT,，,将第一个函数的,FT,取复共轭，乘积后，再求,IFT,即可得两者之相关。即：,FT,-1,F,*(,u,),G,(,u,)=,f,(,x,),g,(,x,),相关定理常常用于信号检测、图像识别。,根据相关的物理意义和特性。相关函数具有中心峰值分布。当函数是实函数时，其自相关具有中心对称的峰值分布。,3),巴塞伐定理,(,Parsevals,Theorem),则,:,若,:,在应用问题中，等号两边的积分都可以表示某种能量。该定理表明，对能量计算既可以在空域种进行也可在频域中进行，两者等价。,在物理意义上，该定理是能量守恒的体现，所以也称为能量守恒定理。,证明：,可用来计算较复杂的积分，如：,4),广义巴塞伐定理,(Generalized,Parsevals,Theorem),可用于求复杂的积分，如,:,5),导数定理,(Derivative Theorem),设,且,则有,以一维函数为例的证明见,应用,FT,P109,页,6,积分定理,(Integral Theorem),7,矩定理,(Moment Theorem),小结,