高等代数§6.3 维数基与坐标.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、,线性空间中向量之间的线性关系,二,、线性空间的维数、基与坐标,6.3,维数,基与坐标,引,入,即线性空间的构造如何？,怎样才能便于运算？,问题,如何把线性空间的全体元素表示出来？,这些元素之间的关系又如何呢？,（基的问题）,问题,线性空间是抽象的，如何使其元素与具体的东西,数发生联系,使其能用比较具体的数学式子来表达？,（坐标问题）,一、,线性空间中向量之间的线性关系,1,、有关定义,设,V,是数域,P,上的一个线性空间,（,1,）,和式,的一个,线性组合,称为向量组,（,2,）,，若存在,则称向量 可经向量组,线性表出,；,使,若向量组 中每一向量皆可经向量组,线性表出，则称向量组,可经向量组,线性表出,；,若两向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组,为,等价的,（,3,）,，若存在不全为零的数,，使得,则称向量组为,线性相关,的,；,（,4,）,如果向量组 不是线性相关,的，即,只有在时才成立，,则称,为,线性无关,的,（,1,）,单个向量 线性相关,单个向量 线性无关,向量组,线性相关,中有一个向量可经其余向量,线性表出,2、有关结论,（,2,）,若向量组线性无关，且可被,向量组 线性表出，则,若 与 为两线性无关的,等价向量组，则,（,3,）,若向量组线性无关，但向量组,线性相关，则 可被向量组,线性表出，且表法是唯一的,二、线性空间的维数、基与坐标,1,、维数,定义,如果在线性空间,中有,n,个线性无关的向量,没有更多数目的线性无关的向量,那么,V,称为,n,维的,若线性空间,V,中可以找到任意多个线性无关的向量,那么就称为无限维的,.,因为，对任意的正整数,n,，都有,n,个线性无关的,向量,例,1,所有实系数多项式所成的线性空间,R,x,是,无限维的,.,1,，,x,，,x,2,，,，,x,n,1,下面主要讨论有限维,线性空间,.,在,n,维线性空间,V,中，,n,个线性无关的向量,2.,基,坐标,，称为,V,的一组,基,；,下的,坐标,，记为,设,为线性空间,V,的一组基，,则数组，就称为,在基,若,有时也形式地记作,注意：,向量,的坐标,是被向量,和基,唯一确定的即向量,在基下的坐标唯一的,.,但是，在不同基下的坐标一般是,不同的,4,、线性空间的基与维数的确定,定理,：,若线性空间,V,中的向量组 满足,）线性无关；,）可经 线性表出,则,V,为,n,维线性空间，为,V,的一组基,证明,：,线性无关，,V,的维数,至少为,n,任取,V,中,n,1,个向量 ，,由,),，向量组,可用向量组,若是线性无关的，则,n,1,n,，矛盾,线性表出,.,V,中任意,n,1,个向量是线性相关的,故，,V,是,n,维的，就是,V,的一组基,例,2,3,维几何空间,R,3,是,R,3,的一组基；,也是,R,3,的一组基,一般地，向量空间,为,n,维的，,就是,P,n,的一组基称为,P,n,的,标准基,.,n,维线性空间,V,的基不是唯一的，,V,中任意,n,个,任意两组基向量是等价的,例,3,（,1,）证明：线性空间,P,x,n,是,n,维的，且,注意：,线性无关的向量都是,V,的一组基,（,2,）证明：,1,，,x,a,，,(,x,a,),2,，,，,(,x,a,),n,1,1,，,x,，,x,2,，,，,x,n,1,为,P,x,n,的一组基,也为,P,x,n,的一组基,证,:,（,1,）,首先，,1,，,x,，,x,2,，,，,x,n,1,是线性无关的,1,，,x,，,x,2,，,，,x,n,1,为,P,x,n,的一组基，,从而，,P,x,n,是,n,维的,.,其次，,可经,1,，,x,，,x,2,，,，,x,n,1,线性表出,注：,在基,1,，,x,，,x,2,，,，,x,n,1,下的坐标就是,此时，,（,2,）,1,，,x,a,，,(,x,a,),2,，,，,(,x,a,),n,1,是线性无关的,又对,，按泰勒展开公式有,即,f,(,x,),可经,1,，,x,a,，,(,x,a,),2,，,，,(,x,a,),n,1,线性表出,.,1,，,x,a,，,(,x,a,),2,，,，,(,x,a,),n,1,为,P,x,n,的一组基,在基,1,，,x,a,，,(,x,a,),2,，,，,(,x,a,),n,1,下的坐标是,注：,此时，,若把,C,看成是实数域,R,上的线性空间呢？,而实数域,R,上的线性空间,C,为,2,维的，数,1,，,i,就为,例,4,求全体复数的集合,C,看成复数域,C,上的线性,空间的维数与一组基；,解：,复数域,C,上的线性空间,C,是,1,维的，数,1,就是它的,一组基；,它的一组基,注,：,任意数域,P,看成是它自身上的线性空间是一维的，,数,1,就是它的一组基,.,例,5.,求实数域,R,上的线性空间,V,的维数与一组基,.,这里,解,:,下证线性无关,.,设,得齐次线性方程组,其系数行列式,方程组,只有零解：,故线性无关,.,又由,知，任意均可表成的线性组合，,所以,V,为三维线性空间，就是,V,的一组基,.,