第六章 定积分应用.ppt

第六章 定积分应用,定积分的元素法,定积分在几何学上的应用,定积分在物理学上的应用,定积分的几何应用,平面图形的面积,体积,平面曲线的弧长,x,y,第三节,定积分在物理学上的应用,定积分物理应用之一,变力沿直线作功问题,从物理学知道，若物体在作直线运动过程,中受常力 作用从,a,移至,b,（,力的方向与物体运动方向一致），力对物体所作的功为,问题的提出：,a,b,若 为变力，力对物体所作的功,W=？,解:,在上述移动过程中，电场,例1,带电量为,q,0,与,q,1,的正电荷分别放在空间两点，求当,q,1,沿,a,与,b,连线从,a,移到,b,时电场力所作的功。,如图建立坐标系：,a,b,o,r,q,0,q,1,对,q,1,作用力是变化的。,(,i),取,r,为积分变量，则,(,ii),相应于,a,b,上任一小区间,r,r+,dr,的功元素,(,iii),所求功,解:,等,温,条件下，压强,p,与体积,V,的乘积为常数，即,pV,=,k,而,F,=,pS,例2,在底面积为,S,的圆柱形容器中盛有一定量的气体。在等温条件下，由于气体膨胀，把容器中的一个活塞（面积为,S）,从点,a,推移至,b,，,计算在移动过程中气体压力所作的功。,如图建立坐标系，活塞位置可用坐标,x,表示。,a,b,注意到气体膨胀过程中,V,=,V,(,x,),即,F,=,F,(,x,),故采用元素法。,(,i),取,x,为积分变量，则,(,ii),相应于,a,b,上任一小区间,x,x+,dx,的功元素,(,iii),所求功,o,x,x,x+,dx,解:,如图选取,x,轴,。,(,i),取,x,为积分变量，则,(,ii),相应于,0,5,上任一小区间,x,x+,dx,的一薄层水的重力为,(,iii),所求功,例3,一圆柱形的储水桶高5米，底圆半径3米，桶内盛满了水。问把桶内的水全部吸出需作多少功？（水的比重为 ）,这薄层水吸出桶外需作之功近似为,x,3m,5m,o,x,x+,dx,解:,如图建立坐标系。,(,i),取,x,为积分变量，则,(,iii),所求功,(,ii),相应于小区间,x,x+,dx,，,对应薄片由,A,升至,B,在水中行程为,r,+,x,在水上的行程为,2,r,-(,r,+,x,)=,r,-,x,。,思考练习,半径为,r,的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的比重与水相同。欲将球从水中取出，需作多少功？（水的比重为,）,由于球的比重与水相同，薄片所受浮力与重力合力为零，不作功，由水面再上升到,B,时需作功，即功元素,y,x,o,r,A,B,2r,定积分物理应用之二,水 压 力,从物理学知道，在水深为,h,处的压强为,问题的提出：,若平板,铅直,放置在水中，平板一侧所受的水压力,P=？,p=,h（,为水的比重）。,x,h,A,因此，一面积为,A,的平板水平放置在水深为,h,处时，其一侧所受的水压力为,定积分元素法,问题的解决方法：,设平板铅直位于液体中形状如图。,距离液面,x、,高为,dx,、,宽为,f(x),的矩形平板所受压力的近似值，即压力元素为,以液面为,y,轴，,x,轴铅直向下。,x,y,o,a,b,y=f(x),所求压力,x,x+,dx,（为液体比重）,解:,依题意，如图建立坐标系。则端面周界方程为：,(,i),取,x,为积分变量，则,(,iii),所求压力,(,ii),相应于,0,R,上任一小区间,x,x+,dx,的窄条上各点压强,例4,一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水（如图1）。设桶的底半径为,R，,水的比重为,，计算桶的一个端面上所受的压力。,x,x+,dx,x,y,o,R,，窄条面积近似于,，即压力元素为,解:,如图建立坐标系,则腰,OB,的方程为：,(,i),取,x,为积分变量，则,(,iii),所求压力,(,ii),相应于,0,6,上任一小区间,x,x+,dx,的窄条上各点压强,例5,一个底为8,cm，,高为6,cm,的等腰三角形片，铅直地沉没在水中，顶在上，底在下且与水面平行，而顶离水面3,cm，,试求它每面所受的压力（,水的比重为,）。,窄条面积,压力元素,x,y,o,A,B(6,4),x,x+,dx,解:,如图建立坐标系。,(,i),取,x,为积分变量，则,(,iii),所求压力,(,ii),相应于小区间,x,x+,dx,，,对应薄板的宽为,思考练习,边长为,a,和,b,的矩形薄板，与液面成,角斜沉于液体中，长边平行于液面而位于深,h,处，设,ab，,液体的比重为,，试求薄板每面所受的压力。,，窄条面积为,压力元素,x,y,o,a,h,dx,定积分物理应用之三,引 力,从物理学知道，质量分别为,m,1、,m,2,，,相距为,r,的两质点间的引力大小为,问题的提出：,其中,G,为引力系数，引力的方向沿着两质点的连线。,o,x,r,m,1,m,2,如何计算一根,细棒,对一个,质点,的引力,F=？,解:,例6,设有一长度为,l、,线密度为,的均匀细棒，在其中垂线上距棒,a,单位处有一质量为,m,的质点,M。,试计算该棒对质点,M,的引力。,如图建立坐标系：,(,i),取,y,为积分变量，则,(,ii),相应于,(,iii),引力,o,x,M,y,上任一小区间,y,y+,dy,的引力元素,y,y+,dy,r,a,解:,练习,设有一半径为,R、,中心角为,的圆弧形细棒，其,线密度为常数,。在圆心处有一质量为,m,的质点,M。,试求这细棒对质点,M,的引力。,如图建立坐标系：,(,i),取,为积分变量，则,(,ii),相应于,(,iii),引力,x,M,y,上任一小区间,+,d,的引力元素,