2021-2022学年广州市南沙区八年级上学期期末数学试卷（含答案）.docx

2021－2022 学年广东省广州市南沙区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．在每小题给出的四个选项中只有
一项是符合题目要求的．）
1. 下列图形中，不具有稳定性的是（ ）

A 等腰三角形 B. 平行四边形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形

2. 下面的轴对称图形中，对称轴数量最多的是（ ）

A. B.

C. D.

3. 下面的计算正确的是（ ）

A. （ab）2＝ab2 B. （ab）2＝2ab C. a3•a4＝a12 D. （a3）4＝a12
4. 当 x＝﹣2 时，下列分式没有意义的是（ ）

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x - 2
A. x + 2
x
B. x - 2
x + 2
C.
2x
x - 2
D. -2x

5. 如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1 的度数是（ ）

A. 115° B. 65° C. 40° D. 25°

6. 计算（2x﹣1）（x＋2）的结果是（ ）

A. 2x2＋x﹣2 B. 2x2﹣2 C. 2x2﹣3x﹣2 D. 2x2＋3x﹣2
7. 等腰三角形的一边长是 5，另一边长是 10，则周长为（ ）

A. 15 B. 20 C. 20 或 25 D. 25

8. 如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC，交 BC 于点 D，CD＝6，AB＝12，则△ABD 的面积是

（ ）

A. 18 B. 24 C. 36 D. 72

9. 如图，将△ABC 沿着 DE 减去一个角后得到四边形 BCED，若∠BDE 和∠DEC 的平分线交于点 F，∠DFE

＝α，则∠A 的度数是（ ）
A. 180°﹣α B. 180°﹣2α C. 360°﹣α D. 360°﹣2α

10. 若正整数 m 使关于 x 的分式方程
m

(x + 2)(x -1)
= x
x + 2
- x - 2 的解为正数，则符合条件的 m 的个数是
x -1

（ ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分．）
11. 红细胞也称红血球，是血液中数量最多的一种血细胞，也是我们体内通过血液运送氧气的最主要的媒介， 同时还具有免疫功能．红细胞的直径单位一般用微米（μm），1μm＝0.000001m，人类的红细胞直径通常是 6μm～8μm．6μm 用科学记数法可以表示为 m．
12. 在一场足球比赛中，运动员甲、乙两人与足球的距离分别是 8m，17m，那么甲、乙两人的距离 d 的范

围是 ．

3y
13. 化简：

+ 2xy


的计算结果是 ．

2x - 2 y x2 - xy

14. 把多项式 x2﹣6x＋m 分解因式得（x＋3）（x﹣n），则 m＋n 的值是 ．
15. 如图，在四边形中 ABCD 中，BD 平分∠ABC，∠DAB＋∠DCB＝180°，DE⊥AB 于点 E，AB＝8，BC
＝4，则 BE的长度是 ．

16. 若|2x﹣4|＋（y＋3）2＝0，点 A（x，y）关于 x 轴对称的点为 B，点 B 关于 y 轴对称的点为 C，则点 C
的坐标是 ．
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤．）
17. 计算：（结果用幂的形式表示）3x2•x4﹣（﹣x3）2
3

18. 已知一个正多边形一个内角等于一个外角的
2
倍，求这个正多边形的边数．

19. 如图，已知∠A＝∠C，AE、CF 分别与 BD 交于点 E、F．请你从下面三项中再选出两个作为条件，另一个作为结论，写出一个真命题，并加以证明．①AB∥DC；②AE∥CF；③DE＝BF．

20. 如图，在△ABC 中，

（1） 尺规作图：作边 AC的垂直平分线，交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，连结 CD．
（2） 若△BCD 的周长等于 18，AE＝4，求△ABC 的周长．

21. 已知 T＝ (m +
4m + 4 ) × m ．

2
m m + 2

（1） 化简 T．

（2） 若 m2＋2m﹣3＝0，求此时 T 的值．
22. 为了响应打赢“蓝天保卫战”的号召，黄老师上下班的交通方式由驾车改为骑自行车，黄老师家距离学

校的路程是 9 千米，在相同的路线上，驾车的平均速度是骑自行车的平均速度的 3 倍，所以黄老师每天上

班要比开车早出发 20 分钟，才能按原驾车的时间到达学校．

（1） 求黄老师驾车的平均速度；

（2） 据测算，黄老师的汽车在上下班行驶过程中平均每小时碳排放量约为 2.4 千克，按这样计算，求黄老师一天（按一个往返计算）可以减少的碳排放量．
23. 常见的分解因式的方法有提公因式法、公式法及十字相乘法，而有的多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因式， 这种方法叫分组分解法．如 x2＋2xy＋y2﹣16，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式， 分解后与后面的部分结合起来又符合平方差公式，可以继续分解，过程为：x2＋2xy＋y2﹣16＝（x＋y）2﹣ 42＝（x＋y＋4）（x＋y﹣4）．它并不是一种独立的因式分解的方法，而是为提公因式或运用公式分解因式创造条件．阅读材料并解答下列问题：
（1）分解因式：2a2﹣8a＋8；
（2） 请尝试用上面的方法分解因式：x2﹣y2＋3x﹣3y；
（3） 若△ABC 的三边 a，b，c 满足 a2﹣ab﹣ac＋bc＝0，请判断△ABC 的形状并加以说明．
24. 如图①，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB的平分线交于点 O，∠A＝α．

（1） 如图①，若∠A＝50°，求∠BOC 的度数．

（2） 如图②，连接 OA，求证：OA 平分∠BAC．

（3） 如图③，若射线 BO 与∠ACB 的外角平分线交于点 P，求证 OC⊥PC．

25. 在长方形 ABCD 中，AB＝4，BC＝8，点 P、Q 为 BC 边上的两个动点（点 P 位于点 Q 的左侧，P、Q 均不与顶点重合），PQ＝2

（1） 如图①，若点 E 为 CD 边上的中点，当 Q 移动到 BC 边上的中点时，求证：AP＝QE；

（2） 如图②，若点 E 为 CD 边上的中点，在 PQ 的移动过程中，若四边形 APQE 的周长最小时，求 BP 的长；
（3） 如图③，若 M、N 分别为 AD 边和 CD 边上的两个动点（M、N 均不与顶点重合），当 BP＝3，且四边形 PQNM 的周长最小时，求此时四边形 PQNM 的面积

2021－2022 学年广东省广州市南沙区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．在每小题给出的四个选项中只有
一项是符合题目要求的．）
1. 下列图形中，不具有稳定性的是（ ）

A. 等腰三角形 B. 平行四边形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形

【答案】B
【解析】

【分析】根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性即可作出选择．

【详解】解：平行四边形属于四边形，不具有稳定性，而三角形具有稳定性，故 A 符合题意； 故选：B．
【点睛】本题考查了多边形和三角形的性质，解题的关键是记住三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性．

2. 下面的轴对称图形中，对称轴数量最多的是（ ）

A. B.

C. D.

【答案】C
【解析】

【分析】根据轴对称图形的概念分别得出对称轴的条数进而求解．

【详解】解：A、有 2 条对称轴，

B、有 2 条对称轴，

C、有 3 条对称轴，

D、有 1 条对称轴，

故对称轴最多的是选项 C． 故选：C．
【点睛】此题主要考查了轴对称的概念．轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．

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3. 下面的计算正确的是（ ）

A. （ab）2＝ab2 B. （ab）2＝2ab C. a3•a4＝a12 D. （a3）4＝a12
【答案】D
【解析】

【分析】根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法运算法则进行计算即可．

【详解】解：A．（ab）2=a2b2，故 A 不符合题意； B．（ab）2=a2b2，故 B 不符合题意； C．a3•a4=a7，故 C 不符合题意； D．（a3）4=a12，故 D 符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．

4. 当 x＝﹣2 时，下列分式没有意义的是（ ）

x - 2

A. x + 2
x

B. x - 2
x + 2
C.
2x
x - 2

D. -2x

【答案】A
【解析】

【分析】根据分式的分母为 0 时，分式无意义即可解答．
x - 2

【详解】解：A．分式
x


x + 2
没有意义时，x=-2，故 A 符合题意；

B. 分式

C. 分式


x - 2
x + 2 2x
x - 2
没有意义时，x=2，故 B 不符合题意；

没有意义时，x=0，故 C 不符合题意；

D. 分式 -2x 没有意义时，x=0，故 D 不符合题意；
故选：A．

【点睛】本题考查了分式无意义的条件，熟练掌握分式的分母为 0 时，分式无意义是解题的关键．

5. 如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1 的度数是（ ）

A. 115° B. 65° C. 40° D. 25°

【答案】C
【解析】

【分析】根据三角形内角和定理求出∠2，根据全等三角形的性质解答即可．

【详解】解：由三角形内角和定理得，∠2=180°-115°-25°=40°，
∵两个三角形全等，

∴∠1=∠2=40°， 故选：C．

【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解本题的 关键．
6. 计算（2x﹣1）（x＋2）的结果是（ ）

A. 2x2＋x﹣2 B. 2x2﹣2 C. 2x2﹣3x﹣2 D. 2x2＋3x﹣2
【答案】D
【解析】

【分析】原式利用多项式乘多项式法则计算即可得到结果．

【详解】解：原式=2x2+4x-x-2
=2x2+3x-2． 故选：D．
【点睛】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握法则是解本题的关键．

7. 等腰三角形的一边长是 5，另一边长是 10，则周长为（ ）

A. 15 B. 20 C. 20 或 25 D. 25

【答案】D
【解析】

【分析】由于没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三 角形．
【详解】解：分两种情况：

当腰为 5 时，5+5=10，所以不能构成三角形；

当腰为 10 时，5+10＞10，所以能构成三角形，周长是：10+10+5=25． 故选 D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两 种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答．
8. 如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC，交 BC 于点 D，CD＝6，AB＝12，则△ABD 的面积是
（ ）

A. 18 B. 24 C. 36 D. 72

【答案】C
【解析】

【分析】作 DH⊥AB 于 D，如图，根据角平分线的性质得到 DH=DC=6，然后根据三角形面积公式计算．

【详解】解：作 DH⊥AB 于 D，如图，

∵AD 平分∠BAC，DH⊥AB，DC⊥AC，

∴DH=DC=6，

∴S ABD= 1 ×12×6=36．

△ 2

故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公 式．
9. 如图，将△ABC 沿着 DE 减去一个角后得到四边形 BCED，若∠BDE 和∠DEC 的平分线交于点 F，∠DFE

＝α，则∠A 的度数是（ ）

A. 180°﹣α B. 180°﹣2α C. 360°﹣α D. 360°﹣2α

【答案】B
【解析】

【分析】根据∠DFE=α得到∠FDE+∠FED，再根据角平分线的性质求出∠BDE+∠CED=360°-2α，利用外角 的性质得到∠ADE+∠AED=2α，最后根据三角形内角和求出结果．
【详解】解：∵∠DFE=α，

∴∠FDE+∠FED=180°-α，

由角平分线的定义可知：∠BDF=∠FDE，∠CEF=∠FED，

∴∠BDE+∠CED=2∠FDE+2∠FED=360°-2α，

∴∠ADE+∠AED=180°-∠BDE +180°-∠CED=2α，

∴∠A=180°-（∠ADE+∠AED）=180°-2α，

故选 B．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和，三角形外角的性质，解题的关键是利用角平分线得

到相等的角，根据内角和进行计算．

10. 若正整数 m 使关于 x 的分式方程


m

(x + 2)(x -1)

= x
x + 2

- x - 2 的解为正数，则符合条件的 m 的个数是
x -1

（ ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】A
【解析】

【分析】先解关于 x 的分式方程，求得 x 的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求 m 的取值范围，进而可求解．
【详解】解：去分母得：m=x（x-1）-（x-2）（x+2），即 m=4-x，
解得 x=4-m，

由 x 为正数且（x-1）（x+2）≠0 可得：4-m＞0 且 m≠6 或 3，，解得：m＜4 且 m≠3，．
∵m 为正整数，

∴m 的值为 1，2 共 2 个数． 故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的解，由于我们的目的是求 m 的取值范围，求得 x=4-m，即可列出关于 m 的不等式了，另外，解答本题时，易漏掉（x-1）（x+2）≠0，这个隐含的条件而造成的，这应引起同学们的足够重视．
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分．）
11. 红细胞也称红血球，是血液中数量最多的一种血细胞，也是我们体内通过血液运送氧气的最主要的媒介， 同时还具有免疫功能．红细胞的直径单位一般用微米（μm），1μm＝0.000001m，人类的红细胞直径通常是 6μm～8μm．6μm 用科学记数法可以表示为 m．
【答案】6×10-6
【解析】

【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：6μm=6×0.000001m=6×10-6m． 故答案为：6×10-6．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a×10-n，其中 1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定．
12. 在一场足球比赛中，运动员甲、乙两人与足球的距离分别是 8m，17m，那么甲、乙两人的距离 d 的范

围是 ．
【答案】9cm ＃d


25cm

【解析】

【分析】分别画图表示出距离最短和最长时的情况，从而得到取值范围．

【详解】解：如图，足球、甲、乙在一条直线上时， 此时甲、乙两人的距离 d 最短，且为 17-8=9cm；

如图，甲、足球、乙在一条直线上时，

此时甲、乙两人的距离 d 最长，且为 17+8=25cm；

综上：甲、乙两人的距离 d 的范围是9cm ＃d 25cm ，
故答案为： 9cm ＃d 25cm ．

【点睛】本题考查了两点之间的距离，理解最长和最短的位置，解题的关键是注意分情况画出图形．

3y
13. 化简：
+ 2xy

的计算结果是 ．

2x - 2 y x2 - xy

【答案】
7 y 2x - 2 y

【解析】

【分析】通分并利用同分母分式的加法法则进行计算即可求出答案．

3y
【详解】解：
+ 2xy

3xy

= 2x ( x - y )
2x - 2 y x2 - xy

+
4xy 2x ( x - y )

7xy
= 2x ( x - y )

7 y
= 2x - 2 y

故答案为：
7 y
2x - 2 y ．

【点睛】本题考查了分式的加法，题目比较简单，在进行计算时要注意把最后结果进行化简是本题的关键．

14. 把多项式 x2﹣6x＋m 分解因式得（x＋3）（x﹣n），则 m＋n 的值是 ．
【答案】-18
【解析】

【分析】根据题意列出等式，利用多项式相等的条件求出 m 与 n 的值，代入原式计算即可求出值．

【详解】解：根据题意得：x2-6x+m=（x+3）（x-n）=x2+（3-n）x-3n，
∴3-n=-6，m=-3n， 解得：m=-27，n=9， 则原式=-27+9=-18，
故答案为：-18．

【点睛】此题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

15. 如图，在四边形中 ABCD 中，BD 平分∠ABC，∠DAB＋∠DCB＝180°，DE⊥AB 于点 E，AB＝8，BC

＝4，则 BE 的长度是 ．

【答案】6
【解析】

【分析】过 D 作 DF⊥BC，垂足为 F，首先证明∠DAE=∠FCD，再证明△AED≌△CFD，可得 AE=FC，然后证明 Rt△BFD≌Rt△BED 可得 FB=BE，再根据线段的和差关系可得 AB=2BE-BC，则可得出答案．
【详解】解：如图，过 D 作 DF⊥BC，垂足为 F，

∵∠BCD+∠FCD=180°，∠BAD+∠BCD=180°，

∴∠DAE=∠FCD，

∵BD 为∠ABC 的平分线，DE⊥BA，DF⊥BC，

∴DF=DE，

在△AED 和△CFD 中，
ìÐDEA = ÐDFC
í
ïÐDAE = ÐFCD ，
î
ïDE = DF
∴△AED≌△CFD（AAS），

∴AE=FC，

在 Rt△BFD 和 Rt△BED 中，

ìDB = DB
î
íDF = DE ，
∴Rt△BFD≌Rt△BED（HL），

∴FB=BE，

∴AB=AE+BE=BE-BC+BE=2BE-BC，

∵AB=8，BC=4，

∴BE=6．

故答案为：6．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，解决本题的关键是作出辅助线．

16. 若|2x﹣4|＋（y＋3）2＝0，点 A（x，y）关于 x 轴对称的点为 B，点 B 关于 y 轴对称的点为 C，则点 C
的坐标是 ．

【答案】（-2，3）
【解析】

【分析】依据非负数的性质，即可得到 x，y 值，依据关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标特征，即可得出点 C
的坐标．

【详解】解：∵|2x﹣4|＋（y＋3）2＝0，
∴2x-4=0，y+3=0，

∴x=2，y=-3，

∴A（2，-3），

∵点 A（x，y）关于 x 轴对称的点为 B，

∴B（2，3），

∵点 B 关于 y 轴对称的点为 C，

∴C（-2，3），

故答案为 ：（-2，3）．

【点睛】本题主要考查了非负数的性质以及关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标特征，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于 y 轴对称的点，纵坐标相同， 横坐标互为相反数．
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤．）
17. 计算：（结果用幂的形式表示）3x2•x4﹣（﹣x3）2
【答案】2x6
【解析】

【分析】根据同底数幂的乘法和幂的乘方计算即可．

【详解】解：3x2•x4-（-x3）2
=3x6-x6
=2x6．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方，掌握法则是解题的关键．
3

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18. 已知一个正多边形一个内角等于一个外角的
2
【答案】5
【解析】
倍，求这个正多边形的边数．

【分析】多边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，外角和是固定的 360°，从而可根据一个正多边形的一个
3

内角等于一个外角的
2
列方程求解可得．

【详解】解：设此正多边形为正 n 边形．
3
∵正多边形的一个内角等于一个外角的 ，
2
3
∴此正多边形的内角和等于其外角和的 ，
2

3
∴ ×360°=（n-2）•180°，
2
解得 n=5．

答：正多边形的边数为 5．
【点睛】本题考查正多边形的内角和与外角和．关键是记住内角和的公式与外角和的特征．

19. 如图，已知∠A＝∠C，AE、CF 分别与 BD 交于点 E、F．请你从下面三项中再选出两个作为条件，另一个作为结论，写出一个真命题，并加以证明．①AB∥DC；②AE∥CF；③DE＝BF．

【答案】见解析

【解析】

【分析】由已知设 AB∥DC，DE＝BF，得到∠B=∠D，BE=DF，再根据∠A=∠C，利用 AAS 证明△ABE≌△CDF，得到∠AEB=∠CFD，再根据平行线的判定即可证明．
【详解】解：命题为：若 AB∥DC，DE＝BF，则 AE∥CF； 证明：∵AB∥CD，
∴∠B=∠D，

∵DE=BF，

∴DE+EF=BF+EF，即 BE=DF，

又∵∠A=∠C，

∴△ABE≌△CDF（AAS），

∴∠AEB=∠CFD，

∴AE∥CF．

【点睛】此题考查的知识点是全等三角形的判定与性质，关键是由已知证△ABE≌△CDF．

20. 如图，在△ABC 中，

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（1） 尺规作图：作边 AC 的垂直平分线，交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，连结 CD．

（2） 若△BCD 的周长等于 18，AE＝4，求△ABC 的周长．

【答案】（1）见解析 （2）26
【解析】

【分析】（1）根据要求作出图形即可．

（2）求出 BC+AB=18，AC=8，可得结论．

【小问 1 详解】

解：如图，直线 DE 即为所求．

【小问 2 详解】

∵DE 垂直平分线段 AC，

∴DA=DC，AE=CE=4，

∴AC=8，

∵△BDC 的周长=BC+BD+DC=BC+BD+DA=BC+AB=18．

∴△ABC 的周长=BC+AB+AC=18+8=26．

【点睛】本题考查作图-基本作图，三角形的周长，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握五种 基本作图，属于中考常考题型．

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21. 已知 T＝ (m +
4m + 4 ) × m ．

2
m m + 2

（1） 化简 T．

（2） 若 m2＋2m﹣3＝0，求此时 T 的值．

【答案】（1） m2 + 2m

（2）3
【解析】

【分析】（1）原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果；

（2）已知等式变形得到 m2＋2m=3，代入计算即可求出 T 的值．
【21 题详解】

æ 4m + 4 ö m2

解：T＝ ç m +
m ÷ × m + 2

è ø

ç
æ m2 + 4m + 4 ö × m2
= m m ÷ m + 2
è ø

m2 + 4m + 4 m2
= ×

m m + 2

=
×
(m + 2)2 m2

m m + 2

= m2 + 2m ；

【22 题详解】

∵m2＋2m﹣3＝0，
∴m2＋2m＝3，
∴T＝m2＋2m＝3．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

22. 为了响应打赢“蓝天保卫战”的号召，黄老师上下班的交通方式由驾车改为骑自行车，黄老师家距离学 校的路程是 9 千米，在相同的路线上，驾车的平均速度是骑自行车的平均速度的 3 倍，所以黄老师每天上班要比开车早出发 20 分钟，才能按原驾车的时间到达学校．
（1） 求黄老师驾车的平均速度；

（2） 据测算，黄老师的汽车在上下班行驶过程中平均每小时碳排放量约为 2.4 千克，按这样计算，求黄老师一天（按一个往返计算）可以减少的碳排放量．
【答案】（1）54 千米/小时

（2）0.8 千克
【解析】

【分析】（1）可设黄老师骑自行车的平均速度为 x 千米/小时，根据时间的等量关系列出方程即可求解；

（2）由（1）可得黄老师开车的平均速度，再计算黄老师一天（按一个往返计算）可以减少碳排放量多少 千克．
【小问 1 详解】

解：设黄老师骑自行车的平均速度为 x 千米/小时，

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依题意有， 9 - 9
x 3x
= 1 ，
3

解得 x=18，

经检验，x=18 是原方程的解．则3x = 54,

故黄老师驾车的平均速度为 54 千米/小时；

【小问 2 详解】

解：由（1）可得黄老师开车的平均速度为 18×3=54（千米/小时），
9
×2×2.4=0.8（千克）．
54
故可以减少碳排放量 0.8 千克．
【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．

23. 常见的分解因式的方法有提公因式法、公式法及十字相乘法，而有的多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因式， 这种方法叫分组分解法．如 x2＋2xy＋y2﹣16，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式， 分解后与后面的部分结合起来又符合平方差公式，可以继续分解，过程为：x2＋2xy＋y2﹣16＝（x＋y）2﹣ 42＝（x＋y＋4）（x＋y﹣4）．它并不是一种独立的因式分解的方法，而是为提公因式或运用公式分解因式创造条件．阅读材料并解答下列问题：
（1）分解因式：2a2﹣8a＋8；
（2） 请尝试用上面的方法分解因式：x2﹣y2＋3x﹣3y；
（3） 若△ABC 的三边 a，b，c 满足 a2﹣ab﹣ac＋bc＝0，请判断△ABC 的形状并加以说明．
【答案】（1） 2 (a - 2)2
（2） ( x + y + 3)( x - y)

（3）等腰三角形
【解析】

【分析】（1）先提公因式 2，再利用完全平方公式分解；

（2） 先分组，再利用分组分解法求解；
（3） 把等式左边利用分组分解法因式分解得到(a - c)(a - b) = 0 ，利用三角形三边的关系得到 a=c 或 a=b，

从而可判断△ABC 的形状．

【小问 1 详解】解： 2a2 - 8a + 8
= 2(a2 - 4a + 4)
= 2 (a - 2)2 ；
【小问 2 详解】

x2 - y2 + 3x - 3y

= ( x + y)( x - y) + 3( x - y)
= ( x + y + 3)( x - y) ；
【小问 3 详解】

a2 - ab - ac + bc

= a2 - ab + bc - ac
= a (a - b) + c (b - a)
= a (a - b) - c (a - b)
= (a - c)(a - b)

=0

∴a=c 或 a=b

∴△ABC 为等腰三角形．
【点睛】本题考查了利用完全平方公式分解因式，提公因式的方法分解因式，分组分解法是，因式分解的 应用，等腰三角形的定义，理解题意，掌握“整体法分解因式”是解本题的关键．
24. 如图①，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点 O，∠A＝α．

（1） 如图①，若∠A＝50°，求∠BOC 的度数．

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（2） 如图②，连接 OA，求证：OA 平分∠BAC．

（3） 如图③，若射线 BO 与∠ACB 的外角平分线交于点 P，求证 OC⊥PC．

【答案】（1）115°

（2）见解析 （3）见解析
【解析】

【分析】（1）利用三角形的内角和先求出∠ABC 与∠ACB 的和，再根据角平分的定义求出∠OBC 与∠OCB 的和即可解答；
（2） 根据角平分线的性质定理，想到过点 O 作 OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为 D，E，F，证出 OE=OF 即可解答；
（3） 根据角平分的定义求出∠OCP=90°即可解答．

【小问 1 详解】

解：（1）∵∠A=50°，

∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°，

∵∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点 O，

∴∠OBC= 1 ∠ABC，∠OCB= 1 ∠ACB，
2 2

∴∠OBC+∠OCB= 1 ∠ABC+ 1 ∠ACB=65°，
2 2

∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=115°；

【小问 2 详解】

证明：过点 O 作 OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为 D，E，F，

∵∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点 O，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，

∴OD=OE，OD=OF，

∴OE=OF，

∴OA 平分∠BAC；

【小问 3 详解】

证明：∵OC 平分∠ACB，OP 平分∠ACD，

∴∠ACO= 1 ∠ACB，∠ACP= 1 ∠ACD，
2 2

∴∠OCP=∠ACO+∠ACP

= 1 ∠ACB+ 1 ∠ACD
2 2

= 1 ∠BCD
2

= 1 ×180°
2

=90°，

∴OC⊥CP．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的定义和角平分线的性质定理是解题的关键．

25. 在长方形 ABCD 中，AB＝4，BC＝8，点 P、Q 为 BC 边上的两个动点（点 P 位于点 Q 的左侧，P、Q 均不与顶点重合），PQ＝2

（1） 如图①，若点 E 为 CD 边上的中点，当 Q 移动到 BC 边上的中点时，求证：AP＝QE；

（2） 如图②，若点 E 为 CD 边上的中点，在 PQ 的移动过程中，若四边形 APQE 的周长最小时，求 BP 的长；
（3） 如图③，若 M、N 分别为 AD 边和 CD 边上的两个动点（M、N 均不与顶点重合），当 BP＝3，且四边形 PQNM 的周长最小时，求此时四边形 PQNM 的面积．
【答案】（1）见解析 （2）4

（3）4
【解析】

【分析】（1）由“SAS”可证△ABP≌△QCE，可得 AP=QE；
（2） 要使四边形 APQE 的周长最小，由于 AE 与 PQ 都是定值，只需 AP+EQ 的值最小即可．为此，先在 BC 边上确定点 P、Q 的位置，可在 AD 上截取线段 AF=DE=2，作 F 点关于 BC 的对称点 G，连接 EG 与 BC 交于一点即为 Q 点，过 A 点作 FQ 的平行线交 BC 于一点，即为 P 点，则此时 AP+EQ=EG 最小，然后过 G 点作 BC 的平行线交 DC 的延长线于 H 点，那么先证明∠GEH=45°，再由 CQ=EC 即可求出 BP 的长度；
（3） 要使四边形 PQNM 的周长最小，由于 PQ 是定值，只需 PM+MN+QN 的值最小即可，作点 P 关于 AD

的对称点 F，作点 Q 关于 CD 的对称点 H，连接 FH，交 AD 于 M，交 CD 于 N，连接 PM，QN，此时四边形 PQNM 的周长最小，由面积和差关系可求解．
【小问 1 详解】

解：证明：∵四边形 ABCD 是矩形，

∴CD=AB=4，BC=AD=8，

∵点 E 是 CD 的中点，点 Q 是 BC 的中点，

∴BQ=CQ=4，CE=2，

∴AB=CQ，

∵PQ=2，

∴BP=2，

∴BP=CE，

又∵∠B=∠C=90°，

∴△ABP≌△QCE（SAS），

∴AP=QE；

【小问 2 详解】

如图②，在 AD 上截取线段 AF=PQ=2，作 F 点关于 BC 的对称点 G，连接 EG 与 BC 交于一点即为 Q 点， 过 A 点作 FQ 的平行线交 BC 于一点，即为 P 点，过 G 点作 BC 的平行线交 DC 的延长线于 H 点．

∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°，

∴∠GEH=45°，

∴∠CEQ=45°，

设 BP=x，则 CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x，

在△CQE 中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°，

∴CQ=EC，

∴6-x=2， 解得 x=4，
∴BP=4；

【小问 3 详解】

如图③，作点 P 关于 AD 的对称点 F，作点 Q 关于 CD 的对称点 H，连接 FH，交 AD 于 M，交 CD 于 N， 连接 PM，QN，此时四边形 PQNM 的周长最小，连接 FP 交 AD 于 T，

∴PT=FT=4，QC=BC-BP-PQ=8-3-2=3=CH，

∴PF=8，PH=8，

∴PF=PH，

又∵∠FPH=90°，

∴∠F=∠H=45°，

∵PF⊥AD，CD⊥QH，

∴∠F=∠TMF=45°，∠H=∠CNH=45°，

∴FT=TM=4，CN=CH=3，

∴四边形 PQNM 的面积= 1 ×PF×PH- 1 ×PF×TM- 1 ×QH×CN= 1 ×8×8- 1 ×8×4- 1 ×6×3=7．
2 2 2 2 2 2