2022-2023学年广东省广州市执信中学八年级上学期期末检测 数学试卷（含答案）.docx

2022-2023 学年第一学期初二级数学科线上阶段调研试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每题只有一项是符合题目要求的）
1. 下面是科学防控知识的图片，其中是轴对称图形的是（ ）

A. B. C. D.

2. 用下列长度的三条线段，首尾相连，不能组成三角形的是（ ）

A. 3cm，3cm，2cm

B. 7cm，2cm，4cm
C. 4cm，9cm，7cm

D. 3cm，5cm，4cm
3. 下列运算正确的是（
）

第 6页/共 6页

A. (a5 )2 = a7
(-ab2 )3 = -ab6
B. a2 × a4 = a6
C. x8 ¸ x2 = x4 D.

4 如图，若要用“HL”证明 RtVABC≌RtVABD ，则还需补充条件（ ）

A. ÐBAC = ÐBAD
B. AC = AD
C. ÐABC = ÐABD
D. 以上都

不正确
5. 若分式 a +1 有意义，则a 的取值范围为（ ）
a -1

A. a > 1
B. a = 1
C. a ¹ 1
D. a ¹ 0

6. 若多项式 x2 + mx - 35 分解因式为(x - 7)(x + 5) ，则 m 的值是（ ）

A. 2 B. -2
C. 12 D.
-12

7. 一个正多边形的每个外角都是 36°，这个正多边形的边数是【 】

A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
m2 - n2 2m

8. 若 m－n＝2，则代数式
×
m m + n
的值是（ ）

A. －2 B. 2 C. －4 D. 4
9. 如图，在△ABC 中，BC 的垂直平分线分别交 AC，BC 于点 D，E,若△ABC 的周长为 24， CE＝4，则△ABD 的周长为（ ）

A. 16 B. 18 C. 20 D. 24
10. 如图，在△ABC 中，∠BAC 和∠ABC 的平分线 AE，BF 相交于点 O，AE 交 BC 于 E，
BF 交 AC 于 F，过点 O 作 OD⊥BC 于 D，下列三个结论：① ÐAOB = 90° + 1 ÐC ；②当
2
ÐC = 60° 时，AF+BE＝AB；③若 OD＝a，AB＋BC＋CA＝2b，则 SV ABC＝ab ．其中正确的是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①③
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
11. 将数 0.0002022 用科学记数法表示为 ．
12. 分解因式： xm - xn = ．
13. 如图一副直角三角板如图放置 AB / / EF ， ÐB = 30° ， ÐF = 45° ，则求
Ð1 = ．

14. 若 a2 + b2 = 8 ， ab = 2 ，则(a - b)2 = ．
15. 如图，已知△ABC 为等边三角形，BD 为△ABC 的中线，延长 BC 至 E，使 CE＝CD， 连接 DE，则∠BDE ＝ 度．
16. 如图，ÐAOB = 18° ，点 M、N 分别是边OA、OB 上的定点，点 P、Q 分别是边OB, OA 上的动点，记ÐMPQ = a， ÐPQN = b，当 MP + PQ + QN 最小时，则b-a= ．

三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分）
17. 如图， AB = AD ， BC = CD ．求证： ÐB = ÐD ．
18. 计算：
（1） (3x + 4)(2x -1) ；
（2）(15x2 y -10xy2 ) ¸ 5xy ．
19. 如图，在平面直角坐标系中，已知 A(3，3) ， B (1，1) ， C (4，-1) ．

（1） 画出VABC 关于 y 轴的轴对称图形△A1B1C1 ，并写出 A1 、 B1 、C1 坐标；
（2） 在（1）的条件下，连接 AA1 、 AB1 ，求出V AA1B1 的面积．
20. 如图，在VABC 中， ÐA = 30° ， ÐB=60° ．

（1） 作ÐB 的平分线 BD ，交 AC 于点 D ．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）
（2） 设CD = 3 ，求 AC ．

21. 先化简，再求值 2 +
m -1
m2 - 4m + 4

m2 -1
¸ m - 2 ，其中 m＝－2
m +1

22. 接种疫苗是预防新冠肺炎的一种有效办法，截至 2021 年 12 月 29 日，我国新冠疫苗接种总剂次约占全球总剂次的三分之一．某社区组织甲、乙两支医疗队开展疫苗接种工作，甲 队比乙队每小时多接种 20 人，甲队接种 2250 人与乙队接种 1800 人用时相同，问：甲队每小时接种多少人？
23. 如图，VABC 中，AB = AC ．O 是VABC 内一点，OD 是 AB 的垂直平分线，OF ^ AC ，
OD = OF ．

（1） 当ÐDOF = 126° 时，求： ÐOBC 的度数；
（2） 判断VAOC 的形状，并证明．
24. 阅读材料：若 m2 - 2mn + 2n2 - 8n +16 = 0 ，求 m ， n 的值． 解：∵ m2 - 2mn + 2n2 - 8n +16 = 0 ，
∴(m2 - 2mn + n2 ) + (n2 - 8n +16) = 0 ．
∴ (m - n)2 + (n - 4)2 = 0 .
∴ (m - n)2 = 0 ， (n - 4)2 = 0 ，∴ n = 4 ， m = 4 ．根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知 a2 + 2b2 - 2ab + 4b + 4 = 0 ，求 ab 的值；
（2）已知VABC 的三边长 a ， b ， c 都是正整数，且满足a2 + b2 -8a -12b + 52 = 0 ，求
VABC 的最长边c 的值；
（3）已知 a - b = 8 ， ab + c 2 - 16c + 80 = 0 ，求 a + b + c 的值．
25. 已知： VABC 中， ÐACB = 90° ， AC = BC ．
（1） 如图，点 D 在 BC 的延长线上，连 AD ，过 B 作 BE ^ AD 于 E ，交 AC 于点 F ．求证： AD = BF ；

（2） 如图，点 D 在线段 BC 上，连 AD ，过A 作 AE ^ AD ，且 AE = AD ，连 BE 交 AC
于 F ，连 DE ，问 BD 与CF 有何数量关系，并加以证明；

（3） 如图，点 D 在CB 延长线上， AE = AD 且 AE ^ AD ，连接 BE 与 AC 的延长线交于
DB

点 M ，若 AC = 4MC ，请直接写出
的值．
BC

2022-2023 学年第一学期初二级数学科线上阶段调研试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每题只有一项是符合题目要求的）
1. 下面是科学防控知识的图片，其中是轴对称图形的是（ ）

A. B. C. D.

【答案】A
【解析】
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做 轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：B，C，D 选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠， 直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A 选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠 后可重合．
2. 用下列长度的三条线段，首尾相连，不能组成三角形的是（ ）
A. 3cm，3cm，2cm B. 7cm，2cm，4cm
C. 4cm，9cm，7cm D. 3cm，5cm，4cm
【答案】B
【解析】
【分析】将较短的两边相加，若大于第三边则能构成三角形，否则不能，据此判断．
【详解】A、2 + 3 > 3 ，能构成三角形，不符合题意；
B、 2 + 4 < 7 ，不能构成三角形，符合题意；
C、 4 + 7 > 9 ，能构成三角形，不符合题意；
D、3 + 4 > 5 ，能构成三角形，不符合题意． 故选：B．

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【点睛】此题考查了三角形的三边关系的应用，正确理解利用三角形三边关系判断是否能组 成三角形的方法是解题的关键．
3. 下列运算正确的是（ ）

A. (a5 )2 = a7
(-ab2 )3 = -ab6
【答案】B
【解析】
B. a2 × a4 = a6
C. x8 ¸ x2 = x4 D.

【分析】根据幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂除法，积的乘方，逐一求解判断即可．
【详解】解：A、(a5 )2 = a10 ，计算错误，不符合题意；
B、 a2 × a4 = a6 ，计算正确，符合题意；
C、 x8 ¸ x2 = x6 ，计算错误，不符合题意；
D、(-ab2 )3 = -a3b6 ，计算错误，不符合题意；故选 B．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方，积的乘方，同底数幂乘除法，熟知积的乘方和幂的乘方， 同底数幂乘除法的运算法则是解题的关键．
4. 如图，若要用“HL”证明 RtVABC≌RtVABD ，则还需补充条件（ ）

A. ÐBAC = ÐBAD
B. AC = AD
C. ÐABC = ÐABD
D. 以上都

不正确
【答案】B
【解析】
【分析】根据“HL”证明 RtVABC≌RtVABD ，因图中的斜边 AB 为公共边，只需再补充一条直角边即可．
【详解】解：由图可知：Q AB 为 RtVABC 和 RtVABD 的斜边，也是公共边， 根据“HL”定理，证明 RtVABC≌RtVABD ，只需再补充一条直角边相等即可， 即 AC = AD 或 BC = BD ，
故选：B．

【点睛】本题考查的是利用“HL”证明直角三角形全等，解题的关键是熟练掌握“HL”判定定 理．
5. 若分式 a +1 有意义，则a 的取值范围为（ ）
a -1

A. a > 1
B. a = 1
C. a ¹ 1
D. a ¹ 0

【答案】C
【解析】

【分析】根据分式


a +1

a -1


有意义得 a -1 ¹ 0 ，即可得．

【详解】解：∵分式

∴ a -1 ¹ 0 ，
a ¹ 1， 故选：C．
a +1

a -1

有意义，

【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件．

6. 若多项式 x2 + m
x - 35 分解因式为(x - 7)(
x + 5) ，则 m 的值是（ ）
A. 2
【答案】B
B.
-2
C. 12
D. -12
【解析】

【分析】利用十字相乘法很容易确定 m 的值．
【详解】解：Q 多项式 x2 + mx - 35 分解因式为(x - 7)(x + 5) ， 即 x2 + mx - 35 = (x - 7)(x + 5) ，
\ x2 + mx - 35 = x2 - 2x - 35 ，系数对应相等，
\m = -2 ， 故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解的十字相乘法，解题的关键是掌握十字相乘法．
7. 一个正多边形的每个外角都是 36°，这个正多边形的边数是【 】
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
【答案】B
【解析】
【详解】根据多边形的外角和是 360 度，正多边形的每个外角都是 36°，得 360°÷36°=10， 即这个正多边形的边数是 10．故选 B．
考点：多边形的外角性质．

8. 若 m－n＝2，则代数式
m2 - n2 × 2m m m + n

的值是（ ）

A. －2 B. 2 C. －4 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】先因式分解，再约分得到原式＝2（m-n），然后利用整体代入的方法计算代数式的值．

•
【详解】解：原式 =（m + n）（m - n）
m
2m m + n

＝2（m-n），
当 m-n＝2 时，原式＝2×2＝4． 故选：D．
【点睛】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求 出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要 进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
9. 如图，在△ABC 中，BC 的垂直平分线分别交 AC，BC 于点 D，E,若△ABC 的周长为 24， CE＝4，则△ABD 的周长为（ ）

A. 16 B. 18 C. 20 D. 24
【答案】A
【解析】
【分析】根据线段的垂直平分线的性质和三角形的周长公式进行解答即可.
【详解】解：∵DE 是 BC 的垂直平分线，
∴DB=DC，BC=2CE=8
又∵AABC 的周长为 24，
∴AB+BC+AC=24
∴AB+AC=24-BC=24-8=16
∴△ABD 的周长=AD+BD+AB=AD+CD+AB=AB+AC=16，故答案为 A
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，理解并应用线段的垂直平分线上的点到线 段的两个端点的距离相等是解题的关键.
10. 如图，在△ABC 中，∠BAC 和∠ABC 的平分线 AE，BF 相交于点 O，AE 交 BC 于 E，

BF 交 AC 于 F，过点 O 作 OD⊥BC 于 D，下列三个结论：① ÐAOB = 90° + 1 ÐC ；②当
2
ÐC = 60° 时，AF+BE＝AB；③若 OD＝a，AB＋BC＋CA＝2b，则 SV ABC＝ab ．其中正确的是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①③
【答案】C
【解析】
【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和定理可求解∠AOB 与∠C 的关系，进而判

定①；在 AB 上取一点 H，使 BH＝BE，证得△HBO≌△EBO，得到
ÐBOH＝ÐBOE＝60° ，

再证得△HAO≌△FAO ，得到 AF＝AH，进而判定②正确；作 OH⊥AC 于 H，OM⊥AB 于
M，根据角平分线的性质定理和三角形的面积可证得③正确．
【详解】∵∠BAC 和∠ABC 的平分线相交于点 O，
∴∠OBA＝ 1 ∠CBA，∠OAB＝ 1 ∠CAB，
2 2
∴∠AOB＝180°−∠OBA−∠OAB＝180°− 1 ∠CBA− 1 ∠CAB
2 2
＝180°− 1 （180°−∠C）＝ 90° ＋ 1 ∠C，故①正确；
2 2
2
∵∠C＝ 60°，由①知：∠AOB＝ 90° ＋ 1 ∠C，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AOF＝ 60°，
∴∠BOE＝ 60°，
如图，在 AB 上取一点 H，使 BH＝BE，
∵BF 是∠ABC 的角平分线，
∴∠HBO＝∠EBO，

在△HBO 和△EBO 中，
ì BH＝BE
í
ïÐHBO＝ÐEBO
î
ï BO＝BO

∴△HBO≌△EBO（SAS），
∴∠BOH＝∠BOE＝60°，
∴∠AOH＝120°− 60°− 60°＝ 60°，
∴∠AOH＝∠AOF，
∵AE 是∠BAC 的角平分线，
∴∠HAO＝∠FAO，
在△HAO 和△FAO 中，
ìÐHAO＝ÐFAO
í
ï AO＝AO
î
ïÐAOH＝ÐAOF
∴△HAO≌△FAO（ASA），
∴AF＝AH，
∴AB＝BH＋AH＝BE＋AF，故②正确； 作 OH⊥AC 于 H，OM⊥AB 于 M，

∵∠BAC 和∠ABC 的平分线相交于点 O，
∴OH＝OM＝OD＝a，
∵AB＋AC＋BC＝2b，
∴ S ＝ 1 ×AB×OM+ 1 ×AC×OH+ 1 ×BC×OD＝ 1 （AB+AC+BC）•a＝ab，

VABC 2 2 2 2
故③正确；
综上可知，①②③正确， 故选：C.
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形全等的性质和判定、角平分线的性质， 正确作出辅助线证得△HBO≌△EBO ，得到ÐBOH＝ÐBOE＝60° 是解决问题的关键． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）

11. 将数 0.0002022 用科学记数法表示为 ．
【答案】 2.022´ 10-4
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中 1⩽|a|<10，n为整数，确定n的 值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1 时，n是正数；当原数的绝对值<1 时，n是负数．
【详解】解： 0.0002022 = 2.022´ 10-4 ，
故答案为： 2.022´ 10-4
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其 中 1⩽|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12. 分解因式： xm - xn = ．
【答案】 x (m - n )

【解析】
【分析】先提取公因式 x，再分解因式即可．
【详解】解： xm - xn = x (m - n ) ， 故答案为： x (m - n ) ．
【点睛】本题考查的是提公因式分解因式，掌握“公因式的判断以及利用提公因式法分解因 式”是解本题的关键．
13. 如图一副直角三角板如图放置 AB / / EF ， ÐB = 30° ， ÐF = 45° ，则求
Ð1 = ．

【答案】75°
【解析】

【分析】先根据平行线的性质，可得∠BAF=∠F=45°，再利用三角形外角的性质，即可得 到答案．
【详解】解：∵ AB / / EF ，
∴∠BAF=∠F=45°，
∴∠1=∠B+∠BAF=30°+45°=75°．
故答案是：75°．
【点睛】本题主要考查平行线的性质以及三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质， 是解题的关键．
14. 若 a2 + b2 = 8 ， ab = 2 ，则(a - b)2 = ．
【答案】4
【解析】
【分析】根据(a - b)2 = a 2 + b2 - 2ab ，代入计算即可．
【详解】因为(a - b)2 = a 2 + b2 - 2ab ， a2 + b2 = 8 ， ab = 2 ， 所以(a - b)2 = 8 - 2 ´ 2 = 4 ，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键．
15. 如图，已知△ABC 为等边三角形，BD 为△ABC 的中线，延长 BC 至 E，使 CE＝CD， 连接 DE，则∠BDE ＝ 度．
【答案】120
【解析】
【分析】由△ABC 为等边三角形，可求出∠BDC＝90°，由△DCE 是等腰三角形求出∠CDE
＝∠CED＝30°，即可求出∠BDE 的度数．
【详解】解：∵△ABC 为等边三角形，BD 为中线，
∴∠BDC＝90°，∠ACB＝60°
∴∠ACE＝180°−∠ACB＝180°−60°＝120°，
∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠CED＝30°，
∴∠BDE＝∠BDC＋∠CDE＝90°＋30°＝120°， 故答案为：120°．

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是熟记等边三 角形的性质及等腰三角形的性质．
16. 如图，ÐAOB = 18° ，点 M、N 分别是边OA、OB 上的定点，点 P、Q 分别是边OB, OA
上的动点，记ÐMPQ = a， ÐPQN = b，当 MP + PQ + QN 最小时，则b-a= ．

【答案】36°##36 度
【解析】
【分析】如图，作 M 关于OB 的对称点 M ¢ ，点 N 关于OA 的对称点 N¢ ，连接 M ¢N ¢交OA 于 Q ， 交 OB 于 P ， 则 MP + PQ + QN 最小时， 易知 ÐOPM = ÐOPM ¢ = ÐNPQ ，
ÐOQP = ÐAQN ¢ = AQN ，根据三角形的外角性质和平角的定义即可得出结论．
【详解】解：如图所示，作 M 关于OB 的对称点 M ¢ ，点 N 关于OA 的对称点 N¢ ，连接 M ¢N ¢
交OA 于Q ，交OB 于 P ，

当 MP + PQ + QN 最小时，
\ ÐOPM = ÐOPM ¢ = ÐNPQ ， ÐOQP = ÐAQN ¢ = AQN ，
\ ÐQPN = 1 (180° -a) = ÐAOB + ÐMQP = 18° + 1 (180° - b) ，
2 2
\180° -a= 36° + (180° - b) ，
\ b-a= 36° ； 故答案为： 36° ．
【点睛】本题考查了轴对称－最短问题，三角形的内角和定理，三角形的外角性质等知识， 解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分）
17. 如图， AB = AD ， BC = CD ．求证： ÐB = ÐD ．

【答案】见解析
【解析】
【分析】根据SSS 判定△ABC≌△ADC ，然后根据全等三角形的性质求解即可．
【详解】证明：在VABC 和△ADC 中，
ì AB = AD
í
ïBC = DC ，
î
ï AC = AC
\△ABC≌△ADC (SSS) ，
\ÐB = ÐD ．
【点睛】本题考查三角形全等判定和性质，解题关键是掌握SSS 证明三角形全等．
18. 计算：
（1） (3x + 4)(2x -1) ；
（2）(15x2 y -10xy2 ) ¸ 5xy ．
【答案】（1） 6x2 + 5x - 4
（2） 3x - 2 y
【解析】
【分析】（1）按照多项式乘以多项式的法则进行运算即可；
（2）按照多项式除以单项式的法则进行运算即可．
【小问 1 详解】
解： (3x + 4)(2x -1)
= 6x2 - 3x + 8x - 4
= 6x2 + 5x - 4 ．
【小问 2 详解】
(15x2 y -10xy2 ) ¸ 5xy
= 15x2 y ¸ 5xy -10xy2 ¸ 5xy
= 3x - 2 y ．
【点睛】本题考查的是多项式乘以多项式，多项式除以单项式，掌握其运算法则进行准确的

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运算是解本题的关键．
19. 如图，在平面直角坐标系中，已知 A(3，3) ， B (1，1) ， C (4，-1) ．

（1） 画出VABC 关于 y 轴的轴对称图形△A1B1C1 ，并写出 A1 、 B1 、C1 坐标；
（2） 在（1）的条件下，连接 AA1 、 AB1 ，求出V AA1B1 的面积．
【答案】（1）图见解析， A1 (-3，3) ， B1 (-1，1) ， C1 (-4，-1) ；
（2） V AA1B1 的面积为 6．
【解析】
【分析】（1）直接利用关于 y 轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用三角形面积求法进而得出答案．
【小问 1 详解】
解：如图所示： △A1B1C1 即为所求，
A1 (-3，3) ， B1 (-1，1) ， C1 (-4，-1) ；
【小问 2 详解】
解： V AA B 的面积为： 1 ´ 6 ´ 2 = 6 ．

1 1 2

【点睛】此题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
20. 如图，在VABC 中， ÐA = 30° ， ÐB=60° ．

（1） 作ÐB 的平分线 BD ，交 AC 于点 D ．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）
（2） 设CD = 3 ，求 AC ．
【答案】（1）见解析 （2） AC = 9 ．
【解析】
【分析】（1）利用角平分线的作法得出即可；
（2）利用等腰三角形的判定和性质以及直角三角形的性质即可求解．
【小问 1 详解】
解：如图所示， BD 即为所作：

；

【小问 2 详解】
解：∵ ÐA = 30° ， ÐB=60° ，
∴ ÐC =90° ，
∵ BD 是ÐABC 的平分线，
∴ ÐDBA = ÐDBC = 30° ，
∴ ÐDBA = ÐA = 30°，
∴ AD = BD ，
∵ CD = 3 ，
∴ BD = 2CD = 6 ，
∴ AD = BD = 6 ，

∴ AC = AD + DC = 6 + 3 = 9 ，
∴ AC = 9 ．
【点睛】此题主要考查了角平分线的作法和性质以及等腰三角形的判定和性质、含 30 度角的直角三角形的性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．

21. 先化简，再求值 2 +
m -1
m2 - 4m + 4

m2 -1
m - 2
¸ ，其中 m＝－2
m +1

【答案】

【解析】
m 2
，
m -1 3

【分析】根据分式化简的运算法则，结合因式分解的公式法进行化简．
2 (m - 2)2 m +1 2 m - 2 m
【详解】解：原式= + ´ = + = ．
m -1 (m +1)(m -1) m - 2 m -1 m -1 m -1
-2 2
当m = -2 时，原式= -2 -1 = 3 ．
【点睛】此题主要考查分式的化简，平方差公式 a2 - b2 = (a + b)(a - b) ，完全平方公式
(a ± b)2 = a2 + b2 ± 2ab 的运用，熟记公式是解题关键．
22. 接种疫苗是预防新冠肺炎的一种有效办法，截至 2021 年 12 月 29 日，我国新冠疫苗接种总剂次约占全球总剂次的三分之一．某社区组织甲、乙两支医疗队开展疫苗接种工作，甲 队比乙队每小时多接种 20 人，甲队接种 2250 人与乙队接种 1800 人用时相同，问：甲队每小时接种多少人？
【答案】甲队每小时接种100 人．
【解析】
【分析】设甲队每小时接种 x 人，则乙队每小时接种(x - 20) 人，利用时间= 接种总人数¸ 该队每小时接种人数，结合甲队接种 2250 人与乙队接种1800 人用时相同，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】解：设甲队每小时接种 x 人，则乙队每小时接种(x - 20) 人，

依题意得： 2250 =

1800
，

x x - 20
解得： x = 100 ，
经检验， x = 100 是原方程的解，且符合题意． 答：甲队每小时接种100 人．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
23. 如图，VABC 中，AB = AC ．O 是VABC 内一点，OD 是 AB 的垂直平分线，OF ^ AC ，

OD = OF ．

（1） 当ÐDOF = 126° 时，求： ÐOBC 的度数；
（2） 判断VAOC 的形状，并证明．
【答案】（1） ÐOBC = 36°
（2） VAOC 为等腰三角形．证明见解析
【解析】
【分析】（1）接 AO ，并延长交 BC 于点 E，连接OB ，OC ，证明 AO 平分ÐDAF ，证明
∠ABC = ÐACB ，由三角形的内角和定理可得ÐOAD + ÐOAF = 54° ，即ÐBAC = 54°，
ÐOAD = 27° ， 可得 ÐABC = ÐACB = 1 (180° - 54° ) = 63° ， 证明 OA = OB ， 可得
2
ÐOAB = ÐABO = 27° ，从而可得结论；
（2）由（1）得： OA = OB ，证明OB = OC ，可得OA = OC ，从而可得结论．
【小问 1 详解】
解：连接 AO ，并延长交 BC 于点 E，连接OB ， OC ，

∵ OD ^ AB ， OF ^ AC ， OD = OF ，
∴ AO 平分ÐDAF ，
∴ ÐOAB = ÐOAC ，
∵ AB = AC ，
∴∠ABC = ÐACB ，
∵ ÐOAD + ÐADO + ÐAOD + ÐAOF + ÐAFO + ÐOAF = 360° ， ÐDOF = 126° ，
∴ ÐOAD + ÐOAF = 54°，即ÐBAC = 54°， ÐOAD = 27°，

∴ ÐABC = ÐACB = 1 (180° - 54° ) = 63° ，
2
∵ OD 是 AB 的垂直平分线，
∴ OA = OB ， ÐOAB = ÐABO = 27° ，
∴ ÐOBC = 63° - 27° = 36°；
【小问 2 详解】
VAOC 为等腰三角形．理由如下： 由（1）得： OA = OB ，
∵ AB = AC ， ÐOAB = ÐOAC ，
∴ AE ^ BC ， BE = CE ，
∴ AE 垂直平分线段 BC ，
∴ OB = OC ，
∴ OA = OC ，
∴ VAOC 为等腰三角形．
【点睛】本题考查的是角平分线的判定，三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的判定与 性质，线段的垂直平分线的性质，熟练的利用等腰三角形的三线合一进行证明是解本题的关 键．
24. 阅读材料：若 m2 - 2mn + 2n2 - 8n +16 = 0 ，求 m ， n 的值．
解：∵ m2 - 2mn + 2n2 - 8n +16 = 0 ，
∴(m2 - 2mn + n2 ) + (n2 - 8n +16) = 0 ．
∴ (m - n)2 + (n - 4)2 = 0 .
∴ (m - n)2 = 0 ， (n - 4)2 = 0 ，∴ n = 4 ， m = 4 ．根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知 a2 + 2b2 - 2ab + 4b + 4 = 0 ，求 ab 的值；
（2）已知VABC 的三边长 a ， b ， c 都是正整数，且满足a2 + b2 -8a -12b + 52 = 0 ，求
VABC 的最长边c 的值；
（3）已知 a - b = 8 ， ab + c 2 - 16c + 80 = 0 ，求 a + b + c 的值．
【答案】（1） ab 的值是 4；
（2） VABC 的最大边 c 的值可能是 6、7、8、9；
（3） a + b + c 的值是 8．
【解析】

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【分析】（1）应用因式分解的方法，得出(a - b)2 + (b + 2)2 = 0 ，求出 a、b 的值各是多少，再把它们相乘，求出 ab 的值是多少即可；
（2） 应用因式分解的方法，得出(a - 4)2 + (b - 6)2 = 0 ，求出 a、b 的值各是多少；然后根据三角形的三条边的长度的关系，求出VABC 的最大边 c 的值是多少即可；
（3） 应用因式分解的方法，得出(a - 4)2 + (c - 8)2 = 0 ，求出 a、c、b 的值各是多少；然
后把 a、b、c 的值求和，求出 a + b + c 的值是多少即可．
【小问 1 详解】
解：∵ a2 + 2b2 - 2ab + 4b + 4 = 0 ，
∴(a2 - 2ab + b2 ) + (b2 + 4b + 4) = 0 ，
∴ (a - b)2 + (b + 2)2 = 0 ，
∴ a - b = 0 ， b + 2 = 0 ，
∴ a = -2 ， b = -2 ，
∴ ab = (-2)´(-2) = 4 ， 即 ab 的值是 4；
【小问 2 详解】
解：∵ a2 + b2 -8a -12b + 52 = 0 ，
∴(a2 - 8a +16) + (b2 -12b + 36) = 0 ，
∴ (a - 4)2 + (b - 6)2 = 0 ，
∴ a - 4 = 0 ， b - 6 = 0 ，
∴ a = 4 ， b = 6 ，
∵ 6 - 4 < c < 6 + 4 ， c ³ 6 ，
∴ 6 £ c < 10 ，
∴ VABC 的最大边 c 的值可能是 6、7、8、9；
【小问 3 详解】
解：∵ a - b = 8 ， ab + c 2 - 16c + 80 = 0 ，
∴ a (a - 8) +16 + (c - 8)2 = 0 ，
∴ (a - 4)2 + (c - 8)2 = 0 ，
∴ a - 4 = 0 ， c - 8 = 0 ，
∴ a = 4 ， c = 8 ， b = a - 8 = 4 - 8 = -4 ，

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∴ a + b + c = 4 - 4 + 8 = 8 ， 即 a + b + c 的值是 8．
【点睛】此题主要考查了因式分解方法的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：用 因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的 一部分．还考查了三角形的三条边之间的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：任 意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边．
25 已知： VABC 中， ÐACB = 90° ， AC = BC ．
（1） 如图，点 D 在 BC 的延长线上，连 AD ，过 B 作 BE ^ AD 于 E ，交 AC 于点 F ．求证： AD = BF ；

（2） 如图，点 D 在线段 BC 上，连 AD ，过A 作 AE ^ AD ，且 AE = AD ，连 BE 交 AC
于 F ，连 DE ，问 BD 与CF 有何数量关系，并加以证明；

（3） 如图，点 D 在CB 延长线上， AE = AD 且 AE ^ AD ，连接 BE 与 AC 的延长线交于
DB

点 M ，若 AC = 4MC ，请直接写出

【答案】（1）证明见解析
（2） BD = 2CF ，证明见解析
（3） DB = 1 ．
的值．
BC

BC 2
【解析】
【分析】（1）欲证明 BF = AD ，只要证明△BCF≌△ACD 即可；

（2） 结论： BD = 2CF ．如图 2 中，作 EH ^ AC 于 H．只要证明△ACD≌△EHA ，推出
CD = AH ， EH = AC = BC ，由VEFH≌VBFC ，推出CH = CF 即可解决问题；
（3） 过 E 作 EH ^ AC 于 H．再利用（2）中结论即可解决问题；
【小问 1 详解】
证明：如图 1 中，
∵ BE ^ AD 于 E，
∴ ÐAEF = ÐBCF = 90°，
∵ ÐAFE