2025-2026 学年广州市五中八年级上学期12月数学月考试卷（含答案）.docx

2025 学年第一学期第 18 周初二级数学学科练习（问卷）
（本试卷 3 个大题，25 个小题。满分 150 分，考试时间 120 分钟。）
一、单选题（每题 4 分，共 40 分）
1. 下列图案中不．是．轴对称图形的是（ ）

A. B． C． D．

2. 下列长度地三条线段能组成三角形的是（ ）

A. 5、6、7 B．5、6、11 C．3、4、8 D．4a、4a、8a 3．如图，△ABC≌△BAD，A 和 B．C 和 D 分别是对应顶点，若 AB＝6cm，
AC＝5cm，BC＝4cm，则 AD 的长为 （ ）

A．6cm B．5cm C．4cm D．以上都不对

初二数学 第 4页，共 4页

xy
4. 如果把分式 x + y
中的 x ， y 同时变为原来的 4 倍，那么该分式的值（ ）

A. 不变 B．变为原来的 4 倍 C．变为原来的 1
2
D．变为原来的 1
4

5. 如图， 已知 AB = AE ， ÐB = ÐE ， 下列条件中不能判定△ABC ≌△AED 的是（ ）

A. BC = ED
C． AC = AD
B． ÐBAD = ÐEAC
D． ÐBAC = ÐEAD

6. 如图，在VABC 中， AD 是边 BC 上的中线，△ABD 的周长比V ACD 的周长多3cm ．若 AB = 10cm ，则 AC 的长为（ ）
A. 5cm B． 6cm C． 8cm D． 7cm

7. 下列运算不正确的是（ ）

A． -6a6b3 ¸ 2a3b2 = -3a3b
C． (-3ab3 )2 = 6a2b6


B． 2a2b × a3b2 = 2a5b3
D． (a2b3 - ab2 ) ¸ ab2 = ab -1

2
8. 若分式 x - 1 的值为 0，则 x 的值为（ ）．

x + 1
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1

9. 李明喜欢密码编译，在他的密码手册中，有这样一条信息：x - y ，a - b ，x2 - y2 ，4，x + y ，
a + b 分别对应下列六个字：国，爱，美，我，中，丽，现将4a (x2 - y 2 )- 4b (x2 - y 2 ) 因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）

A. 美丽中国 B．我爱中国 C．我爱美 D．我爱美丽10．如图，在Rt△ABC 中， ÐACB = 90° ， AC = 6 ， BC = 8 ， AB = 10 ．
如果点 D、E 分别为边 BC 、AB 上的动点，那么 AD + DE 的最小值是（ ）
A．8 B．9.6 C．10 D．10.8

二、填空题（每题 4 分，共 24 分）
11．人体中红细胞的直径约为 0.00007m，数据 0.00007 用科学记数法表示为 ．

12．计算：（1﹣π）0+（ 1 ）﹣1＝ ．

2

13. 如图，△ABC≌△ADE，点 E 在 BC 上，若∠C＝80°，则∠DEB＝ ⁰．
14. 已知点 M (1, -2) 关于 y 轴对称的点的坐标为 ．

15. 重心是一个物体受力的平衡点，在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为 S1 ， S2 ，重心分

别为 M
( x ，y ) ， M
( x ，y )，原图形的重心坐标为 M ( x，y) ，则有 x = x1S1 + x2 S2 ，

1 1 1
2 2 2
S + S

1 2
y = y1S1 + y2 S2 ．如图，若 AF = 2 ， AB = 5 ， BC = 6 ， CD = 2 ，以点 B 为坐标原点，“1”为
S1 + S2
一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“L”形的重心坐标为 ．

16.如图， ÐBAC = ÐABC = ÐADC = 45° ， ÐACD =a(0° <a< 90°)，连接 BD ．给出下列四个结论：
①当a= 20°时， ÐBCE = 70° ；
②当ÐDAC = 2ÐACD 时， BD 平分 AC ；
③点 P 为直线 DE 上一点，当 PA + PB 最小时， ÐCAP =a- 45° ；
④若CD = 9 ， V ACD 的面积为 18，则△BCD 的面积为 45 ；
2
其中正确的是 ．( 填写所有正确结论的序号)

三、解答题（共 9 大题，共 86 分）
17．（8 分）分解因式及解方程

(1)分解因式： 2a2 - 8


3 - x 1
(2)解方程： =

4 + x 2

18．（6 分）已知：如图， E ， F 为线段 AC 上两点，
ÐD = ÐB ， Ð1 = Ð2 ， AE = CF ． 求证： AD = CB ．

19．（6 分）先化简，再求值： (a + b)(a - b) - (a - b)2 ．其中a = 0.5 ， b = -2 ．

20．（8 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°．
）
（1） 尺规作图：作∠B 的平分线 BD 交 AC 于点 D；（不写作法，保留作图痕迹

（2） 若 DC＝2，求 AC 的长．

21．（10 分）先化简：(1 - 1
m -
m2 - 4m + 4
1
m
- m
) ¸ 2

，再从﹣1≤m≤2 中选取合适的整数代入求值．

22.（10 分）如图，每一个小正方形的边长为 m．

(1) 画出格点△ABC 关于直线 DE 对称的VA¢B¢C¢；
(2) 在 DE 上画出点 Q，使| QA - QB |的值最大，并说明理由．

23．（10 分）如图，在四边形 ABCD 中，AB = AD ，CB = CD ，点 E 为 AD 上一点，连接 BD ，
CE 交于点 F ， CE ∥ AB ．
(1) 若△ABD 为等边三角形，请判断VDEF 的形状，并说明理由：
(2) 在（1）的条件下，若 AD = 12 ， CE = 9 ，求CF 的长．

24.（14 分）阅读材料：对于非零实数 a，b，若关于 x 的分式
( x - a)( x - b)

x

的值为零，则解

得 x1＝a，x2＝b．又因为
(x - a)(x - b)
x 2 - (a + b)x + ab ab
= = x+ ﹣（a+b），所以关于 x 的

x x x
方程：x+ ab ＝a+b 的解为 x1＝a，x2＝b．
x

(1) 理解应用：方程
x2 + 2 2
= 3 + 的解为：x1＝ ，x2＝ ；

x 3
(2) 知识迁移：若关于 x 的方程 x+ 3 ＝5 的解为 x1＝a，x2＝b，求 a2+b2 的值；
x

(3) 拓展提升：若关于 x 的方程 4
x -1
＝k﹣x 的解为 x1＝t+1，x2＝t2+2，求 k2﹣4k+2t3 的值．

25．（14 分）已知△ABC 为等边三角形，边长为 8，点 D，E 分别是边 AB，BC 上的动点，以 DE 为边作等边三角形 DEF．

(1) 如图 1，若点 F 落在边 AC 上．

①求证：AD＝BE；

②当△BDE 为直角三角形时，求 BE 的长．

(2) 如图 2，当 AD＝2BE 时，点 G 为 BC 边的中点，求 GF 的最小值．

《2025 学年第一学期第 18 周初二级数学练习》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
C
B
C
D
C
B
B
B

1．C

【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．

【详解】解：A．是轴对称图形，故此选项不合题意；

B. 是轴对称图形，故此选项不合题意； C．不是轴对称图形，故此选项符合题意； D．是轴对称图形，故此选项不合题意． 故选：C．
【点睛】本题考查轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够 互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
2．A

【分析】根据三角形的三边关系进行分析判断．

【详解】解：A、5＋6＝11＞7，能组成三角形，故 A 正确；

B、5＋6＝11，不能组成三角形，故 B 错误；

C、3＋4＝7＜8，不能组成三角形，故 C 错误； D、4a+4a=8a，不能够组成三角形，故 D 错误． 故选：A．
【点睛】本题主要考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最 长的那条线段就能够组成三角形．
3．C

【分析】由已知可知 AD 和 BC 是对应边，根据全等三角形的对应边相等即可求解．

【详解】解：∵△ABC≌△BAD，A 和 B，C 和 D 分别是对应顶点，

∴BC 与 AD 是对应边，

∴AD=BC=4cm． 故选 C．
【点睛】本题考查全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，根据已知条件正确确定对 应边是解题的关键．
4．B

答案第 9页，共 16页

【分析】此题主要考查了分式的基本性质，正确化简分式是解题关键．直接利用分式的性质 化简得出答案．
【详解】解：把分式中的 x 和 y 都扩大为原来的 4 倍，

4x × 4 y
则原式可变为：
= 16xy = 4xy ，

4x + 4 y
4( x + y) x + y

故分式的值扩大为原来的 4 倍． 故选：B．
5．C
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据题意有一组边和一组角对应相等，结 合全等三角形的判定定理（ SSS，SAS，AAS，ASA，HL ）逐一判断即可．
【详解】解：添加条件 BC = ED ，结合条件 AB = AE ， ÐB = ÐE ，可以利用SAS 证明
△ABC ≌△AED ，故 A 不符合题意；
添加条件ÐBAD = ÐEAC ，则ÐBAD + ÐCAD = ÐEAC + ÐCAD ，即ÐBAC = ÐEAD ，结合条件
AB = AE ， ÐB = ÐE ，可以利用ASA 证明△ABC ≌△AED ，故 B 不符合题意；
添加条件 AC = AD ，结合条件 AB = AE ，ÐB = ÐE ，不可以利用SSA 证明△ABC ≌△AED ， 故 C 符合题意；
添加条件ÐBAC = ÐEAD ，结合条件 AB = AE ， ÐB = ÐE ，可以利用ASA 证明
△ABC ≌△AED ，故 D 不符合题意； 故选：C．
6．D
【分析】本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形 的中线．根据三角形的中线的概念得到 BD＝DC，再根据三角形周长公式计算即可．
【详解】解：∵ AD 是边 BC 上的中线，
∴ BD = DC ，
∵△ABD 的周长比V ACD 的周长多3cm ，
∴ ( AB + AD + BD ) - ( AC + AD + CD ) = AB - AC = 3cm ，
∵ AB = 10cm ，
∴ AC = 7cm ， 故选：D． 7．C

【分析】本题考查单项式除以单项式、单项式乘以单项式、积的乘方、幂的乘方及多项式除 以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键．根据单项式除以单项式、单项式乘以单项式、积 的乘方、幂的乘方及多项式除以单项式的运算法则逐一判断即可得答案．
【详解】解：A． -6a6b3 ¸ 2a3b2 = -3a3b ，故该选项计算正确，不符合题意，
B. 2a2b × a3b2 = 2a5b3 ，故该选项计算正确，不符合题意，
C. (-3ab3 )2 = 9a2b6 ，故该选项计算错误，符合题意，
D. (a2b3 - ab2 ) ¸ ab2 = ab -1 ，故该选项计算正确，不符合题意．故选：C．
8．B

【分析】根据分式值为 0 的条件，分子为 0 分母不为 0,列式进行计算即可得.
x2 -1

【详解】解：∵分式

ìx2 -1 = 0
x +1
的值为零，

î
∴ íx +1 ¹ 0 ，

解得：x=1， 故选 B．
【点睛】本题考查了分式值为 0 的条件，熟知分式值为 0 的条件是分子为 0 分母不为 0 是解题的关键.
9．B
【分析】本题考查因式分解的应用．
先提取公因式4 (x2 - y2 ) ，再提根据完全平方公式分解因式，再根据对应的汉字判断即可．
【详解】解： 4a (x2 - y2 ) - 4b (x2 - y2 )
= 4 (a - b)(x2 - y2 )
= 4(a - b)( x + y)( x - y) ，
∵ 4 对应“我”， a - b 对应“爱”， x + y 对应“中”， x - y 对应“国”，
∴组合结果只有 B“我爱中国”符合， 故选：B．
10．B

【分析】如图所示，作点 A 关于 BC 的对称点 A¢ ，作 A¢ E ^ AB 点 E，交 BC 于点 D，连接CA¢ 、BA¢ ，则 AD = A¢D ，故 AD + DE = A¢D + DE ，由此推出当 A¢ 、D、E 三点共线时，AD + DE = A¢E ， AD + DE 最小值即为 A¢E 的长，当 A¢ E ^ AB 时， A¢E 最小，根据三角形的面积即可求得 A¢E
的最小值．
【详解】解：作点 A 关于 BC 的对称点 A¢ ，作 A¢ E ^ AB 点 E，交 BC 于点 D，连接CA¢ 、BA¢ ， 如图：

则 AD = A¢D ，
∴ AD + DE = A¢D + DE ³ AE ． 即 AD + DE 的最小值为 A¢E ．
∵ ÐACB = 90° ， AC = 6 ， BC = 8 ， AB = 10 ，
∴ AA¢ = 12 ，

∵ SV AA¢B
= 1 AA¢× BC = 1 AB × A¢E ，
2 2

∴ A¢E = AA¢× BC = 12 ´ 8 = 9.6 ，
AB 10
即 AD + DE 的最小值为 9.6． 故选：B．
【点睛】此题考查了利用轴对称解决最短路径问题，垂线段的性质，根据三角形的面积求高 等，熟练掌握以上性质是解本题的关键．
11．7×10-5.
【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定．由此即可解答.
【详解】数据 0.00007 用科学记数法表示为: 0.00007=7×10-5.
故答案为 7×10-5.
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a×10-n，其中 1≤|a|＜10，n 为由

原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定．

12．3
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．

【详解】解：原式＝1+2＝3， 故答案为：3
【点睛】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的 关键．
13．20°
【分析】根据全等三角形的性质：对应角和对应边相等解答即可．

【详解】解：∵△ABC≌△ADE，

∴∠C＝∠AED＝80°，AC＝AE，

∴∠AEC＝∠C＝80°，

∴∠DEB＝180°−80°−80°＝20°，

故答案为 20°．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．

14． (-1, -2)
【分析】本题考查了关于 y 轴对称的点的坐标特征∶纵坐标相同，横坐标互为相反数． 根据关于 y 轴对称的点的坐标特征∶纵坐标相同，横坐标互为相反数，即可得到答案．
【详解】解：点 M (1, -2) 关于 y 轴对称的点的坐标为(-1, -2) ， 故答案为： (-1, -2) ．
ç 3 6 ÷
15． æ 7 ,11ö
è ø
【分析】本题主要考查图形与坐标，解题的关键是理解题意；由题意先画出平面直角坐标系， 然后根据题意可得点 A(0, 5), G (2, 0), B (0, 0), D (6, 2) ， S1 = S矩形ABGF = AB × BG = 10 ，
æ 5 ö
è ø
S2 = S矩形EGCD = GC × CD = (6 - 2)´ 2 = 8 ，进而根据中点坐标公式可得 M1 ç1, 2 ÷ ， M 2 (4,1) ，
最后代入题中所给重心坐标公式可进行求解．

【详解】解：所建平面直角坐标系如图所示：

∵ AF = 2 ， AB = 5 ， BC = 6 ， CD = 2 ，
∴ A(0, 5), G (2, 0), B (0, 0), D (6, 2) ， S1 = S矩形ABGF = AB × BG = 10 ，
S2 = S矩形EGCD = GC × CD = (6 - 2)´ 2 = 8 ，

∵ AG, BF 是矩形 ABGF 的对角线，且交于一点 M1 ，

∴点 M1 是 AG 的中点，
æ 0 + 2 5 + 0 ö


æ 5 ö

∴根据中点坐标公式可得 M1 ç
2 , 2 ÷ ，即 M1 ç1, 2 ÷ ，

同理可得 M 2 (4,1) ，
è ø è ø

x S + x S 1´10 + 4´ 8 7
5 ´10 +1´ 8

∴ x = 1 1 2 2 = =

， y = y1S1 + y2 S2 =

2 = 11 ，

S1 + S2
10 +8 3
S + S
10+ 8 6

1 2

ç 3 6 ÷
∴此“L”形的重心坐标为æ 7 , 11 ö ；
è ø
ç 3 6 ÷
故答案为æ 7 , 11 ö ．
è ø
16．①②④

【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质．①根据已知条件得到ÐACB = 90° ，根据平角定义得到ÐBCE = 70° ，故①正确；
②设 AC，BD 交于 O，过 A 作 AH ^ CD 于 H，得到ÐDAC = 2ÐACD = 2a，求得
ÐCAH = 2a- 45° ，由ÐACH + ÐCAH = 90° ，得到2a- 45 +a= 90°，求得a= 45°，求得
ÐADC = ÐDAC = 45° ，根据全等三角形的性质得到 AO = CO ，求得 BD 平分 AC ；故②正确；
③作点 A 关于 DE 的对称点 F，连接 FB 交 DE 于 P，此时 PA + PB 的值最小，如图，假设
ÐAPD = 45° ，得到ÐCAP = 45° -a，故ÐCAP 不一定a- 45° ，故③错误；④如图，过 A 作
AH ^ CD 于 H，根据三角形的面积公式得到 AH = 2´18 = 4 ，求得 AH = DH = 4 ，得到
9
CH = CD - DH = 5 ，根据全等三角形的性质得到 BM = CH = 5 ，根据三角形的面积公式得

到△BCD 的面积为 1 CD × BM = 1 ´ 9´ 5 = 45 ，故④正确．
2 2 2
【详解】解：①当a= 20°时，即ÐACD = 20° ，
∵ ÐBAC = ÐABC = 45°，

\ÐACB = 90°，

∴ ÐBCE = 180° - ÐACD - ÐACB = 70°，故①正确；
②设 AC，BD 交于 O，过 A 作 AH ^ CD 于 H，
∵ ÐACD =a，
∴ ÐDAC = 2ÐACD = 2a，
QÐADC = 45° ，
∴ ÐDAH = 45° ，
∴ ÐCAH = 2a- 45° ，
∵ ÐACH + ÐCAH = 90° ，
∴ 2a- 45 +a= 90°，
\a= 45° ，
∴ ÐADC = ÐDAC = 45° ，
∴ ÐDAC = ÐACB =90 °，

∴ AD = AC = CB ，
∵ ÐAOD = ÐCOB ，
\VAOD≌VCOB (AAS)

\ AO = CO ，
\BD 平分 AC ；故②正确；
③作点 A 关于 DE 的对称点 F，连接 FB 交 DE 于 P，

此时 PA + PB 的值最小， 如图，假设ÐAPD = 45° ，
∴ ÐCAP = 45° -a，故ÐCAP 不一定a- 45° ，故③错误；
④如图，过 A 作 AH ^ CD 于 H，

QCD = 9 ， V ACD 的面积为 18，

∴ AH = 2´18 = 4 ，
9
∵ ÐADH = 45° ，
∴ AH = DH = 4 ，
∴ CH = CD - DH = 5 ，
∵ ÐAHC = ÐACB = ÐBMC = 90° ，
∴ ÐACH + ÐBCM = ÐBCM + ÐCBM = 90° ，
∴ ÐACH = ÐCBM ，
Q AC = BC ，
\VACH≌VCBM (AAS) ，
∴ BM = CH = 5 ，
\△BCD 的面积为 1 CD × BM = 1 ´ 9´ 5 = 45 ，故④正确．
2 2 2
故答案为：①②④．

17．(1) 2(a + 2)(a - 2)
(2) x = 2
3
【分析】本题考查了因式分解，解分式方程，熟练掌握平方差公式分解因式和分式方程的解 法是解题的关键．
（1） 先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可；

（2） 本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．方程两边同乘以
2(4 + x) 化成整式方程，再解一元一次方程，然后进行检验即可得．
【详解】（1）解：原式= 2 (a2 - 4) = 2(a + 2)(a - 2) ； 4 分

3 - x 1
（2）解： 4 + x = 2 ，
方程两边同乘以2(4 + x) ，得2 (3 - x) = 4 + x ， 去括号，得6 - 2x = 4 + x ，
移项，得-2x - x = 4 - 6 ，
合并同类项，得-3x = -2 ，
系数化为 1，得 x = 2 ，
3
经检验， x = 2 是分式方程的解，
3
所以方程的解为 x = 2 ． 4 分
3
18．见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，由AAS 判定△ADF ≌△CBE ，由全等三角形的性质，即可得证；掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
【详解】证明：Q AE = CF ，
\ AE + EF = CF + EF ，
即 AF = CE ， 2 分
在△ADF 与△CBE 中，
ìÐD = ÐB
í
ï Ð1 = Ð2 ，
î
ï AF = CE

\VADF ≌VCBE （ AAS ）， 3 分
\ AD = CB ． 1 分
19． 2ab - 2b2 ， -10

【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．先利用平方差公式 和完全平方公式，再合并同类项即可化简，最后代入求值即可．
【详解】解：原式= a2 - b2 - (a2 - 2ab + b2 )

= a2 - b2 - a2 + 2ab - b2
= 2ab - 2b2 4 分当a = 0.5 ， b = -2 时，

原式= 2 ´ 0.5 ´( -2) - 2 ´( -2)2
= -2 - 8 = -10． 2 分

20．（1）如图射线 BD 即为所求；见解析；（2）AC＝6．

【分析】（1）利用尺规作出∠ABC 的平分线交 AC 于点 D；

（2）只要证明 BD＝AD，求出 BD 即可解决问题.

【详解】（1）如图射线 BD 即为所求；

3 分

（2）∵∠C＝90°，∠A＝30°，

∴∠ABC＝60°，

∵BD 平分∠ABC，

∴∠A＝∠ABD＝∠DBC＝30°， 2 分

∴BD＝2CD＝4， 2 分

∴AD＝4，

∴AC＝AD+CD＝4+2＝6． 1 分
【点睛】本题考查基本作图，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键 是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

答案第 16页，共 16页

21．
m

m - 2
，原式＝ 1 .
3

【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．

【详解】原式＝ m-2 × m (m -1)

m
＝ m - 2 ，
m -1
(m - 2)2

6 分

根据分式有意义的条件可知：m＝﹣1， 2 分
∴原式＝ 1 2 分
3
【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．

22.(1)见解析 (2)见解析

【分析】（1）先找到 A、B、C 的对应点 A¢、B¢、C¢ ，然后顺次连接 A¢、B¢、C¢ 即得到答案；
（2）如图所示，延长 AB 交 DE 于Q¢ ，连接 AQ、BQ ，根据三角形三边的关系可证

QA - QB £ AB ，据此求解即可．

【详解】（1）解：如图所示， VA¢B¢C¢即为所求； 4 分

（2）解：如图所示，延长 AB 交 DE 于Q¢ ，连接 AQ、BQ ， 当点 Q 不与Q¢ 重合时， A、B、Q 三点能组成三角形，
∴ QA - QB < AB ，

又∵当点 Q 与Q¢ 重合时， QA - QB = QA - QB = AB ，

∴ QA - QB £ AB ，

∴当点 Q 与Q¢ 重合时， QA - QB 的值最大．

6 分

【点睛】本题主要考查了画轴对称图形，三角形三边关系的应用，灵活运用所学知识是解题 的关键．
23．(1)等边三角形，理由见解析

(2) 6
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定、等腰三角形的“三 线合一”等知识点，熟记相关几何结论即可．
（1） 由题意得ÐA = ÐABD = ÐADB = 60° ，根据CE ∥ AB 推出ÐDEF = ÐA = 60° ，即可求证；

（2） 连接 AC ，可推出 AC 垂直平分 BD 得ÐBAC = ÐDAC ；进而得ÐECA = ÐDAC ，
AE = CE = 9 ， DE = AD - AE = 3 ，即可求解；
【详解】（1）解： VDEF 是等边三角形，理由如下：
∵△ABD 为等边三角形，
∴ ÐA = ÐABD = ÐADB = 60° ，
∵ CE ∥ AB ．
∴ ÐDEF = ÐA = 60° ，即ÐDEF = ÐEDF = 60° ，
∴ VDEF 是等边三角形， 3 分
（2）解：连接 AC ，如图所示：
∵ AB = AD ， CB = CD ，
∴ AC 垂直平分 BD ，
∴ ÐBAC = ÐDAC ，
∵ CE ∥ AB ．
∴ ÐBAC = ÐECA ，
∴ ÐECA = ÐDAC ，
∴ AE = CE = 9 ，
∵ AD = 12 ，
∴ DE = AD - AE = 3 ，
∵ VDEF 是等边三角形，
∴ EF = DE = 3 ，
∴ CF = CE - EF = 6 7 分
24．(1)3， 2 ；
3
(2)19；

(3)12．

【分析】（1）根据题意可得 x=3 或 x= 2 ；
3
（2） 由题意可得 a+b=5，ab=3，再由完全平方公式可得 a2+b2=（a+b）2-2ab=19；

（3） 方程变形为 x-1+ 4
x -1

=k-1，则方程的解为 x-1=t 或 x-1=t2+1，则有（t

t2+1）=4，t+t2+1=k-1，

整理得 k=t+t2+2，t3+t=4，再将所求代数式化为 k2-4k+2t3=t（t3+t）+4t3-4=4（t3+t）-4=12．
【详解】（1）解：∵x+ ab =a+b 的解为 x1=a，x2=b，
x
∴�2+2 = � + 2 = 3 + 2的解为 x=3 或 x= 2 ，

� � 3 3
故答案为：3， 2 ； 2 分
3
（2）解：∵ 3 ，
x+ x =5
∴a+b=5，ab=3，

∴a2+b2=（a+b）2-2ab=25-6=19； 5 分

（3）解： 4
x -1
=k-x 可化为 x-1+ 4
x -1

=k-1，

∵方程 4
x -1

=k-x 的解为 x1=t+1，x2=t2+2，

则有 x-1=t 或 x-1=t2+1，
∴t（t2+1）=4，t+t2+1=k-1，
∴k=t+t2+2，t3+t=4，
k2-4k+2t3
=k（k-4）+2t3
=（t+t2+2）（t+t2-2）+2t3
=t4+4t3+t2-4
=t（t3+t）+4t3-4
=4t+4t3-4
=4（t3+t）-4
=4×4-4

=12． 7 分
【点睛】本题考查了分式方程的解，理解题意，灵活求分式方程的解，并结合完全平方公式 对代数式求值是解题的关键．

25．(1)①证明见解析；②BE＝ 8 或16 ；
3 3
(2)2

【分析】（1）①证明△ADF≌△BED，从而命题得证；②当∠BED＝90°时，此时 BD＝2BE， 进而求得 BE，当∠BDE＝90°时，此时 BE＝2BD，同样求得此时的 BE．
（2）在 BC 上截取 BH＝BD，连接 DH，证明△BDE≌△FEH，推出∠CH60°，CH＝2FH， 再证明 CF 平分∠ACB，得出点 F 的轨迹，进一步求得 GF 的最小值．
【详解】（1）①证明：∵△ABC 是等边三角形，△DEF 是等边三角形，

∴∠A＝∠B＝60°，DF＝DE，∠EDF＝60°，

∴∠ADF+∠AFD＝180°﹣∠A＝120°，

∠ADF+∠BDE＝180°﹣∠EDF＝120°，

∴∠AFD＝∠BDE，

∴△ADF≌△BED（AAS），

∴AD＝BE； 2 分

②解：

当∠BED＝90°时，

由（1）得：△ADF≌△BED，

∴AD＝BE，

∴BD＝AB﹣AD＝8﹣BE，

∵∠B＝60°，

∴∠BDE＝90°﹣∠B＝30°，

∴BD＝2BE，

∴8﹣BE＝2BE，

∴BE＝ 8 ；
3
如图 2，

当∠BDE＝90°时，

∵BD＝8﹣AD＝8﹣BE，∠BED＝30°，

∴BE＝2BD，

∴BE＝2•（8﹣BE），
16
∴BE＝ 3 ，

综上所述：BE＝ 8
3
16
或 3 ； 6 分

（2）（3）如图 3，

设 AD＝2x，BE＝x，

∴BD＝AB﹣AD＝8﹣2x，

在 BC 上截取 BH＝BD，连接 DH，

∵∠B＝60°，

∴△BDH 是等边三角形，

∴∠BDH＝60°，DH＝BD，

∵△DEF 是等边三角形，

∴DE＝DF，∠EDF＝60°，

∴∠BDH＝∠EDF，

∴∠BDH﹣∠EDH＝∠EDF﹣∠EDH， 即：∠BDE＝∠HDF，
∴△BDE≌△HDF（SAS），

∴BH＝BD＝8﹣2x，FH＝BE＝x，∠DHF＝∠B＝60°，

∴CH＝BC﹣BH＝8﹣（8﹣2x）＝2x，∠FHC＝180°﹣∠BHD﹣∠DHF＝60°， 作射线 CF，
如图 4，

在△CFH 中，CH＝2x，FH＝x，∠FHC＝60°， 取 CH 的中点 M，连接 FM，
∴HM＝CM＝ 1 HC = x ，
2
∴HF＝HM，

∴△FHM 是等边三角形，

∴FM＝HM＝CM＝x，∠FMH＝60°，

∴∠FCM＝∠CFM，

∵∠FMH＝∠FCM+∠CFM，

∴2∠FCM＝60°，

∴∠FCM＝30°，

∴CF 是∠ACB 的平分线，

即：F 点在∠ACB 的角平分线上运动， 作 GF′⊥CF 于 F′，此时，GF 最小；
∵G 是 BC 的中点，
∴CG＝ 1 BC ＝4，
2
∴GF′＝ 1 CG ＝2．
2
故 GF 的最小值为 2． 6 分

【点睛】本题考查了等边三角形性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识， 解决问题的关键是构造全等，找到 F 的运动轨迹．