备战中考数学复习二次函数专项综合练.doc

备战中考数学复习二次函数专题综合练

一、二次函数
1．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线顶点坐标为（2，0），且通过点（4，1），如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．
（1）求抛物线解析式；
（2）在l上与否存在一点P，使PA+PB获得最小值？若存在，求出点P坐标；若不存在，请阐明理由．
（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l距离与点M到点F距离总是相等，求定点F坐标．

【答案】（1）抛物线解析式为y=x2﹣x+1．（2）点P坐标为（，﹣1）．（3）定点F坐标为（2，1）．
【解析】
分析：（1）由抛物线顶点坐标为（2，0），可设抛物线解析式为y=a（x-2）2，由抛物线过点（4，1），运用待定系数法即可求出抛物线解析式；
（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B坐标，作点B有关直线l对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB获得最小值，根据点B坐标可得出点B′坐标，根据点A、B′坐标运用待定系数法可求出直线AB′解析式，再运用一次函数图象上点坐标特征即可求出点P坐标；
（3）由点M到直线l距离与点M到点F距离总是相等结合二次函数图象上点坐标特征，即可得出（1--y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，由m任意性可得出有关x0、y0方程组，解之即可求出顶点F坐标．
详解：（1）∵抛物线顶点坐标为（2，0），
设抛物线解析式为y=a（x-2）2．
∵该抛物线通过点（4，1），
∴1=4a，解得：a=，
∴抛物线解析式为y=（x-2）2=x2-x+1．
（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得：
，解得：，，
∴点A坐标为（1，），点B坐标为（4，1）．
作点B有关直线l对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB获得最小值（如图1所示）．

∵点B（4，1），直线l为y=-1，
∴点B′坐标为（4，-3）．
设直线AB′解析式为y=kx+b（k≠0），
将A（1，）、B′（4，-3）代入y=kx+b，得：
，解得：，
∴直线AB′解析式为y=-x+，
当y=-1时，有-x+=-1，
解得：x=，
∴点P坐标为（，-1）．
（3）∵点M到直线l距离与点M到点F距离总是相等，
∴（m-x0）2+（n-y0）2=（n+1）2，
∴m2-2x0m+x02-2y0n+y02=2n+1．
∵M（m，n）为抛物线上一动点，
∴n=m2-m+1，
∴m2-2x0m+x02-2y0（m2-m+1）+y02=2（m2-m+1）+1，
整理得：（1--y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0．
∵m为任意值，
∴，
∴，
∴定点F坐标为（2，1）．
点睛：本题考察了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点坐标特征、轴对称中最短途径问题以及解方程组，解题关键是：（1）根据点坐标，运用待定系数法求出二次函数解析式；（2）运用两点之间线段最短找出点P位置；（3）根据点M到直线l距离与点M到点F距离总是相等结合二次函数图象上点坐标特征，找出有关x0、y0方程组．

2．已知抛物线.
（1）若该抛物线与x轴有公共点，求c取值范围；
（Ⅱ）设该抛物线与直线交于M，N两点，若，求C值；
（Ⅲ）点P，点Q是抛物线上位于第一象限不一样两点，都垂直于x轴，垂足分别为A，B，若，求c取值范围.
【答案】（I）；（Ⅱ）；（Ⅲ）c取值范围是
【解析】
【分析】
(1) 抛物线与x轴有公共点，则鉴别式为非负数，列不等式求解即可;
(2)求出二次函数与直线交点，并根据勾股定理求出MN长度，列方程即可求解;
(3)由可知，P,Q两点坐标特点，设坐标得到设点P坐标为，则点Q坐标为，代入二次函数，得到n,m关系，则只需保证该方程有正根即可求解.
【详解】
解：（I）∵抛物线与x轴有交点，
∴一元二次方程有实根。
，即.解得
（Ⅱ）根据题意，设
由，消去y，得 ①.
由，得.
∴方程①解为

，解得
（Ⅲ）设点P坐标为，则点Q坐标为，且，
，两式相减，得，即
，即
，其中
由，即，得.
当时，，不合题意。
又，得.
∴c取值范围是
【点睛】
本题重要考察是二次函数综合应用，解答本题重要应用了待定系数法求二次解析式，数形结合思想应用及待定系数法应用是解题关键，属于中考压轴题．

3．如图①，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax2+bx+3通过点A(-1，0) 、B(3，0) 两点，且与y轴交于点C
.
（1）求抛物线体现式；
（2）如图②，用宽为4个单位长度直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺左右两边所在直线与抛物线相交于P、 Q两点（点P在点Q左侧），连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ.
①若点P横坐标为，求△DPQ面积最大值，并求此时点D 坐标；
②直尺在平移过程中，△DPQ面积与否有最大值？若有，求出面积最大值；若没有，请阐明理由.
【答案】（1）抛物线y=-x2+2x+3；（2）①点D（ ）；②△PQD面积最大值为8
【解析】
分析：（1）根据点A、B坐标，运用待定系数法即可求出抛物线体现式；
（2）（I）由点P横坐标可得出点P、Q坐标，运用待定系数法可求出直线PQ体现式，过点D作DE∥y轴交直线PQ于点E，设点D坐标为（x，-x2+2x+3），则点E坐标为（x，-x+），进而即可得出DE长度，运用三角形面积公式可得出S△DPQ=-2x2+6x+，再运用二次函数性质即可处理最值问题；
（II）假设存在，设点P横坐标为t，则点Q横坐标为4+t，进而可得出点P、Q坐标，运用待定系数法可求出直线PQ体现式，设点D坐标为（x，-x2+2x+3），则点E坐标为（x，-2（t+1）x+t2+4t+3），进而即可得出DE长度，运用三角形面积公式可得出S△DPQ=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t，再运用二次函数性质即可处理最值问题．
详解：（1）将A（-1，0）、B（3，0）代入y=ax2+bx+3，得：
，解得：，
∴抛物线体现式为y=-x2+2x+3．
（2）（I）当点P横坐标为-时，点Q横坐标为，
∴此时点P坐标为（-，），点Q坐标为（，-）．
设直线PQ体现式为y=mx+n，
将P（-，）、Q（，-）代入y=mx+n，得：
，解得：，
∴直线PQ体现式为y=-x+．
如图②，过点D作DE∥y轴交直线PQ于点E，

设点D坐标为（x，-x2+2x+3），则点E坐标为（x，-x+），
∴DE=-x2+2x+3-（-x+）=-x2+3x+，
∴S△DPQ=DE•（xQ-xP）=-2x2+6x+=-2（x-）2+8．
∵-2＜0，
∴当x=时，△DPQ面积取最大值，最大值为8，此时点D坐标为（，）．
（II）假设存在，设点P横坐标为t，则点Q横坐标为4+t，
∴点P坐标为（t，-t2+2t+3），点Q坐标为（4+t，-（4+t）2+2（4+t）+3），
运用待定系数法易知，直线PQ体现式为y=-2（t+1）x+t2+4t+3．
设点D坐标为（x，-x2+2x+3），则点E坐标为（x，-2（t+1）x+t2+4t+3），
∴DE=-x2+2x+3-[-2（t+1）x+t2+4t+3]=-x2+2（t+2）x-t2-4t，
∴S△DPQ=DE•（xQ-xP）=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t=-2[x-（t+2）]2+8．
∵-2＜0，
∴当x=t+2时，△DPQ面积取最大值，最大值为8．
∴假设成立，即直尺在平移过程中，△DPQ面积有最大值，面积最大值为8．
点睛：本题考察了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点坐标特征、三角形面积以及二次函数最值，解题关键是：（1）根据点坐标，运用待定系数法求出二次函数体现式；（2）（I）运用三角形面积公式找出S△DPQ=-2x2+6x+；（II）运用三角形面积公式找出S△DPQ=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t．

4．红星企业生产某种时令商品每件成本为20元，通过市场调研发现，这种商品在未来40天内 日销售量(件)与时间(天)关系如下表：
时间(天)
1
3
6
10
36
…
日销售量(件)
94
90
84
76
24
…

未来40天内，前20天每天价格y1(元/件)与t时间(天)函数关系式为：y1=t+25(1≤t≤20且t为整数)；后20天每天价格y2(原/件)与t时间(天)函数关系式为：y2=—t+40(21≤t≤40且t为整数).下面我们来研究 这种商品有关问题.
(1)认真分析上表中数量关系，运用学过一次函数、二次函数 、反比例函数知识确定一种满足这些数据之间函数关系式；
(2)请预测未来40天中那一天销售利润最大，最大日销售利润是多少？
(3)在实际销售前20天中该企业决定每销售一件商品就捐赠a元利润(a＜4)给但愿工程，企业通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后日销售利润随时间t增大而增大，求a取值范围.
【答案】（1）y=﹣2t+96；（2）当t=14时，利润最大，最大利润是578元；（3）3≤a＜4．
【解析】
分析：（1）通过观测表格中数据日销售量与时间t是均匀减少，因此确定m与t是一次函数关系，运用待定系数法即可求出函数关系式；
（2）根据日销售量、每天价格及时间t可以列出销售利润W有关t二次函数，然后运用二次函数性质即可求出哪一天日销售利润最大，最大日销售利润是多少；
（3）列式表达前20天中每天扣除捐赠后日销售利润，根据函数性质求出a取值范围 ．
详解：（1）设数m=kt+b，有,解得
∴m=-2t+96，经检查，其他点坐标均适合以上
析式故所求函数解析式为m=-2t+96．
（2）设日销售利润为P，
由P=（-2t+96）=t2-88t+1920=（t-44）2-16，
∵21≤t≤40且对称轴为t=44，
∴函数P在21≤t≤40上随t增大而减小，
∴当t=21时，P有最大值为（21-44）2-16=529-16=513（元），
答：来40天中后20天，第2天日销售利润最大，最大日销售利润是513元.
（3）P1=（-2t+96）
=-+（14+2a）t+480-96n，
∴对称轴为t=14+2a，
∵1≤t≤20，
∴14+2a≥20得a≥3时，P1随t增大而增大，
又∵a＜4，
∴3≤a＜4．
点睛：解答本题关键是要分析题意根据实际意义精确求出解析式，并会根据图示得出所需要信息．同步注意要根据实际意义精确找到不等关系，运用不等式组求解．

5．已知有关x一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2＝0有两个实数根．
（1）求k取值范围；
（2）设x1，x2是方程两根，且，求k值．
【答案】（1）k≥﹣；（2）k＝．
【解析】
【分析】
（1）根据方程有两个实数根可以得到△≥0，从而求得k取值范围；（2）运用根与系数关系将两根之和和两根之积代入代数式求k值即可.
【详解】
解：（1）△＝（2k+1）2﹣4k2＝4k2+4k+1﹣4k2＝4k+1
∵△≥0
∴4k+1≥0
∴k≥﹣；
（2）∵x1，x2是方程两根，
∴x1+x2＝2k+1
x1x2＝k2，
又∵，
∴，
即 ，
解得：，
又∵k≥﹣ ，
即：k＝．
【点睛】
本题考察了根与系数关系以及一元二次方程解，根鉴别式等知识，牢记“两根之和等于 ，两根之积等于”是解题关键.

6．某商场经营某种品牌玩具，购进时单价是3元，经市场预测，销售单价为40元时，可售出600个；销售单价每涨1元，销售量将减少10个设每个销售单价为x元．
（1）写出销售量y（件）和获得利润w（元）与销售单价x（元）之间函数关系；
（2）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完毕不少于540件销售任务，求商场销售该品牌玩具获得最大利润是多少？
【答案】（1）y＝﹣10x+1000；w=﹣10x2+1300x﹣30000
（2）商场销售该品牌玩具获得最大利润是8640元．
【解析】
【分析】
（1）运用销售单价每涨1元，销售量将减少10个即可表达出y＝600﹣10（x﹣40），再运用w= y•（x﹣30）即可表达出w与x之间关系式；（2）先将w＝﹣10x2+1300x﹣30000变成顶点式，找到对称轴，运用函数图像增减性确定在44≤x≤46范围内当x＝46时有最大值，代入求值即可解题.
【详解】
解：
（1）依题意，易得销售量y（件）与销售单价x（元）之间函数关系：y＝600﹣10（x﹣40）＝﹣10x+1000
获得利润w（元）与销售单价x（元）之间函数关系为：w＝y•（x﹣30）＝（1000﹣10x）（x﹣30）＝﹣10x2+1300x﹣30000
（2）根据题意得，x≥14时且1000﹣10x≥540，解得：44≤x≤46
w＝﹣10x2+1300x﹣30000＝﹣10（x﹣65）2+12250
∵a＝﹣10＜0，对称轴x＝65
∴当44≤x≤46时，y随x增大而增大
∴当x＝46时，w最大值＝8640元
即商场销售该品牌玩具获得最大利润是8640元．
【点睛】
本题考察了二次函数实际应用，难度较大，求解二次函数与利润之间关系时,需要用代数式表达销售数量和销售单价，熟悉二次函数顶点式性质是解题关键.

7．温州茶山杨梅名扬中国，某企业经营茶山杨梅业务，以3万元/吨价格买入杨梅，包装后直接销售，包装成本为1万元/吨，它平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（2≤x≤10，单位：吨）之间函数关系如图所示．
（1）若杨梅销售量为6吨时，它平均销售价格是每吨多少万元？
（2）当销售数量为多少时，该经营这批杨梅所获得毛利润（w）最大？最大毛利润为多少万元？（毛利润＝销售总收入﹣进价总成本﹣包装总费用）
（3）通过市场调查发现，杨梅深加工后不包装直接销售，平均销售价格为12万元/吨．深加工费用y（单位：万元）与加工数量x（单位：吨）之间函数关系是y＝x+3（2≤x≤10）．
①当该企业买入杨梅多少吨时，采用深加工方式与直接包装销售获得毛利润同样？
②该企业买入杨梅吨数在　 　范围时，采用深加工方式比直接包装销售获得毛利润大些？

【答案】（1）杨梅销售量为6吨时，它平均销售价格是每吨10万元；（2）当x＝8时，此时W最大值＝40万元；（3）①该企业买入杨梅3吨；②3＜x≤8．
【解析】
【分析】
（1）设其解析式为y＝kx+b，由图象通过点（2，12），（8，9）两点，得方程组，即可得到结论；
（2）根据题意得，w＝（y﹣4）x＝（﹣x+13﹣4）x＝﹣x2+9x，根据二次函数性质即可得到结论；
（3）①根据题意列方程，即可得到结论；②根据题意即可得到结论．
【详解】
（1）由图象可知，y是有关x一次函数．
∴设其解析式为y＝kx+b，
∵图象通过点（2，12），（8，9）两点，
∴，
解得k＝﹣，b＝13，
∴一次函数解析式为y＝﹣x+13，
当x＝6时，y＝10，
答：若杨梅销售量为6吨时，它平均销售价格是每吨10万元；
（2）根据题意得，w＝（y﹣4）x＝（﹣x+13﹣4）x＝﹣x2+9x，
当x＝﹣＝9时，x＝9不在取值范围内，
∴当x＝8时，此时W最大值＝﹣x2+9x＝40万元；
（3）①由题意得：﹣x2+9x＝9x﹣（x+3）
解得x＝﹣2（舍去），x＝3，
答该企业买入杨梅3吨；
②当该企业买入杨梅吨数在 3＜x≤8范围时，采用深加工方式比直接包装销售获得毛利润大些．
故答案为：3＜x≤8．
【点睛】
本题是二次函数、一次函数综合应用题，难度较大．解题关键是理清售价、成本、利润三者之间关系．

8．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1，0)和点B(﹣3，0)，与y轴交于点C．
(1)求抛物线解析式；
(2)设抛物线对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上与否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件点P坐标；若不存在，请阐明理由．
(3)在(1)中抛物线对称轴上与否存在点Q，使得△QAC周长最小？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请阐明理由．
(4)如图2，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积最大值，并求此时E点坐标．

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）存在符合条件点P，其坐标为P（﹣1，）或P（﹣1，﹣）或P（﹣1，6）或P（﹣1，）；（3）存在，Q（﹣1，2）；（4）， .
【解析】
【分析】
（1）已知抛物线过A、B两点，可将两点坐标代入抛物线解析式中，用待定系数法即可求出二次函数解析式；
（2）可根据（1）函数解析式得出抛物线对称轴，也就得出了M点坐标，由于C是抛物线与y轴交点，因此C坐标为（0，3），根据M、C坐标可求出CM距离．然后分三种状况进行讨论：
①当CP＝PM时，P位于CM垂直平分线上．求P点坐标关键是求P纵坐标，过P作PQ⊥y轴于Q，假如设PM＝CP＝x，那么直角三角形CPQ中CP＝x，OM长，可根据M坐标得出，CQ＝3﹣x，因此可根据勾股定理求出x值，P点横坐标与M横坐标相似，纵坐标为x，由此可得出P坐标．
②当CM＝MP时，根据CM长即可求出P纵坐标，也就得出了P坐标（要注意分上下两点）．
③当CM＝CP时，由于C坐标为（0，3），那么直线y＝3必垂直平分PM，因此P纵坐标是6，由此可得出P坐标；
（3）根据轴对称﹣最短途径问题解答；
（4）由于四边形BOCE不是规则四边形，因此可将四边形BOCE分割成规则图形进行计算，过E作EF⊥x轴于F，S四边形BOCE＝S△BFE+S梯形FOCE．直角梯形FOCE中，FO为E横坐标绝对值，EF为E纵坐标，已知C纵坐标，就懂得了OC长．在△BFE中，BF＝BO﹣OF，因此可用E横坐标表达出BF长．假如根据抛物线设出E坐标，然后裔入上面线段中，即可得出有关四边形BOCE面积与E横坐标函数关系式，根据函数性质即可求得四边形BOCE最大值及对应E横坐标值．即可求出此时E坐标．
【详解】
（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），
∴，
解得：．
∴所求抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如答图1，

∵抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，
∴其对称轴为x＝＝﹣1，
∴设P点坐标为（﹣1，a），当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），M（﹣1，0）
∴当CP＝PM时，（﹣1）2+（3﹣a）2＝a2，解得a＝，
∴P点坐标为：P1（﹣1，）；
∴当CM＝PM时，（﹣1）2+32＝a2，解得a＝±，
∴P点坐标为：P2（﹣1，）或P3（﹣1，﹣）；
∴当CM＝CP时，由勾股定理得：（﹣1）2+32＝（﹣1）2+（3﹣a）2，解得a＝6，
∴P点坐标为：P4（﹣1，6）．
综上所述存在符合条件点P，其坐标为P（﹣1，）或P（﹣1，﹣）或P（﹣1，6）或P（﹣1，）；
（3）存在，Q（﹣1，2），理由如下：
如答图2，点C（0，3）有关对称轴x＝﹣1对称点C′坐标是（﹣2，3），连接AC′，直线AC′与对称轴交点即为点Q．

设直线AC′函数关系式为：y＝kx+t（k≠0）．
将点A（1，0），C′（﹣2，3）代入，得，
解得，
因此，直线AC′函数关系式为：y＝﹣x+1．
将x＝﹣1代入，得y＝2，
即：Q（﹣1，2）；
（4）过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0）

∴EF＝﹣a2﹣2a+3，BF＝a+3，OF＝﹣a
∴S四边形BOCE＝BF•EF+（OC+EF）•OF
＝（a+3）•（﹣a2﹣2a+3）+（﹣a2﹣2a+6）•（﹣a）
＝﹣a2﹣a+＝﹣（a+）2+，
∴当a＝﹣时，S四边形BOCE最大，且最大值为．
此时，点E坐标为（﹣ ，）．
【点睛】
本题重要考察了二次函数综合知识，要注意是（2）中，不确定等腰三角形哪条边是底边状况下，要分类进行求解，不要漏解．

9．如图，抛物线y=ax2+bx过点B（1，﹣3），对称轴是直线x=2，且抛物线与x轴正半轴交于点A．
（1）求抛物线解析式，并根据图象直接写出当y≤0时，自变量x取值范围；
（2）在第二象限内抛物线上有一点P，当PA⊥BA时，求△PAB面积．

【答案】（1）抛物线解析式为y=x2﹣4x，自变量x取值范图是0≤x≤4；（2）△PAB面积=15．
【解析】
【分析】
（1）将函数图象通过点B坐标代入函数解析式中，再和对称轴方程联立求出待定系数a和b；
（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，设P（x，x2-4x），证明△PFA∽△AEB,求出点P坐标，将△PAB面积构导致长方形去掉三个三角形面积．
【详解】
（1）由题意得，，
解得，
∴抛物线解析式为y=x2-4x，
令y=0，得x2-2x=0，解得x=0或4，
结合图象知，A坐标为（4，0），
根据图象开口向上，则y≤0时，自变量x取值范围是0≤x≤4；
（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，

设P（x，x2-4x）,
∵PA⊥BA
∴∠PAF+∠BAE=90°,
∵∠PAF+∠FPA=90°,
∴∠FPA=∠BAE
又∠PFA=∠AEB=90°
∴△PFA∽△AEB,
∴，即，
解得，x= −1，x=4（舍去）
∴x2-4x=-5
∴点P坐标为（-1，-5），
又∵B点坐标为（1，-3），易得到BP直线为y=-4x+1
因此BP与x轴交点为（，0）
∴S△PAB=
【点睛】
本题是二次函数综合题，求出函数解析式是解题关键，尤其是运用待定系数法将两条直线体现式解出，运用点坐标求三角形面积是关键．

10．（12分）如图所示是隧道截面由抛物线和长方形构成，长方形长是12 m，宽是4 m．按照图中所示直角坐标系，抛物线可以用y=x2+bx+c表达，且抛物线上点C到OB水平距离为3 m，到地面OA距离为m.
（1）求抛物线函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，假如隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面高度相等，假如灯离地面高度不超过8m，那么两排灯水平距离最小是多少米？

【答案】（1）抛物线函数关系式为y=x2+2x+4，拱顶D到地面OA距离为10 m；(2)两排灯水平距离最小是4 m．
【解析】
【详解】
试题分析：根据点B和点C在函数图象上，运用待定系数法求出b和c值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标，得出最大值；根据题意得出车最外侧与地面OA交点为（2,0）（或（10,0）），然后求出当x=2或x=10时y值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过；将y=8代入函数，得出x值，然后进行做差得出最小值．
试题解析：（1）由题知点在抛物线上
因此，解得，因此
因此，当时，
答：，拱顶D到地面OA距离为10米
（2）由题知车最外侧与地面OA交点为（2,0）（或（10,0））
当x=2或x=10时，，因此可以通过
（3）令，即，可得，解得

答：两排灯水平距离最小是
考点：二次函数实际应用．

11．已知矩形ABCD中，AB=5cm，点P为对角线AC上一点，且AP=.如图①，动点M从点A出发，在矩形边上沿着方向匀速运动(不包含点C).设动点M运动时间为t(s)，面积为S(cm²)，S与t函数关系如图②所示：
(1)直接写出动点M运动速度为 ，BC长度为 ;
(2)如图③，动点M重新从点A出发，在矩形边上，按本来速度和方向匀速运动.同步，另一种动点N从点D出发，在矩形边上沿着方向匀速运动，设动点N运动速度为.已知两动点M、N通过时间在线段BC上相遇(不包含点C)，动点M、N相遇后立即停止运动，记此时面积为.
①求动点N运动速度取值范围;
②试探究与否存在最大值.若存在，求出最大值并确定运动速度时间值；若不存在，请阐明理由.

【答案】(1)2，10；(2)①；②当时，取最大值.
【解析】
【分析】
（1）由题意可知图像中0~2.5s时，M在AB上运动，求出速度，2.5~7.5s时，M在BC上运动，求出BC长度；（2）①分别求出在C点相遇和在B点相遇时速度，取中间速度，注意C点相遇时速度不能取等于；②过M点做MH⊥AC，则
得到S1，同步运用=15，得到S2，再得到有关x二次函数，运用二次函数性质求得最大值
【详解】
(1)5÷2.5=2；（7.5-2.5）×2=10
(2)①解：在C点相遇得到方程
在B点相遇得到方程
∴
解得
∵在边BC上相遇，且不包含C点
∴
②如下图

=15

过M点做MH⊥AC，则
∴
∴

=
=
由于，因此当时，取最大值.
【点睛】
本题重点考察动点问题，二次函数应用，求不规则图形面积等知识点，第一问关键可以从图像中得到信息，第二问第一小问关键在理清晰运动过程，第二小问关键在可以用x表达出S1和S2

12．如图，顶点M在y轴上抛物线与直线y=x+1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B横坐标为2，连结AM、BM．
（1）求抛物线函数关系式；
（2）判断△ABM形状，并阐明理由；
（3）把抛物线与直线y=x交点称为抛物线不动点．若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后抛物线总有不动点．

【答案】（1）抛物线解析式为y=x2﹣1；（2）△ABM为直角三角形．理由见解析；（3）当m≤时，平移后抛物线总有不动点．
【解析】
试题分析：（1）分别写出A、B坐标，运用待定系数法求出抛物线解析式即可；
根据OA＝OM＝1，AC＝BC＝3，分别得到∠MAC＝45°，∠BAC＝45°，得到∠BAM＝90°，进而得到△ABM是直角三角形；
（3）根据抛物线平后来顶点设其解析式为，
∵抛物线不动点是抛物线与直线交点，∴，
方程总有实数根，则≥0，得到m取值范围即可
试题解析：解：（1）∵点A是直线与轴交点，∴A点为（-1，0）
∵点B在直线上，且横坐标为2，∴B点为（2，3）
∵过点A、B抛物线顶点M在轴上，故设其解析式为：
∴，解得：
∴抛物线解析式为．
（2）△ABM是直角三角形，且∠BAM＝90°．理由如下：
作BC⊥轴于点C，∵A（-1，0）、B（2，3）∴AC＝BC＝3，∴∠BAC＝45°；
点M是抛物线顶点，∴M点为（0，-1）∴OA＝OM＝1，
∵∠AOM＝90°∴∠MAC＝45°；
∴∠BAM＝∠BAC＋∠MAC＝90°∴△ABM是直角三角形．
（3）将抛物线顶点平移至点（，），则其解析式为．
∵抛物线不动点是抛物线与直线交点，∴
化简得：
∴＝＝
当时，方程总有实数根，即平移后抛物线总有不动点
∴．
考点：二次函数综合应用（待定系数法；直角三角形判定；一元二次方程根鉴别式）

13．如图，直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+通过A，B两点．
（1）求A、B两点坐标；
（2）求抛物线解析式；
（3）点M是直线BC上方抛物线上一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC于点D，求△DMH周长最大值．
【答案】（1）（﹣1，0）（2）y=﹣x2+x+（3）
【解析】
试题分析：（1）由直线解析式可求得B、C坐标，在Rt△BOC中由三角函数定义可求得∠OCB=60°，则在Rt△AOC中可得∠ACO=30°，运用三角函数定义可求得OA，则可求得A点坐标；
（2）由A、B两点坐标，运用待定系数法可求得抛物线解析式；
（3）由平行线性质可知∠MDH=∠BCO=60°，在Rt△DMH中运用三角函数定义可得到DH、MH与DM关系，可设出M点坐标，则可表达出DM长，从而可表达出△DMH周长，运用二次函数性质可求得其最大值．
试题解析： （1）∵直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，
∴B（3，0），C（0，），
∴OB=3，OC=，
∴tan∠BCO==，
∴∠BCO=60°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACO=30°，
∴=tan30°=，即=，解得AO=1，
∴A（﹣1，0）；
（2）∵抛物线y=ax2+bx+通过A，B两点，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+；
（3）∵MD∥y轴，MH⊥BC，
∴∠MDH=∠BCO=60°，则∠DMH=30°，
∴DH=DM，MH=DM，
∴△DMH周长=DM+DH+MH=DM+DM+DM=DM，
∴当DM有最大值时，其周长有最大值，
∵点M是直线BC上方抛物线上一点，
∴可设M（t，﹣t2+t+），则D（t，﹣t+），
∴DM=﹣t2+t+），则D（t，﹣t+），
∴DM=﹣t2+t+﹣（﹣t+）=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+，
∴当t=时，DM有最大值，最大值为，
此时DM=×=，
即△DMH周长最大值为．
考点：1、二次函数综合应用，2、待定系数法，3、三角函数定义，4方程思想

14．已知抛物线顶点为点D，并与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴相交于点C．

（1）求点A、B、C、D坐标；
（2）在y轴正半轴上与否存在点P，使以点P、O、A为顶点三角形与△AOC相似？若存在，求出点P坐标；若不存在，请阐明理由；
（3）取点E（，0）和点F（0，），直线l通过E、F两点，点G是线段BD中点．
①点G与否在直线l上，请阐明理由；
②在抛物线上与否存在点M，使点M有关直线l对称点在x轴上？若存在，求出点M坐标；若不存在，请阐明理由．
【答案】解：（1） D（，﹣4）
（2） P（0，）或（0，）
（3）详见解析
【解析】
【分析】
（1）令y=0，解有关x一元二次方程求出A、B坐标，令x=0求出点C坐标，再根据顶点坐标公式计算即可求出顶点D坐标．
（2）根据点A、C坐标求出OA、OC长，再分OA和OA是对应边，OA和OC是对应边两种状况，运用相似三角形对应边成比例列式求出OP长，从而得解．
（3）①设直线l解析式为y=kx+b（k≠0），运用待定系数法求一次函数解析式求出直线l解析式，再运用中点公式求出点G坐标，然后根据直线上点坐标特征验证即可．
②设抛物线对称轴与x轴交点为H，求出OE、OF、HD、HB长，然后求出△OEF和△HDB相似，根据相似三角形对应角相等求出∠OFE=∠HBD，然后求出EG⊥BD，从而得到直线l是线段BD垂直平分线，根据线段垂直平分线性质点D有关直线l对称点就是B，从而判断出点M就是直线DE与抛物线交点．再设直线DE解析式为y=mx+n，运用待定系数法求一次函数解析求出直线DE解析式，然后与抛物线解析式联立求解即可得到符合条件点M．
【详解】
解：（1）在中，令y=0，则，整理得，4x2﹣12x﹣7=0，
解得x1=，x2=．∴A（，0），B（，0）．
在中，令x=0，则y=．∴C（0，）．
∵，∴顶点D（，﹣4）．
（2）在y轴正半轴上存在符合条件点P．
设点P坐标为（0，y），
∵A（，0），C（0，），∴OA=，OC=，OP=y，
①若OA和OA是对应边，则△AOP∽△AOC，∴．∴y=OC=，此时点P（0，）．
②若OA和OC是对应边，则△POA∽△AOC，∴，即．
解得y=，此时点P（0，）．
综上所述，符合条件点P有两个，P（0，）或（0，）．
（3）①设直线l解析式为y=kx+b（k≠0），
∵直线l通过点E（，0）和点F（0，），
∴，解得，
∴直线l解析式为．
∵B（，0），D（，﹣4），
∴，∴线段BD中点G坐标为（，﹣2）．
当x=时，，∴点G在直线l上．
②在抛物线上存在符合条件点M．

设抛物线对称轴与x轴交点为H，则点H坐标为（，0），
∵E（，0）、F（0，），B（，0）、D（，﹣4），
∴OE=，OF=，HD=4，HB=﹣=2．
∵，∠OEF=∠HDB，
∴△OEF∽△HDB．∴∠OFE=∠HBD．
∵∠OEF+∠OFE=90°，∴∠OEF+∠HBD=90°．
∴∠EGB=180°﹣（∠OEF+∠HBD）
=180°﹣90°=90°，
∴直线l是线段BD垂直平分线．
∴点D有关直线l对称点就是点B．
∴点M就是直线DE与抛物线交点．
设直线DE解析式为y=mx+n，
∵D（，﹣4），E（，0），
∴，解得．
∴直线DE解析式为．
联立，解得，．
∴符合条件点M有两个，是（，﹣4）或（，）．

15．如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）通过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l垂线，垂足分别为点M、N．

（1）求此抛物线解析式；
（2）求证：AO=AM；
（3）探究：
①当k=0时，直线y=kx与x轴重叠，求出此时值；
②试阐明无论k取何值，值都等于同一种常数．
【答案】解：（1）y=x2﹣1
（2）详见解析
（3）详见解析
【解析】
【分析】
（1）把点C、D坐标代入抛物线解析式求出a、c，即可得解。
（2）根据抛物线解析式设出点A坐标，然后求出AO、AM长，即可得证。
（3）①k=0时，求出AM、BN长，然后裔入计算即可得解；
②设点A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），然后表达出，再联立抛物线与直线解析式，消掉未知数y得到有关x一元二次方程，运用根与系数关系表达出x1+x2，x1•2，并求出x12+x22，x12•x22，然后裔入进行计算即可得解。
【详解】
解：（1）∵抛物线y=ax2+c（a≠0）通过C（2，0），D（0，﹣1），
∴，解得。
∴抛物线解析式为y=x2﹣1。
（2）证明：设点A坐标为（m，m2﹣1），
则。
∵直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，∴点M纵坐标为﹣2。
∴AM=m2﹣1﹣（﹣2）=m2+1。
∴AO=AM。
（3）①k=0时，直线y=kx与x轴重叠，点A、B在x轴上，
∴AM=BN=0﹣（﹣2）=2，
∴。
②k取任何值时，设点A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），
则。
联立，消掉y得，x2﹣4kx﹣4=0，
由根与系数关系得，x1+x2=4k，x1•x2=﹣4，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=16k2+8，x12•x22=16。
∴。
∴无论k取何值，值都等于同一种常数1。