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2025年大学统计学（多元统计分析）试题及答案

（考试时间：90分钟 满分100分）
班级______ 姓名______

第 I 卷（选择题 共30分）
答题要求：本卷共6题，每题5分。在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将正确答案填写在括号内。

1. 以下哪种方法不属于多元统计分析中的降维方法？（ ）
A. 主成分分析
B. 因子分析
C. 聚类分析
D. 典型相关分析
2. 在多元线性回归模型中，若自变量之间存在严重的多重共线性，会导致（ ）
A. 参数估计值不稳定
B. 模型的预测精度提高
C. 残差平方和减小
D. 回归系数的显著性检验更容易通过
3. 主成分分析中，主成分的方差贡献率反映了（ ）
A. 该主成分包含原始变量信息的多少
B. 主成分之间的相关性
C. 原始变量之间的相关性
D. 主成分的个数
4. 对于聚类分析，以下说法正确的是（ ）
A. 聚类结果不依赖于变量的量纲
B. 不同的聚类方法得到的结果一定相同
C. 聚类分析可以用于预测
D. 聚类分析是将样本分为不同的类别，使得同一类内样本差异尽可能小，不同类间样本差异尽可能大
5. 在判别分析中，以下哪种距离常用于衡量样本之间的相似性？（ ）
A. 欧氏距离
B. 马氏距离
C. 曼哈顿距离
D. 切比雪夫距离
6. 因子分析中，因子载荷矩阵表示（ ）
A. 原始变量与公共因子之间的相关程度
B. 公共因子之间的相关程度
C. 特殊因子之间的相关程度
D. 原始变量之间的相关程度

第 II 卷（非选择题 共70分）
7. （10分）简述多元统计分析的主要内容及应用领域。
8. （15分）在多元线性回归模型$Y = \beta_0 + \beta_1X_1 + \beta_2X_2 + \cdots + \beta_pX_p + \epsilon$中，解释回归系数$\beta_i$的含义，并说明如何检验回归系数的显著性。
9. （15分）已知有一组数据，包含多个变量。请简述如何进行主成分分析，并说明主成分分析的作用。
10. （15分）材料：现有一批样本，已知它们分别来自三个不同的总体。我们希望通过判别分析建立判别函数，以便对新的样本进行分类。
问题：请说明判别分析的基本思想，并简述如何建立判别函数。
11. （15分）材料：某研究收集了多个地区的经济指标数据，包括GDP、人均收入、产业结构等，想要分析这些地区之间的经济差异情况。
问题：请说明可以使用哪些多元统计方法进行分析，并阐述理由。

答案：
1. C
2. A
3. A
4. D
5. B
6. A
7. 多元统计分析主要研究多个变量之间的关系，包括变量的降维、分类、变量间的相关性分析等。应用领域广泛，如经济领域用于分析经济变量之间的关系、预测经济走势；医学领域用于疾病诊断、疗效评价；社会科学领域用于分析社会现象、人群分类等。
8. 回归系数$\beta_i$表示在其他自变量不变的情况下，如果自变量$X_i$改变一个单位，因变量$Y$平均改变$\beta_i$个单位。检验回归系数的显著性通常采用t检验，原假设为$H_0:\beta_i = 0$，计算t统计量$t = \frac{\hat{\beta_i}}{S_{\hat{\beta_i}}}$，与临界值比较，若绝对值大于临界值，则拒绝原假设，认为该回归系数显著。
9. 主成分分析步骤：首先计算变量的相关系数矩阵；然后求相关系数矩阵的特征值和特征向量；接着确定主成分个数；最后计算主成分得分。作用：降维，减少变量个数，简化数据结构；提取主要信息，便于后续分析，如数据可视化、聚类分析等。
10. 判别分析基本思想：根据已知样本的特征，找出能够区分不同总体的判别函数，用于对新样本进行分类。建立判别函数方法：先计算各类样本的均值向量等参数，然后通过一定的算法（如距离判别法、Fisher判别法等）构建判别函数，如线性判别函数$Y = a_1X_1 + a_2X_2 + \cdots + a_pX_p + c$，通过样本数据确定系数$a_i$和$c$。
11. 可使用聚类分析，理由是能将经济指标相似的地区归为一类，从而清晰看出不同经济特征的地区类别，了解地区间经济差异情况。也可使用主成分分析，通过提取主成分，用较少的综合指标概括多个经济指标信息，进一步分析地区间经济差异，还能用于数据降维，便于后续分析。