江苏省盐城中学2025-2026学年高一数学第一学期期末经典试题含解析.doc

江苏省盐城中学2025-2026学年高一数学第一学期期末经典试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人.玉雕壁画是采用传统的手工雕刻工艺，加工生产成的玉雕工艺画.某扇形玉雕壁画尺寸（单位：）如图所示，则该壁画的扇面面积约为（）

A. B.
C. D.
2．若某商店将进货单价为6元的商品按每件10元出售，则每天可销售100件.现准备采用提高售价、减少进货量的方法来增加利润.已知这种商品的售价每提高1元，销售量就要减少10件，那么要保证该商品每天的利润在450元以上，售价的取值范围是（）
A. B.
C. D.
3．已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是
A. B.
C. D.
4．已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为
A. B.
C. D.
5．若斜率为2的直线经过，，三点，则a，b的值是
A.， B.，
C.， D.，
6．逻辑斯蒂函数二分类的特性在机器学习系统，可获得一个线性分类器，实现对数据的分类.下列关于函数的说法错误的是（）
A.函数的图象关于点对称
B.函数的值域为（0，1）
C.不等式的解集是
D.存在实数a，使得关于x的方程有两个不相等的实数根
7．下列各组中的两个函数表示同一函数的是（　　）
A. B.y＝lnx2，y＝2lnx
C D.
8．在中，为边的中点，则（）
A. B.
C. D.
9．下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（ ）
A.，
B.，
C.，
D.，
10．在中，，．若点满足，则（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．计算______.
12．函数在上的最小值是__________
13．函数是幂函数且为偶函数，则m的值为_________
14．若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则的最小值为______
15．已知函数，又有定义在R上函数满足：（1），
，均恒成立；
（2）当时，，则_____，
函数在区间中的所有零点之和为_______.
16．已知，则的值是________，的值是________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知为锐角，，
（1）求和的值；
（2）求和的值
18．如图，直三棱柱中，分别是的中点，.

（1）证明：平面；
（2）证明：平面平面.
19．某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中 随机抽取名按年龄分组：第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示.

（1）若从第，，组中用分层抽样的方法抽取名志愿者参广场的宣传活动，应从第，，组各抽取多少名志愿者？
（2）在（1）的条件下，该市决定在这名志愿者中随机抽取名志愿者介绍宣传经验，求第组志愿者有被抽中的概率.
20．已知定义在上的函数，其中，且
（1）试判断函数的奇偶性，并证明你的结论；
（2）解关于的不等式
21．已知实数，定义域为的函数是偶函数，其中为自然对数的底数
（Ⅰ）求实数值；
（Ⅱ）判断该函数在上的单调性并用定义证明；
（Ⅲ）是否存在实数，使得对任意的，不等式恒成立．若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】利用扇形的面积公式，利用大扇形面积减去小扇形面积即可.
【详解】如图，设，，由弧长公式可得解得，，设扇形，扇形的面积分别为，则该壁画的扇面面积约为
.
故选：.

2、B
【解析】根据题意列出函数关系式，建立不等式求解即可.
【详解】设售价为，利润为，
则，
由题意，
即，
解得，
即售价应定为元到元之间，
故选：B.
3、C
【解析】先由三角函数的最值得或，再由得，进而可得单调增区间.
【详解】因为对任意恒成立，所以，
则或，
当时，，则（舍去），
当时，，则，符合题意，
即，
令，解得，即的单调递增区间是；故选C.
【点睛】本题主要考查了三角函数的图像和性质，利用三角函数的性质确定解析式，属于中档题.
4、C
【解析】由题意：，
且：，
据此：，
结合函数的单调性有：，
即.
本题选择C选项.
【考点】 指数、对数、函数的单调性
【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.
5、C
【解析】根据两点间斜率公式列方程解得结果.
【详解】斜率为直线经过，，三点，∴，解得，．选C.
【点睛】本题考查两点间斜率公式，考查基本求解能力，属基础题.
6、D
【解析】A选项，代入，计算和，可得对称性；B选项，由和分式函数值域可求出结果；CD选项，判断函数的单调性即可判断正误.
【详解】解：对于A：，，，所以函数的图象关于点对称，又，所以函数的图象关于点对称，故A正确；
对于B：，易知，所以，则，即函数的值域为（0，1），故B正确；
对于C：由容易判断，函数在上单调递增，且，所以不等式的解集是，故C正确；
对于D：因为函数在上单调递增，所以方程不可能有两个不相等的实数根，故D错误.
故选：D.
7、D
【解析】逐项判断函数的定义域与对应法则是否相同，即可得出结果.
【详解】对于A， 定义域为，而定义域为，定义域相同，但对应法则不同，故不是同一函数，排除A；
对于B，定义域，而定义域为，所以定义域不同，不是同一函数，排除B；
对于C，  定义域为，而定义域为，所以定义域不同，不是同一函数，排除C；
对于D，与的定义域均为，且，对应法则一致，所以是同一函数，D正确.
故选：D
8、B
【解析】由平面向量的三角形法则和数乘向量可得解
【详解】
由题意，
故选：B
【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，考查了学生综合分析，数形结合的能力，属于基础题
9、B
【解析】根据相等函数的判定方法，逐项判断，即可得出结果.
【详解】A选项，因为的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故A错；
B选项，因为的定义域为，的定义域也为，且与对应关系一致，是同一函数，故B正确；
C选项，因为的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故C错；
D选项， 因为的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故D错.
故选：B.
10、A
【解析】，故选A

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、7
【解析】根据对数与指数的运算性质计算即可得解.
【详解】解：

.
故答案为：7.
12、
【解析】在上单调递增
最小值为
13、
【解析】由函数是幂函数，则，解出的值，再验证函数是否为偶函数，得出答案.
【详解】由函数是幂函数，则，得或
当时，函数不是偶函数，所以舍去.
当时，函数是偶函数，满足条件.
故答案为：
【点睛】本题考查幂函数的概念和幂函数的奇偶性，属于基础题.
14、；
【解析】因为函数的图象向左平移个单位长度，得到,所以的最小值为
15、 ①.1 ②.42
【解析】求出的周期和对称轴，再结合图象即可.
【详解】由条件可知函数的图象关于对称轴对称，
由可知，，则周期，
即，
函数在区间中的所有零点之和即为函数与函数
图象的交点的横坐标之和，
当时，为单调递增函数，，
，且区间关于对称，
又∵由已知得也是的对称轴，∴只需用研究直线左侧部分即可，
由图象可知左侧有7个交点，则右侧也有7个交点，将这14个交点的横坐标从小到大排列，第个数记为，由对称性可知，则，
同理，…，，
∴.
故答案为：，.

16、 ①. ②.
【解析】将化为可得值，通过两角和的正切公式可得的值.
【详解】因为，所以；
，
故答案为：，.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），
（2），
【解析】（1）由为锐角，可求出，利用同角之间的关系可求出，由正弦的两角和求.
（2）利用同角之间的关系可求出，根据结合余弦的差角公式可得出答案.
【小问1详解】
因为为锐角，且，
所以
所以
【小问2详解】
因为为锐角，所以
所以
所以

18、（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）连结，交点，连，推出//1，即可证明平面；
（2）取的中点，连结，证明四边形是平行四边形，证明
，得到 平面，然后证明平面 平面
试题解析：（1）连结，交点，连，则是的中点，
因为是的中点，故//.
因为平面，平面.
所以//平面.
（2）取的中点，连结，因为是的中点，
故//且 .
显然//，且 ，所以//且
则四边形是平行四边形.
所以//.
因为，所以
又，所以直线 平面.
因为//，所以直线 平面.
因为平面，所以平面 平面
19、（1）分别抽取人，人，人；（2）
【解析】（1）频率分布直方图各组频率等于各组矩形的面积，进而算出各组频数，再根据分层抽样总体及各层抽样比例相同求解；（2）列出从名志愿者中随机抽取名志愿者所有的情况，再根据古典概型概率公式求解.
【详解】（1）第组的人数为， 第组的人数为， 第组的人数为，
因为第，，组共有名志愿者，所以利用分层抽样的方法在名志愿者中抽取名志愿者，每组抽
取的人数分别为：第组: ；第组: ；第组: .
所以应从第，，组中分别抽取人，人，人.
（2）设“第组的志愿者有被抽中”为事件.
记第组的名志愿者为，，，第组的名志愿者为，，第组的名志愿者为，则
从名志愿者中抽取名志愿者有:
，，，，，，，，，，
，，，，，共有种.
其中第组的志愿者被抽中的有种，

答：第组的志愿者有被抽中的概率为
【点睛】本题考查频率分布直方图，分层抽样和古典概型,注意列举所有情况时不要遗漏.
20、（1）为上的奇函数；证明见解析
（2）答案不唯一，具体见解析
【解析】（1）利用函数奇偶性的定义判断即可，
（2）由题意可得，得，然后分和解不等式即可
【小问1详解】
函数为奇函数
证明：函数的定义域为，
，
即对任意恒成立．所以为上的奇函数
【小问2详解】
由，得，即
因为，，且，所以且
由，即
当，即时，解得
当，即时，解得
综上，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为
21、（Ⅰ）1；（Ⅱ）在上递增，证明详见解析；（Ⅲ）不存在.
【解析】（Ⅰ）根据函数是偶函数，得到恒成立，即恒成立，进而得到，即可求出结果；
（Ⅱ）任取，且，根据题意，作差得到，进而可得出函数单调性；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知函数在上递增，由函数是偶函数，所以函数在上递减，再由题意，不等式恒成立可化为恒成立，即对任意的恒成立，根据判别式小于0，即可得出结果.
【详解】（Ⅰ）因为定义域为的函数是偶函数，则恒成立，
即，故恒成立，
因为不可能恒为，所以当时， 恒成立，
而，所以
（Ⅱ）该函数在上递增，证明如下
设任意，且，则
，因为，所以，且；
所以，即，即；
故函数在上递增
（Ⅲ）由（Ⅱ）知函数在上递增，而函数是偶函数，则函数在上递减．若存在实数，使得对任意的，不等式恒成立．则恒成立，即，
即对任意的恒成立，
则，得到，故，
所以不存在
【点睛】本主要考查由函数奇偶性求参数，用单调性的定义判断函数单调性，以及由不等式恒成立求参数的问题，熟记函数单调性与奇偶性的定义即可，属于常考题型.