2025-2026学年福建省福安市一中高二数学第一学期期末复习检测模拟试题含解析.doc

2025-2026学年福建省福安市一中高二数学第一学期期末复习检测模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（）

A. B.
C. D.
2．函数f（x）＝的图象大致形状是（　　）
A. B.
C. D.
3．已知数列是递减的等比数列，的前项和为，若，，则=（ ）
A.54 B.36
C.27 D.18
4．若直线与直线垂直，则a=（）
A.-2 B.0
C.0或-2 D.1
5．在等差数列中，若，且前n项和有最大值，则使得的最大值n为（）
A.15 B.16
C.17． D.18
6．2021年是中国共产党百年华诞，3月24日，中宣部发布中国共产党成立100周年庆祝活动标识（图1），标识由党徽、数字“100”“1921”“2021”和56根光芒线组成，生动展现中国共产党团结带领中国人民不忘初心、牢记使命、艰苦奋斗的百年光辉历程.其中“100”的两个“0”设计为两个半径为的相交大圆，分别内含一个半径为1的同心小圆，且同心小圆均与另一个大圆外切（图2）.已知，在两大圆的区域内随机取一点，则该点取自两大圆公共部分的概率为（）

A. B.
C. D.
7．如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，圆锥PO的轴截面PAE是边长为2的等边三角形，是底面圆的内接正三角形．则（）

A. B.
C. D.
8．椭圆与(0<k<9)的（ ）
A.长轴的长相等
B.短轴的长相等
C.离心率相等
D.焦距相等
9．设平面向量，，其中m，，记“”为事件A，则事件A发生的概率为（　　）
A. B.
C. D.
10．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
11．设是等比数列，则“对于任意的正整数n，都有”是“是严格递增数列”（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
12．函数在上的最小值为（）
A. B.
C.-1 D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知球的表面积是，则该球的体积为________.
14．已知椭圆和双曲线有相同的焦点和，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，P为两曲线的一个公共点，且（O为坐标原点）．若，则的取值范围是______
15．曲线在处的切线方程为______.
16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为A，直线与椭圆C的另一个交点为B，则的面积为___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆的上一点处的切线方程为，椭圆C上的点与其右焦点F的最短距离为，离心率为
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若点P为直线上任一点，过P作椭圆的两条切线PA，PB，切点为A，B，求证：
18．（12分）已知命题：方程有实数解，命题：，.
（1）若是真命题，求实数的取值范围；
（2）若为假命题，且为真命题，求实数的取值范围.
19．（12分）某城市一入城交通路段限速60公里/小时，现对某时段通过该交通路段的n辆小汽车车速进行统计，并绘制成频率分布直方图（如图）.若这n辆小汽车中，速度在50~60公里小时之间的车辆有200辆.

（1）求n的值；
（2）估计这n辆小汽车车速的中位数；
（3）根据交通法规定，小车超速在规定时速10%以内（含10%）不罚款，超过时速规定10%以上，需要罚款.试根据频率分布直方图，以频率作为概率的估计值，估计某辆小汽车在该时段通过该路段时被罚款的概率.
20．（12分）在柯桥古镇的开发中，为保护古桥OA，规划在O的正东方向100m的C处向对岸AB建一座新桥，使新桥BC与河岸AB垂直，并设立一个以线段OA上一点M为圆心，与直线BC相切的圆形保护区（如图所示），且古桥两端O和A与圆上任意一点的距离都不小于50m，经测量，点A位于点O正南方向25m，，建立如图所示直角坐标系

（1）求新桥BC的长度；
（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最小？
21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的左，右焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），且椭圆C过点（﹣）.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设过（0，﹣2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若，求直线l的方程.
22．（10分）已知： （常数）； ：代数式有意义
（1）若，求使“”为真命题的实数的取值范围；
（2）若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】根据原函数图象判断出函数单调性，由此判断导函数的图象.
【详解】原函数在上从左向右有增、减、增，个单调区间；在上递减.
所以导函数在上从左向右应为：正、负、正；在上应为负.
所以A选项符合.
故选：A
2、B
【解析】利用函数的奇偶性排除选项A,C，然后利用特殊值判断即可
【详解】解：由题得函数的定义域为，关于原点对称.
所以函数是奇函数，排除选项A,C.
当时，，排除选项D，
故选：B
3、C
【解析】根据等比数列的性质及通项公式计算求解即可.
【详解】由，
解得或（舍去），
，
，

故选：C
4、C
【解析】代入两直线垂直的公式，即可求解.
【详解】因为两直线垂直，所以，解得：或.
故选：C
5、A
【解析】由题可得，则，可判断，，即可得出结果.
【详解】前n项和有最大值，，
，，，
，，
使得的最大值n为15.
故选：A.
【点睛】本题考查等差数列前n项和的有关判断，解题的关键是得出.
6、B
【解析】求出两圆相交公共部分两个弓形面积，结合两圆面积可得概率
【详解】如图，是两圆心，是两圆交点坐标，四边形边长均为，又，所以，所以，四边形是正方形，
，
弓形面积为，两个弓形面积为，
两圆涉及部分面积为
所以所求概率为
故选：B

7、B
【解析】先求出，再利用向量的线性运算和数量积计算求解.
【详解】解：由题得, ,

故选：B

8、D
【解析】根据椭圆方程求得两个椭圆的，由此确定正确选项.
【详解】椭圆与 (0<k<9)的焦点分别在x轴和y轴上，
前者a2＝25，b2＝9，则c2＝16，后者a2＝25－k，b2＝9－k，则
显然只有D正确
故选：D
9、D
【解析】由向量的数量积公式结合古典概型概率公式得出事件A发生的概率.
【详解】由题意可知，即，
因为所有的基本事件共有种，其中满足的为，，只有1种，所以事件A发生的概率为.
故选：D
10、D
【解析】，∵函数在区间单调递增，∴在区间上恒成立．∴，而在区间上单调递减，∴．∴取值范围是．故选D
考点：利用导数研究函数的单调性.
11、C
【解析】根据严格递增数列定义可判断必要性，分类讨论可判断充分性.
【详解】若是严格递增数列，显然，所以“对于任意的正整数n，都有”是“是严格递增数列”必要条件；
对任意的正整数n都成立，所以中不可能同时含正项和负项，
，即，或，即，
当时，有，即，是严格递增数列，
当时，有，即，是严格递增数列，
所以“对于任意的正整数n，都有”是“是严格递增数列”充分条件
故选：C
12、D
【解析】求出函数的导函数，根据导数的符号求出函数的单调区间，再根据函数的单调性即可得出答案.
【详解】解：因为，所以，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
故.
故选：D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】设球的半径为r，代入表面积公式，可解得，代入体积公式，即可得答案.
【详解】设球的半径为r，则表面积，
解得，
所以体积，
故答案为：
【点睛】本题考查已知球的表面积求体积，关键是求出半径，再进行求解，考查基础知识掌握程度，属基础题.
14、
【解析】设出半焦距c，用表示出椭圆的长半轴长、双曲线的实半轴长，由
可得为直角三角形，由此建立关系即可计算作答.
【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，它们的半焦距为c，于是得，，
由椭圆及双曲线的对称性知，不妨令焦点和在x轴上，点P在y轴右侧，
由椭圆及双曲线定义得：，解得，，
因，即，而O是线段的中点，因此有，
则有，即，整理得：，
从而有，即有，又，则有，即，解得，
所以的取值范围是.
故答案：
15、
【解析】先求出函数的导函数，然后结合导数的几何意义求解即可.
【详解】解：由，
得，
则，
即当时，，
所以切线方程为：，
故答案为：.
【点睛】本题考查了曲线在某点处的切线方程的求法，属基础题.
16、
【解析】求出直线的方程，联立方程，求得B点的坐标，从而可得出答案.
【详解】解：由题意知，，，直线的方程为，
联立方程组，解得，或，即，
所以.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）证明见解析
【解析】（1）设为椭圆上的点，为椭圆的右焦点，求出然后求解最小值，推出，，，得到双曲线方程
（2）设，，，，，即可得到，依题意可得以、为切点的切线方程，从而得到直线的方程，再分与两种情况讨论，即可得证；
【小问1详解】
解：设为椭圆上的点，为椭圆的右焦点，
因为，
所以，
又，所以当且仅当时，，
因为，所以，，因为，所以，
故椭圆的标准方程为
【小问2详解】
解：由（1）知，设，，，，，所以，由题知，以为切点的椭圆切线方程为，以为切点的椭圆切线方程为，又点在直线、上，所以、，所以直线的方程为，当时，直线的斜率不存在，直线斜率为，所以，当时，，所以，所以，综上可得；
18、（1）或；（2）
【解析】（1）由方程有实数根则，可求出实数的取值范围.
(2) 为真命题,即从而得出的取值范围,由（1）可得出为假命题时实数的取值范围.即可得出答案.
【详解】解：（1）方程有实数解得，，解之得或；
（2）为假命题，则，
为真命题时，，，则
故.
故为假命题且为真命题时，.
【点睛】本题考查命题为真时求参数的范围和两个命题同时满足条件时，求参数的范围，属于基础题.
19、（1）
（2）
（3）
【解析】（1）根据已知条件，结合频率与频数的关系，即可求解
（2）根据已知条件，结合中位数公式，即可求解
（3）在这500辆小车中，有40辆超速，再结合古典概型的概率公式，即可求解
【小问1详解】
解：由直方图可知，速度在公里小时之间的频率为，
所以，解得
【小问2详解】
解：设这辆小汽车车速的中位数为，
则，解得
小问3详解】
解：由交通法则可知，小车速度在66公里小时以上需要罚款，
由直方图可知，小车速度在之间有辆，
由统计的有关知识，可以认为车速在公里小时之间的小车有辆，
小车速度在之间有辆，
故估计某辆小汽车在该时段通过该路段时被罚放的概率为
20、（1）80m；
（2）.
【解析】（1）根据斜率的公式，结合解方程组法和两点间距离公式进行求解即可；
（2）根据圆的切线性质进行求解即可.
【小问1详解】
由题意，可知，，∵∴
直线BC方程：①，
同理可得：直线AB方程：②
由①②可知，∴，从而得
故新桥BC得长度为80m
【小问2详解】
设，则，圆心，
∵直线BC与圆M相切，∴半径，
又因为，
∵∴，所以当时，圆M的面积达到最小
21、（1）
（2）或.
【解析】（1）设标准方程代入点的坐标，解方程组得解.
（2）设直线方程代入椭圆方程消元，韦达定理整体思想，可得直线斜率得解.
【小问1详解】
因为椭圆C的焦点为，
可设椭圆C的方程为，又点在椭圆C上，
所以，解得 ，
因此，椭圆C的方程为；
【小问2详解】
当直线的斜率不存在时，显然不满足题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
设，，
因为，所以，
因为，，
所以，
所以，①
联立方程，消去得，
则，
代入①，得，
解得，经检验，此时直线与椭圆相交，
所以直线l的方程是或.
22、（1）；（2）.
【解析】（1）若，分别求出，成立的等价条件，利用为真，求实数的取值范围；
（2）利用是的充分不必要条件，建立不等式关系即可求实数的取值范围
【详解】：等价于：即；
：代数式有意义等价于：
，即，
（1）时，即为，
若“”为真命题，则，得：
故时，使“”为真命题的实数的取值范围是，，
（2）记集合，，
若是成立的充分不必要条件，则是的真子集，
因此：， ，
故实数的取值范围是