江苏省南通市通州区西亭高级中学2026届高二数学第一学期期末质量检测模拟试题含解析.doc

江苏省南通市通州区西亭高级中学2026届高二数学第一学期期末质量检测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知等比数列中，，，则首项（ ）
A. B.
C. D.0
2．在某市第一次全民核酸检测中，某中学派出了8名青年教师参与志愿者活动，分别派往2个核酸检测点，每个检测点需4名志愿者，其中志愿者甲与乙要求在同一组，志愿者丙与丁也要求在同一组，则这8名志愿者派遣方法种数为（）
A.20 B.14
C.12 D.6
3．定义在R上的函数与函数在上具有相同的单调性，则k的取值范围是（）
A. B.
C. D.
4．已知复数满足 (其中为虚数单位)，则复数的虚部为（）
A. B.
C. D.
5．已知，满足，则的最小值为（）
A.5 B.-3
C.-5 D.-9
6．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是
A. B.
C. D.
7．关于x的方程在内有解，则实数m的取值范围（）
A. B.
C. D.
8．双曲线型自然通风塔外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如图所示，它的最小半径为米，上口半径为米，下口半径为米，高为24米，则该双曲线的离心率为（）

A.2 B.
C. D.
9．已知实数，满足不等式组，则的最小值为（ ）
A 2 B.3
C.4 D.5
10．设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（）

A. B.
C. D.
11．若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为（）
A. B.
C. D.
12．对数的创始人约翰·奈皮尔（John Napier，1550-1617）是苏格兰数学家．直到18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，人们才认识到指数与对数之间的天然关系对数发现前夕，随着科技的发展，天文学家做了很多的观察，需要进行很多计算，特别是大数的连乘，需要花费很长时间．基于这种需求，1594年，奈皮尔运用了独创的方法构造出对数方法．现在随着科学技术的需要，一些幂的值用数位表示，譬如，所以的数位为4．那么的数位是（）（注）
A.6 B.7
C.606 D.607
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知水平放置的是按“斜二测画法”得到如下图所示的直观图，其中，，则原的面积为______.

14．已知斜率为1的直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于，两点，若椭圆上存在点，使得的重心恰好是坐标原点，则椭圆的离心率______.
15．已知内角A，B，C的对边为a，b，c，已知，且，则c的最小值为__________.
16．设，分别是椭圆C：左、右焦点，点M为椭圆C上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则M的坐标为___________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设是首项为的等差数列的前项和，是首项为1的等比数列的前项和，为数列的前项和，为数列的前项和，已知.
（1）若，求；
（2）若，求.
18．（12分）已知圆：，定点，A是圆上的一动点，线段的垂直平分线交半径于P点
（1）求P点的轨迹C的方程；
（2）设直线过点且与曲线C相交于M，N两点，不经过点．证明：直线MQ的斜率与直线NQ的斜率之和为定值
19．（12分）已知等差数列的公差，前3项和，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
20．（12分）如图，在直三棱柱中，，分别是棱 的中点，点在线段上.

（1）当直线与平面所成角最大时，求线段的长度；
（2）是否存在这样的点，使平面与平面所成的二面角的余弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，说明理由.
21．（12分）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题
在中，内角A，，的对边分别为，，，且满足______________
（1）求；
（2）若的面积为，在边上，且，求的最小值
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
22．（10分）已知首项为1的等比数列，满足
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】设等比数列的公比为q，根据等比数列的通项公式，列出方程组，即可求得，进而可求得答案.
【详解】设等比数列公比为q，则，解得，
所以.
故选：B
2、B
【解析】分（甲乙）、（丙丁）再同一组和不在同一组两种情况讨论，按照分类、分步计数原理计算可得；
【详解】解：依题意甲乙丙丁四人再同一组，有种；
（甲乙），（丙丁）不在同一组，先从其余4人选2人与甲乙作为一组，另外2人与丙丁作为一组，再安排到两个核酸检测点，则有种，综上可得一共有种安排方法，
故选：B
3、B
【解析】判定函数单调性，再利用导数结合函数在的单调性列式计算作答.
【详解】由函数得：，当且仅当时取“=”，则在R上单调递减，
于是得函数在上单调递减，即，，即，
而在上单调递减，当时，，则，
所以k的取值范围是.
故选：B
4、A
【解析】由题目条件可得，即，然后利用复数的运算法则化简.
【详解】因为，所以，
则
故复数的虚部为.
故选：A.
【点睛】本题考查复数的相关概念及复数的乘除运算，按照复数的运算法则化简计算即可，较简单.
5、D
【解析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解
【详解】解：作出可行域，如图内部（含边界），作直线，
在中，，当直线向下平移时，增大，因此把直线向上平移，当直线过点时，
故选：D

6、A
【解析】分析：先求出A，B两点坐标得到再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可
详解：直线分别与轴，轴交于，两点
,则
点P在圆上
圆心为（2，0），则圆心到直线距离
故点P到直线的距离的范围为
则
故答案选A.
点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题
7、A
【解析】当时，显然不成立，当时，分离变量，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.
【详解】当时，可得显然不成立；
当时，由于方程可转化为，
令，可得，
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，
所以当时，函数取唯一的极大值，也是最大值，
所以，所以，即，所以实数m的取值范围.
故选：A.
8、A
【解析】以的中点О为坐标原点，建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为，设，，代入双曲线的方程，求得，得到，进而求得双曲线的离心率.
【详解】以的中点О为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则，
设双曲线的方程为，则，
可设，，
又由，在双曲线上，所以，解得，，
即，所以该双曲线的离心率为.
故选：A.

第II卷
9、B
【解析】画出可行域，找到最优解，得最值.
【详解】画出不等式组对应的可行域如下：

平行移动直线，当直线过点时，
.
故选：B.
10、C
【解析】利用导函数的图象，判断导函数的符号，得到函数的单调性以及函数的极值点，然后判断选项即可
【详解】解：由题意可知：和时，，函数是增函数，
时，，函数是减函数；
是函数的极大值点，是函数的极小值点；
所以函数的图象只能是
故选：C
11、B
【解析】求得倾斜角的正切值即得
【详解】k=tan120°=.
故选：B
12、D
【解析】根据已知条件，设，则，求出t的范围，即可判断其数位.
【详解】设，则，则，则，
，的数位是607.
故选：D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】根据直观图画出原图，再根据三角形面积公式计算可得.
【详解】解：依题意得到直观图的原图如下：

且，
所以
故答案为：
【点睛】本题考查斜二测画法中原图和直观图面积之间的关系，属于基础题
14、
【解析】设点，，坐标分别为，则根据题意有，分别将点，，的坐标代入椭圆方程得，然后联立直线与椭圆方程，利用韦达定理得到和的值，代入得到关于的齐次式，然后解出离心率.
【详解】设，，坐标分别为，
因为的重心恰好是坐标原点，则，
则，代入椭圆方程可得，
其中，所以……①
因为直线的斜率为，且过左焦点，则的方程为：，
联立方程消去可得：，
所以，……②
所以……③，
将②③代入①得，从而.
故答案为：
【点睛】本题考查椭圆的离心率求解问题，难度较大.解答时,注意，，三点坐标之间的关系，注意韦达定理在解题中的运用.
15、
【解析】先利用正弦定理边化角式子，得到，再利用正弦定理求出，根据与的关系，求得，即可求得c的最小值.
【详解】
，
即，又
，
当最大时，即，最小，且为
由正弦定理得：，
当时，c的最小值为
故答案为：
【点睛】方法点睛：在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：
（1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；
（2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；
（3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；
（4）代数变形或者三角恒等变换前置；
（5）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到.
16、
【解析】先计算出,所以,利用余弦定理求出，即可求出,即得到M的横坐标为，代入椭圆C：求出.
【详解】椭圆C：,所以.
因为M在椭圆上,.
因为M在第一象限,故.
为等腰三角形,则,所以,
由余弦定理可得.

过M作MA⊥x轴于A,则
所以,即M的横坐标为.
因为M为椭圆C：上一点且在第一象限，
所以，解得：
所以M的坐标为.
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）或
（2）
【解析】（1）列方程组解得等差数列的公差，即可求得其前项和；
（2）列方程组解得等差数列的公差和等比数列的公比，以错位相减法即可求得数列的前项和.
【小问1详解】
设的公差为，的公比为，则，，
因为
即，解之得或，
又因为，得
所以或，
故，或
【小问2详解】
因为，
所以，
所以由
解得（舍去）或，于是得，
所以，
因为
，（1）
所以，（2）
所以由（1）（2）得：

故
18、（1）；
（2）证明见解析，定值为-1.
【解析】(1)根据给定条件探求出，再利用椭圆定义即可得轨迹C的方程.
(2)由给定条件可得直线的斜率k存在且不为0，写出直线的方程，再联立轨迹C的方程，借助韦达定理计算作答.
【小问1详解】
圆：的圆心，半径为8，
因A是圆上一动点，线段的垂直平分线交半径于P点，则，
于是得，因此，P点的轨迹C是以，为左右焦点，
长轴长2a=8的椭圆，短半轴长b有，
所以P点的轨迹C的方程是.
【小问2详解】
因直线过点且与曲线C：相交于M，N两点，则直线的斜率存在且不为0，
又不经过点，即直线的斜率不等于-1，设直线的斜率为k，且，
直线的方程为：，即，
由消去y并整理得：，
，即，则有且，
设，则，
直线MQ的斜率，直线NQ的斜率，
，
所以直线MQ的斜率与直线NQ的斜率之和为定值.
19、（1）（2）
【解析】（1）由，且成等比数列列式求解出和，然后写出；（2）由，用错位相减法求和即可.
【详解】（1）∵，∴①
又∵成等比数列，∴，②
∵，由①②解得：，，
∴
（2）∵，，
∴

两式相减，得
∴
【点睛】本题考查了等差数列基本量的计算，错位相减法求和，属于中档题.
20、（1）
（2）存在， A1P=
【解析】（1）作出线面角，因为对边为定值，所以邻边最小时线面角最大；
（2）建立空间直角坐标系，由向量法求二面角列方程可得.
【小问1详解】
直线PN与平面A1B1C1所成的角即为直线PN与平面ABC所成角，
过P作,即PN与面ABC所成的角，
因为PH为定值，所以当NH最小时线面角最大，
因为当P为中点时，,此时NH最小，
即PN与平面ABC所成角最大，此时.
【小问2详解】
以AB,AC,AA1为x,y,z轴建立空间坐标系，则：
A（0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,1)
设=
，，
，设平面PMN的法向量为，
则，即，解得，
平面AC1C的法向量为
,
.
所以P点为A1B1的四等分点，且A1P=.
21、选择见解析；（1）；（2）
【解析】（1）选条件①．利用正弦定理边角互化，结合两角和的正弦公式可得，从而可得答案；选条件②．边角互化、切化弦，结合两角和的正弦公式可得，从而得答案；选条件③．边角互化，利用余弦定理可得，从而可得答案；
（2）由三角形面积公式可得得，再利用余弦定理与基本不等式可得答案.
【详解】（1）方案一：选条件①
由可得，
由正弦定理得，
因为，所以，
所以，
故，
又，
于是，即，
因为，所以
方案二：选条件②
因为，所以由正弦定理及同角三角函数的基本关系式，得，
即，
因为，所以，
又，
所以，因为，所以
方案三：选条件③
∵，
∴，即，∴，
∴
又，所以
（2）由题意知，得
由余弦定理得，当且仅当且，即，时取等号，所以的最小值为
22、（1）
（2）
【解析】（1）根据已知条件求得数列的公比，由此求得.
（2）利用错位相减求和法求得.
【小问1详解】
设等比数列的公比为，
由，可得.
故数列是以1为首项，3为公比的等比数列，
所以
【小问2详解】
由（1）得，
，①
，②
①②，得

所以