青海省海东市平安区海东二中2026届高二上数学期末预测试题含解析.doc

青海省海东市平安区海东二中2026届高二上数学期末预测试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在中，、、所对的边分别为、、，若，，，则（）
A. B.
C. D.
2．若圆上至少有三个点到直线的距离为1，则半径的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
3．已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为（ ）
A. B.
C. D.
4．已知奇函数，则的解集为（）
A. B.
C. D.
5．双曲线的离心率的取值范围为，则实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
6．若直线：与：互相平行，则a的值是（ ）
A. B.2
C.或2 D.3或
7．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A.“至少有1个白球”和“都是红球”
B.“至少有2个白球”和“至多有1个红球”
C.“恰有1个白球” 和“恰有2个白球”
D.“至多有1个白球”和“都是红球”
8．已知数列中，且满足，则（ ）
A.2 B.﹣1
C. D.
9．中国景德镇陶瓷世界闻名，其中青花瓷最受大家的喜爱，如图1这个精美的青花瓷花瓶，它的颈部（图2）外形上下对称，基本可看作是离心率为的双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面，若该颈部中最细处直径为16厘米，瓶口直径为20厘米，则颈部高为（ ）

A.10 B.20
C.30 D.40
10．设为空间中的四个不同点，则“中有三点在同一条直线上”是“在同一个平面上”的（ ）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
11．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
12．设命题，则为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知递增数列共有2021项，且各项均不为零，，如果从中任取两项，当时，仍是数列中的项，则的范围是________________，数列的所有项和________
14．已知向量，，若，则实数m的值是___________.
15．同时掷两枚骰子，则点数和为7的概率是__________.
16．已知圆，若圆的过点的三条弦的长，，构成等差数列，则该数列的公差的最大值是______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在△中，内角 所对的边分别为，已知
（1）求角的大小；
（2）若的面积 ，求的值
18．（12分）某项目的建设过程中，发现其补贴额x（单位：百万元）与该项目的经济回报y（单位：千万元）之间存在着线性相关关系，统计数据如下表：
补贴额x（单位：百万元）
2
3
4
5
6
经济回报y（单位：千万元）
2.5
3
4
4.5
6
（1）请根据上表所给的数据，求出y关于x的线性回归直线方程；
（2）为高质量完成该项目，决定对负责该项目的7名工程师进行考核.考核结果为4人优秀，3人合格.现从这7名工程师中随机抽取3人，用X表示抽取的3人中考核优秀的人数，求随机变量X的分布列与期望.
参考公式：
19．（12分）如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上.

（1）求渔船甲的速度；
（2）求的值.
20．（12分）已知动圆过点，且与直线：相切
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
（2）若过点且斜率的直线与圆心的轨迹交于两点，求线段的长度
21．（12分）在三棱柱中，侧面正方形的中心为点平面，且，点满足

（1）若平面，求的值；
（2）求点到平面的距离；
（3）若平面与平面所成角的正弦值为，求的值
22．（10分）已知数列为正项等比数列，满足，，数列满足
（1）求数列，的通项公式；
（2）若数列的前n项和为，数列满足，证明：数列的前n项和
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】利用正弦定理，以及大边对大角，结合正弦定理，即可求得.
【详解】根据题意，由正弦定理，可得：，
解得，故可得或，
由，可得，故
故选：B.
2、B
【解析】先求出圆心到直线的距离为，由此可知当圆的半径为
时，圆上恰有三点到直线的距离为，当圆的半径
时，圆上恰有四个点到直线的距离为，故半径的取值范围是，即可求出答案.
【详解】由已知条件得的圆心坐标为，
圆心到直线为，
∵圆上至少有三个点到直线的距离为1，
∴圆的半径的取值范围是，即，即半径的取值范围是.
故选：.
3、C
【解析】设直线的倾斜角为，则，解方程即可.
【详解】由已知，设直线的倾斜角为，则，又，
所以.
故选：C
4、A
【解析】先由求出的值，进而可得的解析式，对求导，利用基本不等式可判断恒成立，可判断的单调性，根据单调性脱掉，再解不等式即可.
【详解】的定义域为，因为是奇函数，
所以，可得：，
所以，
经检验是奇函数，符合题意，
所以，
因为，
所以，
当且仅当即时等号成立，
所以在上单调递增，
由可得，
即，解得：或，
所以的解集为，
故选：A.
5、C
【解析】分析可知，利用双曲线的离心率公式可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围.
【详解】由题意有，，则，解得：
故选：C.
6、A
【解析】根据直线：与：互相平行，由求解.
【详解】因为直线：与：互相平行，
所以，即，
解得或，
当时，直线：，：，互相平行；
当时，直线：，：，重合；
所以，
故选：A
7、C
【解析】结合互斥事件与对立事件的概念,对选项逐个分析可选出答案.
【详解】对于选项A, “至少有1个白球”和“都是红球”是对立事件,不符合题意;
对于选项B, “至少有2个白球”表示取出2个球都是白色的,而“至多有1个红球”表示取出的球1个红球1个白球,或者2个都是白球,二者不是互斥事件,不符合题意;
对于选项C, “恰有1个白球”表示取出2个球1个红球1个白球, 与“恰有2个白球”是互斥而不对立的两个事件,符合题意;
对于选项D, “至多有1个白球”表示取出的2个球1个红球1个白球,或者2个都是红球,与“都是红球”不是互斥事件,不符合题意.
故选C.
【点睛】本题考查了互斥事件和对立事件的定义的运用,考查了学生对知识的理解和掌握,属于基础题.
8、C
【解析】首先根据数列的递推公式求出数列的前几项，即可得到数列的周期性，即可得解；
【详解】解：因为且，所以，，，所以是周期为的周期数列，所以，
故选：C
9、B
【解析】设双曲线方程为，根据已知条件可得的值，由可得双曲线的方程，再将代入方程可得的值，即可求解.
【详解】因为双曲线焦点在轴上，设双曲线方程为
由双曲线的性质可知：该颈部中最细处直径为实轴长，所以，可得，
因为离心率为，即，可得，
所以，
所以双曲线的方程为：，
因瓶口直径为20厘米，根据对称性可知颈部最右点横坐标为，
将代入双曲线可得，解得：，
所以颈部高为，
故选：B
10、A
【解析】由公理2的推论即可得到答案.
【详解】由公理2的推论:
过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面,
可得在同一平面,
故充分条件成立;
由公理2的推论：
过两条平行直线,有且只有一个平面,
可得,
当时,
同一个平面上,
但中无三点共线,
故必要条件不成立;
故选:A
【点睛】本题考查点线面的位置关系和充分必要条件的判断,重点考查公理2及其推论;属于中档题;
公理2的三个推论：
经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面;
经过两条平行直线,有且只有一个平面;
经过两条相交直线,有且只有一个平面;
11、D
【解析】根据已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得.
故选：D.
12、D
【解析】利用含有一个量词的命题的否定的定义判断.
【详解】因为命题是全称量词命题，
所以其否定是存在量词命题，即，
故选：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、 ①. ②.1011
【解析】根据题意得到，得到，，，，进而得到，从而即可求得的值.
【详解】由题意，递增数列共有项，各项均不为零，且，
所以，所以的范围是，
因为时，仍是数列中的项，
即，且上述的每一项均在数列中，
所以，，，，
即，
所以，所以.
故答案为：；.
14、
【解析】结合已知条件和空间向量的数量积的坐标公式即可求解.
【详解】因为，
所以，解得.
故答案为：.
15、
【解析】利用古典概型的概率计算公式即得.
【详解】依题意，记抛掷两颗骰子向上的点数分别为，，则可得到数组共有组，
其中满足的组数共有6组，分别为，，，，，，
因此所求的概率等于.
故答案为：.
16、2
【解析】根据题意，求得过点的直线截圆所得弦长的最大值和最小值，即可求得公差的最大值.
【详解】圆的圆心，半径，设点为点，
因为，故点在圆内，
当直线过点，且经过圆心时，该直线截圆所得弦长取得最大值；
当直线过点，且与直线垂直时，该直线截圆所得弦长取得最小值，
此时，则满足题意的直线为，即，
又，则该直线截圆所得弦长为；
根据题意，要使得数列的公差最大，则，
故最大公差.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】（1）由正弦定理，将条件中的边化成角，可得，进而可得的值；（2）由三角形面积公式可得，再由余弦定理可得，得最后结论
试题解析：（1），又∴
又 得
（2）由， ∴
又
得， ∴ 得
考点：正弦定理；余弦定理
【易错点睛】解三角形问题的两重性：①作为三角形问题，它必须要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及其有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解题的思路；②它毕竟是三角变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”（即“统一角、统一函数、统一结构”）是使问题获得解决的突破口
18、（1）
（2）分布列答案见解析，数学期望：
【解析】（1）根据表中的数据和公式直接求解即可，
（2）由题意可知，的可能取值为0，1，2，3，然后求各自对应的概率，从而可求得分布列和期望
【小问1详解】
.
，.
.
.
【小问2详解】
由题意可知，的可能取值为0，1，2，3.
，
，
分布列为

0
1
2
3

.
19、（1）14海里小时；
（2）.
【解析】（1）由题意知，，，.
在△中，利用余弦定理求出，进而求出渔船甲的速度.
（2）在△中，，，，，
由正弦定理，即可解出的值.
【小问1详解】
(1）依题意，，，，.
在△中，由余弦定理，得

.
解得.故渔船甲的速度为海里小时.
即渔船甲的速度为14海里小时.
【小问2详解】
在△中，因为，，，，
由正弦定理，得，即.
值为.
20、（1）；（2）.
【解析】（1）由题意分析圆心符合抛物线定义，然后求轨迹方程；
（2）直接联立方程组，求出弦长.
【详解】解：（1）圆过点，且与直线相切
点到直线的距离等于
由抛物线定义可知点的轨迹是以为焦点、以为准线的抛物线，
依题意，设点的轨迹方程为，则，解得，
所以，动圆圆心的轨迹方程是
（2）依题意可知直线，设
联立，得，则，
所以，线段的长度为
【点睛】（1）待定系数法、代入法可以求二次曲线的标准方程；
（2）“设而不求”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.
21、（1）；
（2）；
（3）或.
【解析】(1)连接ME，证明即可计算作答.
(2)以为原点，的方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系，借助空间向量计算点到平面的距离即可.
(3)由(2)中空间直角坐标系，借助空间向量求平面与平面所成角的余弦即可计算作答.
【小问1详解】
在三棱柱中，因，即点在上，连接ME，如图，

因平面面，面面，则有，
而为中点，于是得为的中点，
所以.
【小问2详解】
在三棱柱中，面面，则点到平面的距离等于点到平面的距离，
又为正方形，即，而平面，
以为原点，的方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系，如图，

依题意，，则，
，
设平面的法向量为，则，令，得，
又，则到平面的距离，
所以点到平面的距离为.
【小问3详解】
因，则，，
设面的法向量为，则，令，得，
于是得，
而平面与平面所成角的正弦值为，则，即，
整理得，解得或，
所以的值是或.
【点睛】易错点睛：空间向量求二面角时，一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算.
22、（1），
（2）证明见解析
【解析】（1）将已知条件用首项和公比表示，联立方程组即可求解数列的通项公式，然后由对数的运算性质即可得数列的通项公式；
（2）由（1）求出，然后利用裂项相消求和法求出数列的前n项和，即可证明.
【小问1详解】
解：设等比数列的公比为，
由题意，得，即，解得或（舍），
又，所以，
所以，；
【小问2详解】
解：，
所以，
所以