2026届江西省上饶市广丰一中数学高二上期末综合测试试题含解析.doc

2026届江西省上饶市广丰一中数学高二上期末综合测试试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知直线l：的倾斜角为，则（）
A. B.1
C. D.－1
2．若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
3．抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A. B.
C. D.
4．已知等差数列中，，则（）
A.15 B.30
C.45 D.60
5．若，则（）
A.0 B.1
C. D.2
6．已知，若对于且都有成立，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
7．向量，向量，若，则实数（）
A. B.1
C. D.
8． “，”是“方程表示双曲线”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
9．下列语句为命题的是（）
A. B.你们好！
C.下雨了吗？ D.对顶角相等
10．已知函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
11．已知数列满足，在任意相邻两项与 (k＝1，2，…)之间插入个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列．记为数列的前n项和，则的值为（）
A.162 B.163
C.164 D.165
12．命题“，使”的否定是（ ）
A.，有 B.，有
C.，使 D.，使
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知抛物线：上有两动点，，且，则线段的中点到轴距离的最小值是___________.
14．在长方体中，设，，则异面直线与所成角的大小为______
15．在空间直角坐标系 中，已知向量，则 在轴上的投影向量为________.
16．已知函数，则曲线在处的切线方程为___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，底面分别为的中点，

（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的大小
18．（12分）如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点.

（1）求证：；
（2）求证：平面.
19．（12分）已知圆C：，直线l：.
（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；
（2）当直线l与圆C相交于A,B两点，且时，求直线l的方程.
20．（12分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，椭圆C上点M满足
（1）求椭圆C的标准方程：
（2）若过坐标原点的直线l交椭圆C于P，Q两点，求线段PQ长为时直线l的方程
21．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别是，，离心率为，过且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1
（1）求椭圆C方程；
（2）设点P在直线上，过点P的两条直线分别交曲线C于A，B两点和M，N两点，且，求直线AB的斜率与直线MN的斜率之和
22．（10分）已知椭圆：，是坐标原点，，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，过作的外角的平分线的垂线，垂足为，且
（1）求椭圆方程：
（2）设直线：与椭圆交于，两点，且直线，，的斜率之和为0（其中为坐标原点）
①求证：直线经过定点，并求出定点坐标：
②求面积的最大值
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】由倾斜角求出斜率，列方程即可求出m.
【详解】因为直线l的倾斜角为，所以斜率.
所以，解得：.
故选：A
2、B
【解析】分析可得，再将点代入双曲线的方程，求出的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】，则，，则双曲线的方程为，
将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，
因此，双曲线的方程为.
故选：B
3、C
【解析】根据抛物线方程求出焦点坐标与准线方程，即可得解；
【详解】解：因为抛物线方程为，所以焦点坐标为，准线的方程为，所以焦点到准线的距离为；
故选：C
4、D
【解析】根据等差数列的性质，可知，从而可求出结果.
【详解】解：根据题意，可知等差数列中，，
则，
所以.
故选：D.
5、D
【解析】由复数的乘方运算求，再求模即可.
【详解】由题设，，故2.
故选：D
6、D
【解析】根据题意转化为对于且时，都有恒成立，构造函数，转化为时，恒成立，求得的导数，转化为在上恒成立，即可求解.
【详解】由题意，对于且都有成立，
不妨设，可得恒成立，
即对于且时，都有恒成立，
构造函数，
可转化为，函数为单调递增函数，
所以当时，恒成立，
又由，所以在上恒成立，
即在上恒成立，
又由，所以，
即实数取值范围为.
故选：D
7、C
【解析】由空间向量垂直的坐标表示列方程即可求解.
【详解】因为向量，向量，若，
则，解得：，
故选：C.
8、A
【解析】根据双曲线的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可
【详解】由，可知方程表示焦点在轴上的双曲线；
反之，若表示双曲线，则，即，或，
所以“，”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件
故选：A
9、D
【解析】根据命题的定义判断即可.
【详解】因为能够判断真假的语句叫作命题，所以ABC错误，D正确.
故选：D
10、D
【解析】由题意转化为，恒成立，参变分离后转化为，求函数的最大值，即可求解.
【详解】函数的定义域是，
，
若函数在定义域内单调递减，即在恒成立，
所以，恒成立，即
设，，
当时，函数取得最大值1，所以.
故选：D
11、C
【解析】确定数列的前70项含有的前6项和64个2，从而求出前70项和.
【详解】，其中之间插入2个2，之间插入4个2，之间插入8个2，之间插入16个2，之间插入32个2，之间插入64个2，由于，，故数列的前70项含有的前6项和64个2，故
故选：C
12、B
【解析】根据特称命题的否定是全称命题即可得正确答案
【详解】存在量词命题的否定，只需把存在量词改成全称量词，并把后面的结论否定，
所以“，使”的否定为“，有”，
故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、2
【解析】设抛物线的焦点为，由，结合抛物线的定义可得线段的中点到轴距离的最小值.
【详解】设抛物线的焦点为，点在抛物线的准线上的投影为，点在直线上的投影为，线段的中点为，点到轴的距离为，则

,
∴ ，当且仅当即三点共线时等号成立，
∴ 线段的中点到轴距离的最小值是2，
故答案为：2.

14、##
【解析】建立空间直角坐标系，用向量法即可求出异面直线与所成的角.
【详解】以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则,
所以，
因为，所以，即，
所以异面直线与所成的角为.

故答案为：90°.
15、
【解析】根据向量坐标意义及投影的定义得解.
【详解】因为向量，所以 在轴上的投影向量为.
故答案为:
16、
【解析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程
【详解】解：∵，∴，又，
∴曲线在点处的切线方程为，即.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）依题意可得平行四边形是矩形，即可得到，再由及面面垂直的性质定理得到平面，从而得到，即可得到平面，从而得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值，即可得解；
【小问1详解】
证明：因为为的中点，，所以，
又，所以四边形为平行四边形，
因为，所以平行四边形是矩形，所以，
因为，所以，
又因为平面平面，平面平面面，
所以平面，因为面，所以，
又因为，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面；
【小问2详解】
解：由（1）可得：两两垂直，如图，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，

则
则，
设平面的一个法向量，
由则，令，则，所以，
设平面的一个法向量，
所以，根据图像可知二面角为锐二面角，所以二面角的大小为；
18、（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）由直棱柱的性质可得，由勾股定理可得，由线面垂直判定定理即可得结果；
（2）取的中点，连结和，通过线线平行得到面面，进而得结果.
【详解】（1）∵直三棱柱，∴面，∴，
又∵，，，∴，∴，
∵，∴面，∴

（2）取的中点，连结和，
∵，且，
∴四边形为平行四边形，
∴，面，∴面，
∵，且，∴四边形平行四边形，
∴，面，∴面，
∵，
∴面面，∴平面.
【点睛】方法点睛：线面平行常见的证明方法：
（1）通过构造相似三角形（三角形中位线），得到线线平行；
（2）通过构造平行四边形得到线线平行；
（3）通过线面平行得到面面平行，再得线面平行.
19、（1）；
（2）或.
【解析】（1）根据圆心到直线的距离d等于圆的半径r即可求得答案；
（2）由并结合（1）即可求得答案.
【小问1详解】
由圆：，可得，
其圆心为，半径, 若直线与圆相切，则圆心到直线：距离，即，可得：.
【小问2详解】
由（1）知圆心到直线的距离，因为，即，解得：，所以，整理可得：，
解得：或，则直线的方程为或.
20、（1）
（2）
【解析】（1）依题意可得，即可求出、，即可求出椭圆方程；
（2）首先求出直线斜率不存在时弦显然可得直线的斜率存在，设直线方程为、、，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，再根据弦长公式得到方程，求出，即可得解；
【小问1详解】
解：依题意，解得，所以椭圆方程为；
【小问2详解】
解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，不符合题意；所以直线的斜率存在，设直线方程为，则，消元整理得，设，，则，，所以，即，解得，所以直线的方程为；
21、（1）
（2）0
【解析】（1）由条件得和，再结合可求解；
（2）设直线AB的方程为：，与椭圆联立，得到，同理得，再根据题中的条件化简整理可求解.
【小问1详解】
因为椭圆的离心率为，
所以，所以①
又因为过且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1，
所以②，由①②可知，所以，
，所以椭圆C的方程为
【小问2详解】
因为点P在直线上，所以设点，
由题可知，直线AB的斜率与直线MN的斜率都存在
所以直线AB的方程为：，即，
直线MN的方程为：，即，
设，，，，
所以，消去y可得，，
整理可得，
且所以，，
又因为，
，
所以

，
同理可得，
又因为，所以，
又因为，，，都是长度，所以，
所以，整理可得，
又因为，所以，
所以直线AB的斜率与直线MN的斜率之和为0

22、（1）；（2）①证明见解析，；②.
【解析】（1）根据椭圆的定义以及角平分线的性质可得，，结合点在椭圆上，以及即可求出的值，进而可得椭圆的方程.
（2）①设，，联立直线与椭圆方程，求得，，利用斜率之和等于得出关于的方程，解得即可得所过的定点，②由弦长公式求出，点到直线的距离公式求得高，由面积公式表示三角形的面积，利用基本不等式即可求最值.
【详解】（1）如图，由题意可知，由椭圆定义知，则
，连接，所以，所以

又在椭圆上则，解得：，，
所以椭圆的方程为：；
（2）①证明：设，，
联立，整理可得：，
所以，可得，
，，
设直线，，的斜率为，，，因为直线，，的斜率之和为0，所以，即所以，由，所以，
所以直线恒过定点；
②由①可得：，
原点到直线的距离，
所以，
因为，当且仅当时，
即，即时取等号，
所以，即面积的最大值为1
【点睛】解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：