2025年常德市重点中学数学高二第一学期期末统考试题含解析.doc

2025年常德市重点中学数学高二第一学期期末统考试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知两直线方程分别为l1：x＋y＝1，l2：ax＋2y＝0，若l1⊥l2，则a＝（ ）
A 2 B.－2
C. D.
2．如图，函数的图象在P点处的切线方程是,若点的横坐标是5，则 (　　)

A. B.1
C.2 D.0
3．当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（）
A.三点确定一平面 B.不共线三点确定一平面
C.两条相交直线确定一平面 D.两条平行直线确定一平面
4．甲、乙两名同学8次考试的成绩统计如图所示，记甲、乙两人成绩的平均数分别为，，标准差分别为，，则（）

A.＞，＜ B.＞，＞
C.＜，＜ D.＜，＞
5．某城市2017年的空气质量状况如下表所示：
污染指数
30
60
100
110
130
140
概率

其中污染指数时，空气质量为优；时，空气质量为良；时，空气质量为轻微污染，该城市2017年空气质量达到良或优的概率为（ ）
A. B.
C. D.
6．若a>b，c>d，则下列不等式中一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7．已知数列满足：，，则（）
A. B.
C. D.
8．在中，角所对的边分别为，，，则外接圆的面积是（ ）
A. B.
C. D.
9．若直线与直线垂直，则（ ）
A.6 B.4
C. D.
10．设,,,则,,大小关系为
A. B.
C. D.
11．双曲线型自然通风塔外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如图所示，它的最小半径为米，上口半径为米，下口半径为米，高为24米，则该双曲线的离心率为（）

A.2 B.
C. D.
12．已知，，，，则下列不等关系正确的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知直线与直线平行，则直线，之间的距离为__________.
14．设为第二象限角，若，则__________
15．已知正方体的棱长为为的中点，为面内一点．若点到面的距离与到直线的距离相等，则三棱锥体积的最小值为__________
16．如图所示，在直二面角D－AB－E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中，则点D到平面ACE的距离为________

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆的离心率为，且其左顶点到右焦点的距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设点、在椭圆上，以线段为直径的圆过原点，试问是否存在定点，使得到直线的距离为定值？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说理由.
18．（12分）已知椭圆C：的右顶点为A，上顶点为B．离心率为，
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设椭圆的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于D，E两点，直线：与x轴相交于点H，过点D作，垂足为
①求四边形ODHE（O为坐标原点）面积的取值范围；
②证明：直线过定点G，并求点G的坐标
19．（12分）已知抛物线C：，经过的直线与抛物线C交于A，B两点
（1）求的值（其中为坐标原点）；
（2）设F为抛物线C的焦点，直线为抛物线C的准线，直线是抛物线C的通径所在的直线，过C上一点P（）（）作直线与抛物线相切，若直线与直线相交于点M，与直线相交于点N，证明：点P在抛物线C上移动时，恒为定值，并求出此定值
20．（12分）如图，在平面直角标系中，已知n个圆与x轴和线均相切，且任意相邻的两个圆外切，其中圆.

（1）求数列通项公式；
（2）记n个圆的面积之和为S，求证：.
21．（12分）已知圆，圆，动圆与圆外切，且与圆内切.
（1）求动圆圆心的轨迹的方程，并说明轨迹是何种曲线；
（2）设过点的直线与直线交于两点，且满足的面积是面积的一半，求的面积
22．（10分）如图，在直三棱柱中，，分别是棱 的中点，点在线段上.

（1）当直线与平面所成角最大时，求线段的长度；
（2）是否存在这样的点，使平面与平面所成的二面角的余弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，说明理由.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】直接利用直线垂直公式计算得到答案.
【详解】因为l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即-＝1，解得a＝－2.
故选：
【点睛】本题考查了根据直线垂直计算参数，属于简单题.
2、C
【解析】函数的图象在点P处的切线方程是，所以，在P处的导数值为切线的斜率，2，故选C
考点：本题主要考查导数的几何意义
点评：简单题，切线的斜率等于函数在切点的导函数值
3、B
【解析】自行车前后轮与撑脚分别接触地面，使得自行车稳定,此时自行车与地面的三个接触点不在同一条线上.
【详解】自行车前后轮与撑脚分别接触地面，此时三个接触点不在同一条线上,所以可以确定一个平面，即地面，从而使得自行车稳定.
故选B项.
【点睛】本题考查不共线的三个点确定一个平面，属于简单题.
4、A
【解析】根据折线统计图，结合均值、方差的实际含义判断、及、的大小.
【详解】由统计图知：甲总成绩比乙总成绩要高，则＞，
又甲成绩的分布比乙均匀，故＜.
故选：A.
5、A
【解析】根据互斥事件的和的概率公式求解即可.
【详解】由表知空气质量为优的概率是，
由互斥事件的和的概率公式知，空气质量为良的概率为，
所以该城市2017年空气质量达到良或优的概率，
故选：A
【点睛】本题主要考查了互斥事件，互斥事件和的概率公式，属于中档题.
6、B
【解析】根据不等式的性质及反例判断各个选项.
【详解】因为c>d，所以，所以，所以B正确；
时，不满足选项A；
时，，且，所以不满足选项CD；
故选：B
7、A
【解析】由a1＝3，，利用递推思想，求出数列的前11项，推导出数列{an}从第6项起是周期为3的周期数列，由此能求出a2022
【详解】解：∵数列{an}满足：a1＝3，，
∴a2＝3a1+1＝10，5，a4＝3a3+1＝16，
a58，4，a72，a81，
a9＝3a8+1＝4，a102，a111，
∴数列{an}从第6项起是周期为3的周期数列，
∵2022＝5+672×3+1，
∴a2022＝a6＝4
故选：A
8、B
【解析】利用余弦定理可得，然后利用正弦定理可得，即求.
【详解】因为，所以，
由余弦定理得，，
所以，
设外接圆的半径为，由正统定理得，，
所以，
所以外接圆的面积是.
故选：B.
9、A
【解析】由两条直线垂直的条件可得答案.
【详解】由题意可知，即
故选：A.
10、C
【解析】由,可得,,故选C.
考点：指数函数性质
11、A
【解析】以的中点О为坐标原点，建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为，设，，代入双曲线的方程，求得，得到，进而求得双曲线的离心率.
【详解】以的中点О为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则，
设双曲线的方程为，则，
可设，，
又由，在双曲线上，所以，解得，，
即，所以该双曲线的离心率为.
故选：A.

第II卷
12、C
【解析】不等式性质相关的题型，可以通过举反例的方式判断正误.
【详解】若、均为负数，因为，则，故A错.
若、，则，故B错.
由不等式的性质可知，因为，所以，故C对.
若，因为，所以，故D错.
故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】利用直线平行与斜率之间的关系、点到直线的距离公式即可得出
【详解】解：因为直线与直线平行，
所以，解得，
当时，，，则
故答案为：
【点睛】熟练运用直线平行与斜率之间的关系、点到直线的距离公式，是解题关键
14、
【解析】先求出，再利用二倍角公式求的值.
【详解】因为为第二象限角，若，
所以.
所以.
故答案为
【点睛】本题主要考查同角三角函数的平方关系，考查二倍角的正弦公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
15、##
【解析】由题意可知，点在平面内的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，如图在底面建立平面直角坐标系，求出抛物线方程，直线的方程，将直线向抛物线平移，恰好与抛物线相切时，切点为点，此时的面积最小，则三棱锥体积的最小
【详解】因为为面内一点，且点到面的距离与到直线的距离相等，
所以点在平面内的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，
如图在底面，以所在的直线为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系，则,
设抛物线方程为，则，得，所以抛物线方程为，，
直线的方程为，即，
设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为，
由，得，
由，得，所以与抛物线相切的直线为，
此时切点为，且的面积最小，
因为点到直线的距离为，
所以的面积的最小值为，
所以三棱锥体积的最小值为，
故答案为：

16、
【解析】建立合适空间直角坐标系，分别表示出点的坐标，然后求解出平面的一个法向量，利用公式求解出点到平面的距离.
【详解】以AB的中点O为坐标原点，分别以OE，OB所在的直线为x轴、y轴，过垂直于平面的方向为轴，
建立如下图所示的空间直角坐标系，

则，
，
设平面ACE的法向量，则，即，
令，∴
故点D到平面ACE的距离.
故答案：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）存在，.
【解析】（1）由题设可知求出，再结合，从而可求出椭圆的方程，
（2）①若直线与轴垂直，由对称性可知，代入椭圆方程可求得结果，②若直线不与轴垂直，设直线的方程为，将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去，然后利用根与系数的关系，设，，再由条件，得，从而得，再利用点到直线的距离公式可求得结果
【详解】（1）由题设可知解得，，，
所以椭圆的方程为：；
（2）设，，
①若直线与轴垂直，由对称性可知，
将点代入椭圆方程，解得，
原点到该直线的距离；
②若直线不与轴垂直，设直线的方程为，
由消去得，
则由条件，即，
由韦达定理得，
整理得，则原点到该直线的距离；
故存在定点，使得到直线的距离为定值.
18、（1）；
（2）①；②详见解析；.
【解析】（1）由题得，即求；
（2）①由题可设，利用韦达定理法可得，进而可得四边形ODHE面积，再利用对勾函数的性质可求范围；②由题可得，令，通过计算可得，即得.
【小问1详解】
由题可得，
解得，
∴椭圆C的标准方程.
【小问2详解】
①由题可知，可设直线，，
由，可得，
∴，，
∴，
∴四边形ODHE面积，
令，则，
因为，所以，当时，取等号，
∴，
∴四边形ODHE面积取值范围为；
②由上可得，直线，
令，得，
由，可得，
∴，
∴直线过定点G.
19、（1）
（2）证明见解析，定值为
【解析】（1）设出直线的方程并与抛物线方程联立，结合根与系数关系求得.
（2）求得过点的抛物线的切线方程，由此求得两点的坐标，通过化简来证得为定值，并求得定值.
【小问1详解】
依题意可知直线的斜率不为零，设直线的方程为，
设，
，消去并化简得，
所以，
所以.
小问2详解】
抛物线方程为，焦点坐标为，
准线，通径所在直线，
在抛物线上，且，
所以过点的抛物线的切线的斜率存在且不为零，
设过点的切线方程为，
由消去并化简得，
，
将代入上式并化简得，解得，
所以切线方程为，
令得，
令得，
，
将代入上式并化简得，
所以为定值，且定值为.
20、（1）.
（2）证明见解析.
【解析】（1）由已知得，设圆分别切轴于点，过点作，垂足为.在从而有得，由等比数列的定义得数列是以为首项，为公比的等比数列.由此求得答案；
（2）由（1）得再由圆的面积公式和等比数列求和公式计算可得证.
【小问1详解】
解：直线的倾斜角为则圆心在直线上，，

设圆分别切轴于点，过点作，垂足为.在中，
所以即化简得，变形得，
所以是以为首项，为公比的等比数列.
，.
【小问2详解】
解：由（1）得
所以，
所以.
21、（1）
（2）或
【解析】（1）设圆的半径为，圆的半径为，圆的半径为，由题意，，从而可得，由椭圆的定义即可求解；
（2）由题意，直线的斜率存在且不为0，设，，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理及点为线段的中点，可得，利用弦长公式求出及到直线AB的距离即可得的面积.
【小问1详解】
解：圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，设圆的半径为，
由题意，，所以，
由椭圆的定义可知，动圆圆心的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆，
则，所以，
所以动圆圆心的轨迹的方程为；
【小问2详解】
解：由题意，直线的斜率存在且不为0，设，，
由，可得，
所以①，②，且，即，
因为的面积是面积的一半，所以点为线段的中点，
所以，即③，
联立①②③可得，所以，
因为到直线AB的距离，，
所以，
所以当时，，当时，.
所以的面积为或.
22、（1）
（2）存在， A1P=
【解析】（1）作出线面角，因为对边为定值，所以邻边最小时线面角最大；
（2）建立空间直角坐标系，由向量法求二面角列方程可得.
【小问1详解】
直线PN与平面A1B1C1所成的角即为直线PN与平面ABC所成角，
过P作,即PN与面ABC所成的角，
因为PH为定值，所以当NH最小时线面角最大，
因为当P为中点时，,此时NH最小，
即PN与平面ABC所成角最大，此时.
【小问2详解】
以AB,AC,AA1为x,y,z轴建立空间坐标系，则：
A（0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,1)
设=
，，
，设平面PMN的法向量为，
则，即，解得，
平面AC1C的法向量为
,
.
所以P点为A1B1的四等分点，且A1P=.