2025-2026学年广西岑溪市数学高二第一学期期末考试试题含解析.doc

2025-2026学年广西岑溪市数学高二第一学期期末考试试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量，，且与互相垂直，则k的值是（ ）.
A.1 B.
C. D.
2．已知函数，则函数在区间上的最小值为（）
A. B.
C. D.
3．知点分别为圆上的动.点，为轴上一点，则的最小值（ ）
A. B.
C. D.
4．2020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗.1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近.为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，，，，分别是大星中心点与四颗小星中心点的联结线，，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为（）

A. B.
C. D.
5．在长方体，，则异面直线与所成角的余弦值是（）
A. B.
C. D.
6．（ ）
A.-2 B.0
C.2 D.3
7．在等差数列中，，，则数列的公差为（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
8．如图，在直三棱柱中，且，点E为中点．若平面过点E，且平面与直线AB所成角和平面与平面所成锐二面角的大小均为30°，则这样的平面有（ ）

A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
9．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为
A. B.
C. D.
10．已知直线l和抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，且，交AB于点D，点D的坐标为，则p的值为（）
A. B.1
C. D.2
11．已知直线为抛物线的准线，直线经过抛物线的焦点，与抛物线交于点，则的最小值为（）
A. B.
C.4 D.8
12．已知直线与直线垂直，则a＝（）
A.3 B.1或﹣3
C.﹣1 D.3或﹣1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设实数、满足约束条件，则的最小值为___________.
14．已知函数，则函数在区间上的平均变化率为___________.
15．若不等式的解集是，则的值是___________.
16．直线的倾斜角为______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，，，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，设数列的前项和为，求.
18．（12分）已知抛物线的焦点为，点在第一象限且为抛物线上一点，点在点右侧，且△恰为等边三角形
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线与交于两点，向量的夹角为（其中为坐标原点），求实数的取值范围.
19．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=1，BC=2，∠ABC=60°，四边形ACEF为正方形，且平面ABCD⊥平面ACEF

（1）证明：AB⊥CF；
（2）求点C到平面BEF距离；
（3）求平面BEF与平面ADF夹角的正弦值
20．（12分）设函数.
（1）若在点处的切线为，求a，b的值；
（2）求的单调区间.
21．（12分）已知某电器市场由甲、乙、丙三家企业占有，其中甲厂产品的市场占有率为40％，乙厂产品的市场占有率为36％，丙厂产品的市场占有率为24％，甲、乙、丙三厂产品的合格率分别为，，
（1）现从三家企业的产品中各取一件抽检，求这三件产品中恰有两件合格的概率；
（2）现从市场中随机购买一台该电器，则买到的是合格品的概率为多少？
22．（10分）已知圆，点
（1）若点在圆外部，求实数的取值范围；
（2）当时，过点的直线交圆于，两点，求面积的最大值及此时直线l的斜率
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】利用向量的数量积为0可求的值.
【详解】因与互相垂直，故，
故即，故.
故选：D.
2、B
【解析】根据已知条件求得以及，利用导数判断函数的单调性，即可求得函数在区间上的最小值.
【详解】因为，故可得，则，
又，令，解得，令，解得，
故在单调递减，在单调递增，又，
故在区间上的最小值为.
故选：.
3、B
【解析】求出圆关于轴的对称圆的圆心坐标，以及半径，然后求解圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出的最小值.
【详解】圆关于轴的对称圆的圆心坐标，半径为1，圆的圆心坐标为，半径为1，
∴若与关于x轴对称，则，即，
当三点不共线时，
当三点共线时，
所以
同理(当且仅当时取得等号)
所以
当三点 共线时，
当三点不共线时，
所以
∴的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，
∴.
故选：B.

4、C
【解析】由五角星的内角为，可知，又平分第三颗小星的一个角，过作轴平行线，则，即可求出直线的倾斜角.
【详解】都为五角星的中心点，平分第三颗小星的一个角，
又五角星的内角为，可知，
过作轴平行线，则，所以直线的倾斜角为，
故选：C

【点睛】关键点点睛：本题考查直线倾斜角，解题的关键是通过做辅助线找到直线的倾斜角，通过几何关系求出倾斜角，考查学生的数形结合思想，属于基础题.
5、A
【解析】在长方体中建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，进而求得向量，的坐标，利用向量的夹角公式即可求得答案.
详解】如图，

由题意可知DA，DC，两两垂直，则以D为原点，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系.
设，则，，，，
，，
从而，
故异面直线与所成角的余弦值是，
故选：A.
6、C
【解析】根据定积分公式直接计算即可求得结果
【详解】由
故选：C
7、B
【解析】将已知条件转化为的形式，由此求得.
【详解】在等差数列中，设公差为d，
由，，得，解得.
故选：B
8、B
【解析】构造出长方体，取中点连接然后利用临界位置分情况讨论即可.
【详解】
如图，构造出长方体，取中点，连接
则所有过点与成角的平面，均与以为轴的圆锥相切，过点绕且与成角，
当与水平面垂直且在面的左侧（在长方体的外面）时，与面所成角为75°（与面成45°，与成30°），过点绕旋转，转一周，90°显然最大，到了另一个边界（在面与之间）为15度，
即与面所成角从75°→90 °→15°→90 °→75°变化，
此过程中，有两次角为30 ，
综上，这样的平面α有2个，
故选：B.
9、A
【解析】每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为p=选A
10、B
【解析】由垂直关系得出直线l方程，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理以及数量积公式得出p的值.
【详解】，，即
联立直线和抛物线方程得
设，则

解得
故选：B
11、D
【解析】先求抛物线的方程，再联立直线方程和抛物线方程，由弦长公式可求的最小值.
【详解】因为直线为抛物线的准线，故即，
故抛物线方程为：.
设直线，则，，
而，当且仅当等号成立，
故的最小值为8，
故选：D.
12、D
【解析】根据，得出关于的方程，即可求解实数的值.
【详解】直线与直线垂直，
所以，解得或.
故选：D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、2
【解析】画出不等式组对应的可行域，平移动直线后可得目标函数的最小值.
【详解】不等式组对应的可行域如图所示：

将初始直线平移至点时，可取最小值，
由可得，故，
故答案为：2.
14、3
【解析】根据平均变化率的定义即可计算.
【详解】设，因，，
所以.
故答案为：3
15、
【解析】利用和是方程的两根，再利用根与系数的关系即可求出和的值，即可得的值.
【详解】由题意可得：方程的两根是和，
由根与系数的关系可得：，所以，所以，
故答案为：
16、
【解析】把直线方程化为斜截式，再利用斜率与倾斜角的关系即可得出
【详解】设直线的倾斜角为
由直线化为，故，
又，故，故答案为
【点睛】一般地，如果直线方程的一般式为，那么直线的斜率为，且，其中为直线的倾斜角，注意它的范围是

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），；（2）.
【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为,根据题意列出表达式，解出公比和公差，再根据等差数等比列的通项公式的求法求出通项即可；（2）根据第一问得到前n项和，数列,分组求和即可.
解析：
(1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
∵，，，，∴，
∴，，∴，.
(2)由(1)知，，∴，
∴.
18、（1）
（2）
【解析】（1）根据△恰为等边三角形由题意知：得到，再利用抛物线的定义求解；
（2）联立，结合韦达定理，根据的夹角为，由求解.
【小问1详解】
解：由题意知：，
由抛物线的定义知：，
由，解得，
所以抛物线方程为；
【小问2详解】
设，
由，得，
则，，
则，，
因为向量的夹角为，
所以，
，
则，且，
所以，解得，
所以实数的取值范围.
19、（1）证明见解析；
（2）；
（3）.
【解析】(1)利用余弦定理计算AC，再证明即可推理作答.
(2)以点A为原点，射线AB，AC，AF分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，借助空间向量计算点C到平面BEF的距离.
(3)利用(2)中坐标系，用向量数量积计算两平面夹角余弦值，进而求解作答.
小问1详解】
在中，AB=1，BC=2，∠ABC=60°，由余弦定理得，
，即，有，则，即，
因平面ABCD⊥平面ACEF，平面平面，平面，
于是得平面，又平面，
所以.
【小问2详解】
因四边形ACEF为正方形，即，由(1)知两两垂直，
以点A为原点，射线AB，AC，AF分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，

，
，设平面的一个法向量，
则，令，得，
而，于是得点C到平面BEF的距离，
所以点C到平面BEF的距离为.
【小问3详解】
由(2)知，，设平面的一个法向量，
则，令，得，
，设平面BEF与平面ADF夹角为，，
则有，，
所以平面BEF与平面ADF夹角的正弦值为.
【点睛】易错点睛：空间向量求二面角时，一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算
20、（1），；
（2）答案见解析.
【解析】（1）已知切线求方程参数，第一步求导，切点在曲线，切点在切线，切点处的导数值为切线斜率.
(2)第一步定义域，第二步求导，第三步令导数大于或小于0，求解析，即可得到答案.
【小问1详解】
的定义域为，，
因为在点处的切线为，
所以，所以；所以
把点代入得：.
即a，b的值为：，.
【小问2详解】
由（1）知：.
①当时，在上恒成立，所以在单调递减；
②当时，令，解得：，
列表得：
x

-
0
+

单调递减
极小值
单调递增
所以，时，的递减区间为，单增区间为.
综上所述：当时，在单调递减；
当时，的递减区间为，单增区间为.
【点睛】导函数中得切线问题第一步求导，第二步列切点在曲线，切点在切线，切点处的导数值为切线斜率这三个方程，可解切线相关问题.
21、（1）
（2）
【解析】（1）由相互独立事件的概率可得；
（2）根据各产品的市场占有率和合格率，由条件概率公式计算可得.
【小问1详解】
记随机抽取甲乙丙三家企业的一件产品，产品合格分别为事件，，，
则三个事件相互独立，恰有两件产品合格为事件D，
则

故从三家企业的产品中各取一件抽检，则这三件产品中恰有两件合格的概率是
【小问2详解】
记事件B为购买的电器合格，
记随机买一件产品，买到的产品为甲乙丙三个品牌分别为事件，，，
，，，，，，

故在市场中随机购买一台电器，买到的是合格品的概率为
22、（1）；（2）最大值为2，
【解析】（1）根据题意，将圆的方程变形为标准方程，由点与圆的位置关系可得，求解不等式组得答案；
（2）当时，圆的方程为，求出圆心与半径，设，则，分析可得面积的最大值，结合直线与圆的位置关系可得圆心到直线的距离，设直线的方程为，即，由点到直线的距离公式列式求得的值
【详解】解：（1）根据题意，圆，即，
若在圆外，则有，
解得：，
即的取值范围为；
（2）当时，圆的方程为，圆心为，半径，
设，则，
当时，面积取得最大值，且其最大值为2，此时为等腰直角三角形，圆心到直线的距离，
设直线的方程为，即，
则有，解得，
即直线的斜率
【点睛】易错点点睛：本题第一问解答过程中，容易忽视二元二次方程表示圆的条件，导致出错，解题的时候要考虑周全，考查运算求解能力，是中档题.