第二节 离散型随机变量及其概率分布.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,随机变量及其分布,第二节 离散型随机变量,及其概率分布,一、离散型随机变量的概率分布,从中任取,3,个球，,取到的白球数,X,是一个随机变量,.,(1),X,可能取的值是,0,1,2;,(2),取每个值的概率为,引例,这样，我们就掌握了,X,这个随机变量取值的概率规律,.,且,一、离散型随机变量的概率分布,研究离散型随机变量概率分布，即寻找随机变量所有可能的取值以及取每个值所对应的概率。,1,、离散型随机变量的定义,分布函数可以研究离散型随机变量的概率分布，除此之外，针对离散型特点，我们引入研究离散型随机变量的重要工具,概率分布律（列）,一、离散型随机变量的概率分布,2,、离散型随机变量的概率分布,定义,：设,x,k,(,k,=1,2,),是离散型随机变量,X,所取的一切可能值，称,为,离散型随机变量,X,的分布律,.,概率分布列,概率分布阵,一、离散型随机变量的概率分布,3,、性质,用这两条性质,判断一个函数,是否是分布律,注意：,只有离散型才有概率分布列。,思考：,下列两个等式一样么？,解,:,依据分布律的性质,P,(,X,=,k,)0,a,0,从中解得,即,例,1,设随机变量,X,的分布律为,k,=0,1,2,试确定常数,a,.,一、离散型随机变量的概率分布,例,2,某篮球运动员投中篮圈概率是,0.9,，求他两次独立投篮投中次数,X,的概率分布,.,解：,X,可取值为,0,1,2,P,X,=0=(0.1)(0.1)=0.01,P,X,=1=2(0.9)(0.1)=0.18,P,X,=2=(0.9)(0.9)=0.81,一、离散型随机变量的概率分布,即,一、离散型随机变量的概率分布,例,3,设随机变量,X,的分布列为,求：常数,a,，,P,(,X,1),，,P,(-2,X,0),，,P,(,X,2).,解：,由归一性,得,P,(,X,1),P,(-2,X,0),=P,(,X,=-2)+,P,(,X,=-1)+,P,(,X,=0)=5/8,=,P,(,X,=-1)+,P,(,X,=0)=1/2,P,(,X,2),=,P,(,X,=2)=1/4,一、离散型随机变量的概率分布,小结：,即：离散型随机变量落入任何区间内的概率，等于该区间内所有正概率点对应概率之和。,练习,1,某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中的概率是,p,，,求射击发数,X,的分布律,.,解,:,X,可能取的值是,1,2,，,P,X,=1=,P,(,A,1,)=,p,为计算,P,X,=,k,，,k,=1,2,，,A,k,=,第,k,发命中,，,k,=1,2,，,设,于是,一、离散型随机变量的概率分布,分布律为,二、离散型随机变量的分布函数,随机变量的分布函数同样可以描述随机变量落入任意区间的概率，那么分布函数与离散型分布列有什么关系呢？,二、离散型随机变量的分布函数,当,x,0,时,，,X,x,=,，,故,F,(,x),=0,例,4,设随机变量,X,的分布律为,当,0,x,1,时,，,F,(,x,)=,P,X,x,=,P,(,X,=0)=,F,(,x,),=P,(,X,x,),解,X,求,X,的分布函数,F,(,x,),.,当,1,x,2,时,，,F,(,x,)=,P,X,=0+,P,X,=1=+=,当,x,2,时,，,F,(,x,)=,P,X,=0+,P,X,=1+,P,X,=2=1,二、离散型随机变量的分布函数,故,特点：,下面我们从图形上来看一下,.,1.,分段函数,2.,右连续,3.,X,取值点为分界点,4.,分段区间左闭右开,二、离散型随机变量的分布函数,的分布函数图,二、离散型随机变量的分布函数,特点：,阶梯曲线,在,x,k,处有跳跃,跳跃值为,P,X=,x,k,=,p,k,X,二、离散型随机变量的分布函数,总结：,设离散型随机变量,X,的分布律为,P,X=,x,k,=,p,k,k=,1,2,3,F,(,x,)=,P,(,X,x,)=,即,F,(,x,),是,X,取 的诸值,x,k,的概率之和,.,则其分布函数为,例,5,一个靶子是半径为,2m,的圆盘,设击中靶上任,一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能中靶,以,X,表示弹着点与圆心的距离,.,试求随机变量,X,的分布函数,.,解,二、离散型随机变量的分布函数,于是,故,X,的分布函数为,其图形为一连续曲线,二、离散型随机变量的分布函数,二、离散型随机变量的分布函数,练习,2,设随机变量,X,的分布列为,求：,F,(,x,).,三、几种常见离散型随机变量的概率分布,1、单点分布（或退化分布）,若随机变量,X,的全部可能取值为常数,c,，即“,X=c,”,是必然事件，其概率分布为,P,(,X=c,)=1,则称,X,服从,单点分布,(,或退化分布,).,例如，从一批全是合格品的产品中，任取,c,件进行合格性检查，若以,X,表示所取到的合格品数，则“,X=c,”,是必然事件，其概率分布为,P,(,X=c,)=1.,三、几种常见离散型随机变量的概率分布,2,、两点分布（或,0-1,分布、伯努利分布）,设随机变量,X,只可能取,0,与,1,两个值,它的分布律为,则称,X,服从,(0-1,),分布或两点分布,.,三、几种常见离散型随机变量的概率分布,例如,200,件产品中，有,190,件合格品,10,件不合格品，现从中随机抽取一件，若规定,取得不合格品,取得合格品,.,则随机变量,X,服,从,两点,分布,.,两点分布是最简单的一种分布,任何一个,只有两种可能结果,的随机现象,比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等,都属于两点分布,.,三、几种常见离散型随机变量的概率分布,3,、独立重复试验与二项分布,（,1,）独立重复试验,掷骰子：,“,掷出,4,点,”,，,“,未掷出,4,点,”,抽验产品：,“,是正品,”,，,“,是次品,”,设在一次试验,E,中只考虑两个互逆的结果：,A,或,这样的试验,E,称为,贝努利试验,.,（两点分布）,将伯努利试验,E,独立,地,重复,地进行,n,次,则称这一串,重复的独立,试验为,n,重贝努利试验,.,“,重复,”是,指这,n,次试验中,P,(,A,),=p,保持不变,.,“,独立,”,是指各次试验的结果互不影响,.,三、几种常见离散型随机变量的概率分布,例如：,某射手独立向目标连续射击,4,次，每次的命中率均为,0.8,，求其恰好命中,3,次的概率。,分析：,该实验为,4,重贝努利,三、几种常见离散型随机变量的概率分布,由此可见，,n,重贝努利试验中，所研究的事件在多次试验中“恰好发生,k,次”的概率，对于研究试验序列各种复杂的结果有着重要的意义。,三、几种常见离散型随机变量的概率分布,用,X,表示,n,重贝努利试验中事件,A,发生的次数，则,且两两,互不相容,.,共有,（,2,）二项分布,称这样的分布为,二项分布,，记为,三、几种常见离散型随机变量的概率分布,二项分布描述的是,n,重贝努利试验中事件,A,出现的次数,X,的分布律,.,例,6,已知,100,个产品中有,5,个次品，现从中有放回,地取,3,次，每次任取,1,个，求在所取的,3,个中恰有,2,个次品的概率,.,解,:,因为这是有放回地取,3,次，因此这,3,次试验的条件完全相同且独立，它是贝努利试验,.,依题意，每次试验取到次品的概率为,0.05.,设,X,为所取的,3,个中的次品数，,于是，所求概率为,则,X,B,(3,0.05,),，,三、几种常见离散型随机变量的概率分布,若,将本例中的“有放回”改为“无放回”,那么各次试验条件就不同了,此试验就不是伯努利试验,.,此时,只能用古典概型求解,.,注意,：,三、几种常见离散型随机变量的概率分布,分析,这是不放回抽样,.,但由于这批元件的总数很大,且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理,.,例,7,三、几种常见离散型随机变量的概率分布,把检查一只元件是否为一级品看成是一次试验，检查,20,只元件相当于做,20,重贝努利试验,.,解：,三、几种常见离散型随机变量的概率分布,注意：,P,(,X,=4),最大。,三、几种常见离散型随机变量的概率分布,一般地，若在,k,0,处，概率,PX=k,达到最大（称,k,0,为随机变量,X,的最可能值），则,k,0,应满足,解上述不等式得,(,n,+1),p,-1,k,0,(,n,+1),p,。,因为,k,0,必须为整,数，所以,当,(,n,+1),p,为整数，,其它，,本例中，,n,=20,，,p,=0.2,所以，,(,n,+1),p,=4.2,故,k,0,=4,。,三、几种常见离散型随机变量的概率分布,三、几种常见离散型随机变量的概率分布,二项分布与两点分布的关系,二项分布,两点,分布,1,、,2,、,三、几种常见离散型随机变量的概率分布,三、几种常见离散型随机变量的概率分布,练习,4,某人进行射击，设每次击中的概率为0.02，独立射击400次，求至少击中两次的概率是多少？,解：这是一个独立重复试验概型，设击中的次数为,X,，,则它服从参数为,n,=400，,p,=0.02,的二项分布，即,X,B,(400，0.02),，,其概率分布为,三、几种常见离散型随机变量的概率分布,4,、泊松分布,泊松分布是1837年法国数学家泊松（,Poisson,）,作为二项分布的近似计算机引入的。近年来日益显示其重要性，即它不仅是二项分面的泊松近似，它本身就是一种重要的分布。,若随机变量,X,全部可能取值为一切非负整数，且,三、几种常见离散型随机变量的概率分布,泊松分布的背景及应用,二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察,与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时,他,们做了,2608,次观察,(,每次时间为,7.5,秒,),发现放射,性物质在规定的一段时间内,其放射的粒子数,X,服从泊松分布,.,在生物学、医学,、,工业统计、保险科学及,公用事业的排队等问题中,泊松分布是常见的,.,例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电,话呼唤次数等,都服从泊松分布,.,则对固定的,k,，,有,设,Possion,定理,:,Poisson,定理说明，若,X b,(,n,p,),当,n,很大,p,很小时，,历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于,1837,年由法国数学家泊松引入的,.,二项分布与泊松分布的关系,三、几种常见离散型随机变量的概率分布,二项,分布,泊松分布,三、几种常见离散型随机变量的概率分布,在本节练习,3,中，如果射手命中率是0.01，连续射击400次，击中至少两次的概率为,由于,n,=400,较大，,p,=0.01,较小，因此可用泊松分布近似计算，即,于是,三、几种常见离散型随机变量的概率分布,例,8,某商店出售某种贵重商品，根据以往经验，每月销售量,X,服从参数,=3,的泊松分布，问在月初进货时要库存多少件此商品，才能以,99,的概率充分满足顾客的需要？,解：设月初库存,k,件，则,即,查表，得,k,+1=9,，即,k,=8.,练习,5,独立射击,5000,次,命中率为,0.001,解,(1),k,=(,n,+1),p,=(5000+1)0.001=5,求,(1),最可能命中次数及相应的概率；,命中次数不少于,1,次的概率,.,(,至少命中,1,次的概率,),三、几种常见离散型随机变量的概率分布,(2),令,X,表示命中次数,则,X,B,(5000,0.001,),三、几种常见离散型随机变量的概率分布,解,令,X,表示命中次数,则,令,此结果与用二项分布算得的结果,0.9934,仅相差万分之一,.,利用,Poisson,定理再求练习,4,X,B,(,5000,0.001,),三、几种常见离散型随机变量的概率分布,小概率事件虽不易发生，但重,复次数多了，,就成大概率事件,.,启示,三、几种常见离散型随机变量的概率分布,5,、超几何分布,在抽样理论中,(1),有放回抽取，抽取的次品数服从二项分布,（参数,n,为抽取数，,p,是次品率）,.,(2),无放回抽取，抽得的次品数服从超几何分布,（,N,为产品总数，,M,为次品总数，,n,是抽取数）,.,三、几种常见离散型随机变量的概率分布,注：,在,n,重伯努利试验中,6,、几何分布,四、随堂练习,四、随堂练习,5.,有加以两种味道和颜色都极为相似的名酒各,4,杯，如果从中挑,4,杯即能将甲种酒全部挑出来算试验成功一次。,（,1,）某人随机去试，求其试验成功一次的概率。,（,2,）某人声称他具有品酒能力，连续独立试验,10,次成功,3,次，试推断此人是否具有品酒能力。,四、随堂练习,四、随堂练习,F,(,x,),=P,(,X,x,),四、随堂练习,故,四、随堂练习,四、随堂练习,四、随堂练习,四、随堂练习,四、随堂练习,5.,有加以两种味道和颜色都极为相似的名酒各,4,杯，如果从中挑,4,杯即能将甲种酒全部挑出来算试验成功一次。,（,1,）某人随机去试，求其试验成功一次的概率。,（,2,）某人声称他具有品酒能力，连续独立试验,10,次成功,3,次，试推断此人是否具有品酒能力。,四、随堂练习,小概率事件的发生意味着鉴别成功绝非偶然。,