D1_4无穷小量与无穷大量1.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,第一章,二、无穷小的等价代换,三、无穷大量,一、无穷小量及其阶,第四节,无穷小量与无穷大量,当,1.,定义,1.,若,时,函数,则称,函数,例如,:,函数,当,时为,无穷小,;,函数,时为,无穷小,;,函数,当,为,时的,无穷小量,简称,无穷小,.,时为无穷小,.,一、无穷小量及其阶,定义,1.,若,时,函数,则称,函数,为,时的,无穷小量,简称,无穷小,.,以零为极限的数列也是当,n,时的无穷小,定义,1.,若,时,函数,则称,函数,为,时的,无穷小量,简称,无穷小,.,说明,:,2.,无穷小量不是一个非常小的数，,0,是可以作为无穷小的唯一,常数,!,1.,无穷小首先是一个函数，其次要指明自变量趋向于什么。只有在自变量趋向确定下并引起函数值趋于,0,，才能称函数为无穷小。,定义,1.,若,时,函数,则称,函数,为,时的,无穷小量,简称,无穷小,.,说明,:,除,0,以外任何,很小的常数,都,不是无穷小,!,因为,当,时,显然,C,只能是,0!,C,C,其中,(,x,),为一个无穷小,定理,1.,(,无穷小与函数极限的关系,),证,:,仅就 的情形证明,其他情形类似,.,必要性,设,则,令,则,其中,(,x,),是当 的,无穷小,并且,充分性,设,(,x,),是当 的无穷小,则,2.,无穷小量的性质,说明,:,无限个,无穷小之和,不一定,是无穷小,!,例如，,(1),有限个,无穷小量的代数和是无穷小量,;,定理,2.,自变量相同变化趋势的无穷小量有如下性质,:,(2),有限个,无穷小量的乘积是无穷小量,;,证,:,由已知,f,在,x,0,处是局部有界的,故,恒有,从而,故,所以,(,x,),f,(,x,),是当 时的无穷小,.,(,x,),是当 的无穷小,定理,3.,设,f,是在,x,0,处局部,有界的函数,则,(,x,),f,(,x,),是当 时的无穷小,.,(,x,),是当 的无穷小,定理,3.,设,f,是在,x,0,处局部,有界的函数,则,(,x,),f,(,x,),是当 时的无穷小,.,(,x,),是当 的无穷小,定理,.,设,f,是在 内,有界,(,即,),则,(,x,),f,(,x,),是当 时的无穷小,.,可以简记作：,有界函数与无穷小的乘积是无穷小。,例,1.,求,解,:,利用定理,3,可知,说明,:,y,=0,是,的,渐近线,.,都是无穷小,引例,.,但,记作,是,的,高阶,无穷小，,是,的,低阶,无穷小,是,的,同阶,无穷小,是,的,等价,无穷小,是,的,k,阶,无穷小,记作,特别取,(,x,)=,x-x,0,若 则称,(,x,),是当,xx,0,时的,k,阶无穷小,.,设,(,x,),与,(,x,),是自变量,x,有相同变化趋势的无穷小,且,(,x,),0.,定义,2(,无穷小的阶,).,例,2.,当,x,0,时,试比较下列无穷小的阶,:,解,:,(1),(2),(4),例,2.,当,x,0,时,试比较下列无穷小的阶,:,解,:,(3),由上例中,(2)(3)(4),可得,当,x0,时,根据高阶无穷小的定义,上式还可以表示为,:,当,x0,时,注意,:,并非每个无穷小都有阶数,比如当,x0,时,例,3,.,证明,:,当,时,证,:,例,4.,证明,:,证,:,目录 上页 下页 返回 结束,因此,即有,等价关系,:,说明,:,上述证明过程也给出了等价关系,:,无穷小的等价关系具有如下性质：,(1),自反性：,则,则,(2),对称性,：,若,(3),传递性：若,证明提示,:,二、无穷小的等价代换,定理,4,.,设,(,x,),与,(,x,),都是自变量有相同变化趋势的无穷小,若 并且,则,并且,例,5.,利用无穷小等价代换定理求以下极限,解,:,因为,所以,(2),解,:,原,式,注意,:,应用无穷小等价代换定理求极限时,只能对待,求极限函数中的,无穷小因子,进行,.,若待求极限的函数,表达式中含有函数的加减法运算,则不能对其中的相,加与相减的无穷小项进行等价代换,.,(3),解,:,三、无穷大量,(,绝对值无限趋大的变量,),定义,3.,设,是一个函数,若,即,当,则称函数,f,(,x,),是当 时的,无穷大量,简称,无穷大,.,时,恒有,定义,3.,设,是一个函数,若,即,当,则称函数,f,(,x,),是当 时的,无穷大量,简称,无穷大,.,时,恒有,若在定义中,改为,则,记作,注意,:,1.,无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态,.,2.,函数为无穷大,必定无界,.,但反之不真,!,例如,函数,但,不是无穷大,!,例,6.,证明,证,:,任给正数,M,要使,即,只要取,则对,满足,的,一切,x,有,所以,若,则直线,为,曲线,的,铅直渐近线,.,铅直渐近线,说明,:,若,则称直线,为,曲线,的水平渐近线,.,如下图,若,为,无穷小,且,则,为,无穷大,.,若,为,无穷大,为,无穷小,;,则,据此定理,(1),关于无穷大的问题都可转化为,无穷小来讨论,.,定理,5.,在自变量的相同变化趋势下,有下述结论,:,说明,:,(1),有限个无穷大量的乘积是无穷大量,;,(3),无穷大量与有界量之和是无穷大量,.,两个无穷大量的代数和不一定是无穷大量,;,无穷大量与有界量的乘积不一定是无穷大量,.,注意,:,大,O,记号,设函数,f,(,x,),与,g,(,x,),定义在,x,0,的某去心邻域 中,若,在,x,0,处是局部有界的,则记作,.,特别地,若,f,(,x,),在,x,0,处是局部有界的,则记作,f,(,x,)=O(1).,例如,:,思考题,任何两个无穷小都可以比较吗？,不能,例,:,当 时,都是无穷小量,但,不存在且不为无穷大,故当 时,解,.,练 习 题,练习题答案,