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2025年信号处理经典题试题及答案

一、选择题（每题 3 分，共 30 分）
1. 以下哪种信号属于能量信号？
A. \(e^{j\omega t}\) B. \(\cos(\omega t)\) C. \(u(t)\) D. \(e^{-at}u(t)\)（\(a>0\)）
答案：D
解析：能量信号的能量有限，功率为 0。\(e^{-at}u(t)\) 的能量\(E=\int_{-\infty}^{\infty}|e^{-at}u(t)|^2dt=\int_{0}^{\infty}e^{-2at}dt=\frac{1}{2a}\) 有限，功率为 0，所以是能量信号。A、B 是功率信号，C 既不是能量信号也不是功率信号。
2. 信号 \(x(t)=2\cos(3t+\frac{\pi}{4})\) 的角频率是：
A. 3 B. \(\frac{3}{2\pi}\) C. \(\frac{\pi}{4}\) D. 6
答案：A
解析：对于余弦信号\(x(t)=A\cos(\omega t+\varphi)\)，角频率\(\omega = 3\)。
3. 已知信号 \(x(n)\) 的 z 变换为 \(X(z)=\frac{1}{1 - 0.5z^{-1}}\)，\(|z|>0.5\)），则 \(x(n)\) 为：
A. \((0.5)^nu(n)\) B. \(-(0.5)^nu(-n - 1)\) C. \((0.5)^nu(-n)\) D. \(-(0.5)^nu(n)\)
答案：A
解析：根据 z 变换的性质，\(\frac{1}{1 - az^{-1}}\)（\(|z|>|a|\)）的 z 反变换为\(a^nu(n)\)，这里\(a = 0.5\)，所以\(x(n)=(0.5)^nu(n)\)。
4. \(x(n)\) 与 \(h(n)\) 的卷积和 \(y(n)=x(n)h(n)\) 的计算结果为：
A. \(\sum_{k = -\infty}^{\infty}x(k)h(n - k)\) B. \(\sum_{k = -\infty}^{\infty}x(n - k)h(k)\) C. \(\sum_{k = 0}^{n}x(k)h(n - k)\) D. \(\sum_{k = 0}^{n}x(n - k)h(k)\)
答案：A
解析：卷积和的定义就是\(y(n)=\sum_{k = -\infty}^{\infty}x(k)h(n - k)\)。
5. 离散序列 \(x(n)=\delta(n - 2)\) 的傅里叶变换 \(X(e^{j\omega})\) 为：
A. \(e^{-j2\omega}\) B. \(e^{j2\omega}\) C. 1 D. \(\delta(\omega - 2)\)
答案：A
解析：根据离散序列傅里叶变换的性质，\(\delta(n - n_0)\) 的傅里叶变换为\(e^{-jn_0\omega}\)，这里\(n_0 = 2\)，所以\(X(e^{j\omega})=e^{-j2\omega}\)。
6. 下列系统中，属于线性时不变系统的是：
A. \(y(n)=x(n)x(n - 1)\) B. \(y(n)=nx(n)\) C. \(y(n)=x(n)+1\) D. \(y(n)=x(n - 1)+x(n - 2)\)
答案：D
解析：线性时不变系统满足叠加性和时不变性。A 不满足叠加性，B 不满足线性，C 不满足线性，D 满足线性时不变特性。
7. 一个因果稳定的 LTI 离散系统，其系统函数 \(H(z)\) 的收敛域为：
A. \(|z|>R_1\) B. \(|z|<R_2\) C. \(R_1<|z|<R_2\) D. \(|z|>0\)
答案：A
解析：因果稳定的 LTI 离散系统，系统函数 \(H(z)\) 的收敛域为\(|z|>R_1\)，其中\(R_1\)是\(H(z)\)的所有极点中的最大模值。
8. 信号 \(x(t)\) 的频谱 \(X(j\omega)\) 是实偶函数，则 \(x(t)\) 是：
A. 实偶函数 B. 实奇函数 C. 虚偶函数 D. 虚奇函数
答案：A
解析：根据傅里叶变换的性质，信号的频谱是实偶函数，则该信号是实偶函数。
9. 对信号 \(x(t)\) 进行均匀采样得到 \(x(nT_s)\)，其频谱 \(X_s(e^{j\omega})\) 与 \(X(j\omega)\) 的关系是：
A. \(X_s(e^{j\omega})=\frac{1}{T_s}\sum_{k = -\infty}^{\infty}X(j(\omega - \frac{2k\pi}{T_s}))\) B. \(X_s(e^{j\omega})=X(j\omega)\) C. \(X_s(e^{j\omega})=\sum_{k = -\infty}^{\infty}X(j(\omega - \frac{2k\pi}{T_s}))\) D. \(X_s(e^{j\omega})=\frac{1}{T_s}X(j\omega)\)
答案：A
解析：这是采样定理的内容，采样信号的频谱是原信号频谱的周期延拓，周期为\(\frac{2\pi}{T_s}\)，幅度乘以\(\frac{1}{T_s}\)。
10. 以下哪种滤波器的通带和阻带都是等波纹的？
A. 巴特沃斯滤波器 B. 切比雪夫 I 型滤波器 C. 切比雪夫 II 型滤波器 D. 椭圆滤波器
答案：D
解析：椭圆滤波器的通带和阻带都是等波纹的，巴特沃斯滤波器通带和阻带都是单调的，切比雪夫 I 型滤波器通带等波纹阻带单调，切比雪夫 II 型滤波器通带单调阻带等波纹。

二、填空题（每题 3 分，共 15 分）
1. 信号 \(x(t)\) 的自相关函数定义为 \(R_x(\tau)=\)____________________。
答案：\(\int_{-\infty}^{\infty}x(t)x(t+\tau)dt\)
解析：自相关函数的定义就是信号自身在不同时刻的相关性积分。
2. 已知 \(x(n)\) 的 z 变换 \(X(z)=\frac{1}{(1 - 2z^{-1})(1 - 3z^{-1})}\)，\(|z|>3\)，则 \(x(n)\) 的初值 \(x(0)=\)______。
答案：1
解析：根据 z 变换初值定理，\(x(0)=\lim_{z\rightarrow\infty}X(z)\)，\(\lim_{z\rightarrow\infty}\frac{1}{(1 - 2z^{-1})(1 - 3z^{-1})}=1\)。
3. 离散序列 \(x(n)=n^2u(n)\) 的一阶差分\(\Delta x(n)=\)____________________。
答案：\((n^2-(n - 1)^2)u(n)=(2n - 1)u(n)\)
解析：一阶差分定义为\(\Delta x(n)=x(n)-x(n - １)\)，代入\(x(n)=n^2u(n)\)计算。
4. 理想低通滤波器的频率响应 \(H(j\omega)=\begin{cases}1, & |\omega|\leq\omega_c \\ 0, & |\omega|>\omega_c\end{cases}\)，其冲激响应 \(h(t)=\)____________________。
答案：\(\frac{\sin(\omega_c t)}{\pi t}\)
解析：这是理想低通滤波器冲激响应的公式，通过傅里叶变换的逆变换得到。
5. 若系统函数 \(H(z)=\frac{z^2}{(z - 0.5)(z - 0.8)}\)，则该系统的零点为______，极点为______。
答案：零点为\(z = 0\)（二阶），极点为\(z = 0.5\)，\(z = 0.8\)
解析：系统函数分子的根为零点，分母的根为极点。

三、简答题（每题 10 分，共 30 分）
1. 简述信号的时域分析和频域分析的联系与区别。
答案：
联系：
- 时域和频域是对信号的两种不同描述方式，通过傅里叶变换可以相互转换。
- 信号的时域特性（如幅度、相位随时间的变化）和频域特性（如频谱分布）相互对应，共同反映信号的本质特征。
区别：
- 时域分析直接观察信号随时间的变化情况，能直观地看到信号的波形、幅度变化等。
- 频域分析则是将信号分解为不同频率的正弦或复指数信号的叠加，能清晰地了解信号包含的频率成分及其分布。
- 时域分析侧重于信号的时间历程，频域分析侧重于信号的频率结构。
解析：从定义、观察重点等方面阐述两者联系与区别。
2. 说明线性时不变系统的性质，并举例说明其在系统分析中的应用。
答案：
性质：
- 叠加性：若\(y_1(n)=x_1(n)h(n)\)，\(y_2(n)=x_2(n)h(n)\)，则\((x_1(n)+x_2(n))h(n)=y_1(n)+y_2(n)\)。
- 时不变性：若\(y(n)=x(n)h(n)\)，则\(y(n - n_0)=x(n - n_0)h(n)\)。
应用：
- 已知输入和系统冲激响应，利用叠加性和时不变性可方便计算系统输出。例如对于线性时不变离散系统，输入\(x_1(n)\)得到输出\(y_1(n)\)，输入\(x_2(n)\)得到输出\(y_2(n)\)，当输入为\(x_1(n)+x_2(n)\)时，可直接得到输出为\(y_1(n)+y_2(n)\)。
- 可通过系统对简单信号（如单位冲激信号）的响应来分析系统特性，再利用时不变性推广到对其他信号的响应分析。
解析：阐述性质并举例说明在计算输出、分析系统特性等方面的应用。
3. 简述离散傅里叶变换（DFT）的定义及物理意义。
答案：
定义：设\(x(n)\)是长度为\(N\)的有限长序列，则其离散傅里叶变换定义为\(X(k)=\sum_{n = 0}^{N - 1}x(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}\)，\(k = 0,1,\cdots,N - 1\)；其逆变换为\(x(n)=\frac{1}{N}\sum_{k = 0}^{N - 1}X(k)e^{j\frac{2\pi}{N}kn}\)，\(n = 0,1,\cdots,N - 1\)。
物理意义：
- DFT 将时域的有限长序列变换到频域，得到序列的频谱特性。
- 它可以看作是对信号频谱的一种离散化采样，通过计算 DFT 得到的\(X(k)\)表示信号在\(N\)个离散频率点上的幅度和相位信息。这样就可以方便地分析信号的频率成分，例如在数字信号处理中用于频谱分析、滤波设计等。
解析：写出定义并解释其在频域分析、信号处理应用方面的物理意义。

四、计算题（每题 10 分，共 20 分）
1. 已知连续信号 \(x(t)=e^{-2t}u(t)\)，求其拉普拉斯变换 \(X(s)\) 及收敛域。
答案：
根据拉普拉斯变换公式，\(X(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-2t}e^{-st}dt=\int_{0}^{\infty}e^{-(s + 2)t}dt\)。
计算积分得：\(X(s)=\frac{1}{s + 2}\)。
因为\(x(t)\)是因果信号，所以收敛域为\(Re(s)>-2\)。
解析：利用拉普拉斯变换公式计算积分，根据因果信号确定收敛域。
2. 已知离散序列 \(x(n)=\begin{cases}1, & 0\leq n\leq 3 \\ 0, & 其他\end{cases}\)，\(h(n)=a^nu(n)\)（\(|a|<1\)），求 \(x(n)\) 与 \(h(n)\) 的卷积和 \(y(n)=x(n)h(n)\)。
答案：
根据卷积和公式\(y(n)=\sum_{k = -\infty}^{\infty}x(k)h(n - k)\)。
当\(n<0\)时，\(y(n)=0\)。
当\(0\leq n\leq 3\)时，\(y(n)=\sum_{k = 0}^{n}1\times a^{n - k}=\sum_{k = 0}^{n}a^{n - k}=a^n\sum_{k = 0}^{n}a^{-k}=a^n\frac{1 - a^{-(n + 1)}}{1 - a^{-1}}=\frac{a^n - a^{-1}}{1 - a^{-1}}\)。
当\(n>3\)时，\(y(n)=\sum_{k = n - 3}^{3}1\times a^{n - k}=\sum_{k = n - 3}^{3}a^{n - k}=a^n\sum_{k = n - 3}^{3}a^{-k}=a^n\frac{a^{-(n - 3)} - a^{-4}}{1 - a^{-1}}=\frac{1 - a^{-(4 - n)}}{1 - a^{-1}}\)。
解析：分情况根据卷积和公式计算，注意不同\(n\)范围的求和上下限。

五、综合题（15 分）
设计一个数字低通滤波器，要求截止频率\(\omega_c=\frac{\pi}{4}\)，采用巴特沃斯滤波器，阶数\(N = 3\)。
答案：
巴特沃斯低通滤波器的系统函数为\(H(z)=\frac{1}{\prod_{k = 1}^{N}(1 - 2\cos(\frac{\omega_{c}}{2})z^{-1}+z^{-2})}\)。
已知\(\omega_c=\frac{\pi}{4}\)，\(N = 3\)，则\(\cos(\frac{\omega_{c}}{2})=\cos(\frac{\pi}{8})\)。
\(H(z)=\frac{1}{(1 - 2\cos(\frac{\pi}{8})z^{-1}+z^{-2})(1 - 2\cos(\frac{\pi}{8})z^{-1}+z^{-2})(1 - 2\cos(\frac{\pi}{8})z^{-1}+z^{-2})}\)。
解析：根据巴特沃斯低通滤波器系统函数公式，代入给定参数计算。