证明：刚度矩阵[K]是一个奇异矩阵-在排除刚体位移后-它是正定阵学习教案.ppt

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3结点单元(dnyun)的平面应力问题,单元刚度矩阵：,每个结点有2个位移(wiy)分量，,则,每个结点有2个结点力分量，,则,第1页/共10页,第一页，共11页。,单元的整体平衡方程,令结点1在x方向(fngxing)的位移为 =1，而其余结点位移皆为零，则,第2页/共10页,第二页，共11页。,单元在外力作用下处于(chy)平衡，满足三个平衡方程：,即,亦即,同理可得：,所以,即刚度(n d)矩阵 的第一列元素代数和为0，对于 的其余各列或行也有相同的结论,第3页/共10页,第三页，共11页。,将刚度矩阵(j zhn)的第二、三六行加到第一行，则得,因此单元刚度矩阵 为奇异矩阵,整体(zhngt)刚度矩阵是由单元刚度矩阵集合而成的，由单元刚度矩阵的奇异性知，整体(zhngt)刚度矩阵也必为奇异矩阵，且存在三个线性相关的行或列。,第4页/共10页,第四页，共11页。,例如(lr),如图所示的3结点三角形单元，边长a=3,b=4,c=5,厚度t=1，材料常数为E=,，。由相关(xinggun)公式计算得,第5页/共10页,第五页，共11页。,因为,行（列）+行（列）+行（列）=0，,行（列）+行（列）+行（列）=0，,3X行（列）-4X 行（列）=0，,即存在3个线性相关的关系，故该刚度矩阵(j zhn)为奇异矩阵(j zhn),第6页/共10页,第六页，共11页。,因刚度矩阵为奇异矩阵，在给定任意位移条件下，可以从方程,计算出作用于单元(dnyun)的结点力，且它们满足平衡。,但是，如果给定结点载荷，即使它们满足平衡，却不能由该方程确定结点位移。这是因为，单元(dnyun)还可以任意的刚体位移（平,第7页/共10页,第七页，共11页。,面问题的这种刚体位移是两个方向的移动和一个面内的转动），由方程计算出的位移是刚体位移和结点位移的合成，,所以，只有通过施加约束来约束刚体位移，有方程计算出的位移才是唯一的，即方程,有唯一解，由线性代数的相关知识可知，此时刚度(n d)矩阵为非奇异矩阵。,第8页/共10页,第八页，共11页。,谢谢(xi xie)!,第9页/共10页,第九页，共11页。,感谢您的观看(gunkn)！,第10页/共10页,第十页，共11页。,内容(nirng)总结,3结点单元的平面应力问题。每个结点有2个结点力分量，。第1页/共10页。单元在外力作用下处于平衡，满足三个平衡方程：。第3页/共10页。因此单元刚度(n d)矩阵 为奇异矩阵。即存在3个线性相关的关系，故该刚度(n d)矩阵为奇异矩阵。第9页/共10页。感谢您的观看,第十一页，共11页。,