2024-2025学年河北省沧州市泊头市第一中学数学高二下期末质量跟踪监视模拟试题含解析.doc

2024-2025学年河北省沧州市泊头市第一中学数学高二下期末质量跟踪监视模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知命题：，命题：，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．一盒中装有5张彩票，其中2 张有奖，3张无奖，现从此盒中不放回地抽取2次，每次抽取一张彩票．设第1次抽出的彩票有奖的事件为A，第2次抽出的彩票有奖的事件为B，则( )
A． B． C． D．
3．设等差数列{}的前项和为，若，则=
A．20 B．35 C．45 D．90
4．下列四个命题中，真命题的个数是（ ）
①命题“若，则”；
②命题“且为真，则有且只有一个为真命题”；
③命题“所有幂函数的图象经过点”；
④命题“已知是的充分不必要条件”.
A．1 B．2 C．3 D．4
5．袋中装有6个红球和4个白球，不放回的依次摸出两球，在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率是
A． B． C． D．
6．下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）
A．在数列|中，由此归纳出的通项公式
B．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质
C．某校高二共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人
D．两条直线平行，同旁内角互补，如果和是两条平行直线的同旁内角，则
7．已知中，，，，则B等于（　　）
A． B．或 C． D．或
8．从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为( )
A．90 B．60 C．120 D．110
9．已知某随机变量服从正态分布，且，则（）
A． B． C． D．
10．一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次是，当且仅当时称为“凹数”，若，从这些三位数中任取一个，则它为“凹数”的概率是
A． B． C． D．
11．设，若，则实数是（ ）
A．1 B．-1 C． D．0
12．牡丹花会期间，记者在王城公园随机采访6名外国游客，其中有2名游客来过洛阳，从这6人中任选2人进行采访，则这2人中至少有1人来过洛阳的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．方程的正整数解的个数__________.
14．一只袋内装有大小相同的3个白球，4个黑球，从中依次取出2个小球，已知第一次取出的是黑球，则第二次取出白球的概率是____．
15．设，则的展开式中的常数项为__________．
16．已知，在函数与的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为，则值为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设命题：方程表示双曲线；命题：“方程表示焦点在轴上的椭圆”.
（1）若和均为真命题，求的取值范围;
（2）若为真命题，为假命题，求实数的取值范围.
18．（12分）已知f(x)＝|x2－4x＋3|.
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)求函数f(x)的单调区间，并指出其单调性；
(3)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实根}.
19．（12分）某种设备随着使用年限的增加，每年的维护费相应增加.现对一批该设备进行调查，得到这批设备自购入使用之日起，前五年平均每台设备每年的维护费用大致如下表：
年份(年)
1
2
3
4
5
维护费(万元)
1.1
1.5
1.8
2.2
2.4
（Ⅰ）求关于的线性回归方程；
（Ⅱ）若该设备的价格是每台5万元，甲认为应该使用满五年换一次设备，而乙则认为应该使用满十年换一次设备，你认为甲和乙谁更有道理？并说明理由.
(参考公式：.)
20．（12分）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求过点且与曲线相切的直线方程．
21．（12分）已知函数f(x)＝ex, g(x)＝lnx.
(1)设f(x)在x1处的切线为l1, g(x)在x2处的切线为l2,若l1//l2,求x1＋g(x2)的值;
(2)若方程af 2(x)－f(x)－x＝0有两个实根,求实数a的取值范围；
(3)设h(x)＝f(x)(g(x)－b),若h(x)在[ln2,ln3]内单调递减,求实数b的取值范围.
22．（10分）假设某种人寿保险规定，投保人没活过65岁，保险公司要赔偿10万元；若投保人活过65岁，则保险公司不赔偿，但要给投保人一次性支付4万元已知购买此种人寿保险的每个投保人能活过65岁的概率都为，随机抽取4个投保人，设其中活过65岁的人数为，保险公司支出给这4人的总金额为万元(参考数据：)
(1)指出X服从的分布并写出与的关系；
(2)求.(结果保留3位小数)
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
首先对两个命题进行化简，解出其解集，由是的必要不充分条件，可以得到关于的不等式，解不等式即可求出的取值范围
【详解】
由命题：解得或，
则，命题：，，
由是的必要不充分条件，所以
故选
结合“非”引导的命题考查了必要不充分条件，由小范围推出大范围，列出不等式即可得到结果，较为基础。
2、D
【解析】
由题意，第1次抽出的彩票有奖，剩下4张彩票，其中1张有奖，3张无奖，即可求出．
【详解】
由题意，第1次抽出的彩票有奖，剩下4张彩票，其中1张有奖，3张无奖，
所以．
故选：D．
本题考查条件概率，考查学生的计算能力，比较基础．
3、C
【解析】
利用等差数列的前n项和的性质得到S9=，直接求解．
【详解】
∵等差数列{an}的前n项和为Sn，a4+a6=10，
∴S9=
故选：C．
这个题目考查的是数列求和的常用方法；数列通项的求法中有:直接根据等差等比数列公式求和；已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。
4、C
【解析】
①令，研究其单调性判断.②根据“且”构成的复合命题定义判断.③根据幂函数的图象判断.④由，判断充分性，取特殊值判断必要性.
【详解】
①令，，所以在上递增
所以，所以，故正确.
②若且为真，则都为真命题，故错误.
③因为所有幂函数的图象经过点，故正确.
④因为，所以，故充分性成立，当时，推不出，所以不必要，故正确.
故选：C
本题主要考查命题的真假判断，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
5、D
【解析】
通过条件概率相关公式即可计算得到答案.
【详解】
设“第一次摸到红球”为事件A，“第二次摸到红球”为事件B，而，
，故，故选D.
本题主要考查条件概率的相关计算，难度不大.
6、D
【解析】
分析：演绎推理是由普通性的前提推出特殊性结论的推理．其形式在高中阶段主要学习了三段论：大前提、小前提、结论，由此对四个命题进行判断得出正确选项．
详解：A在数列{an}中，a1=1，，通过计算a2，a3，a4由此归纳出{an}的通项公式”是归纳推理．
B选项“由平面三角形的性质，推出空间四边形的性质”是类比推理
C选项“某校高二（1）班有55人，高二（2）班有52人，由此得高二所有班人数超过50人”是归纳推理；；
D选项选项是演绎推理，大前提是“两条直线平行，同旁内角互补，”，小前提是“∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角”，结论是“∠A+∠B=180°，是演绎推理.
综上得，D选项正确
故选：D ．
点睛：本题考点是进行简单的演绎推理，解题的关键是熟练掌握演绎推理的定义及其推理形式，演绎推理是由普通性的前提推出特殊性结论的推理．演绎推理主要形式有三段论，其结构是大前提、小前提、结论．
7、D
【解析】
根据题意和正弦定理求出sinB的值，由边角关系、内角的范围、特殊角的三角函数值求出B．
【详解】
由题意得，△ABC中，a＝1，，A＝30°，
由得，sinB，
又b＞a，0°＜B＜180°，
则B＝60°或B＝120°，
故选：D．
本题考查正弦定理，以及边角关系的应用，注意内角的范围，属于基础题．
8、D
【解析】
用所有的选法共有减去没有任何一名女生入选的组队方案数，即得结果
【详解】
所有的选法共有种
其中没有任何一名女生入选的组队方案数为：
故至少有一名女生入选的组队方案数为
故选
本题主要考的是排列，组合及简单计数问题，考查组合的运用，处理“至少有一名”类问题，宜选用间接法，是一道基础题。
9、A
【解析】
直接利用正态分布曲线的对称性求解．
【详解】
，且，
．
．
故选：A．
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
10、C
【解析】
先分类讨论求出所有的三位数，再求其中的凹数的个数，最后利用古典概型的概率公式求解.
【详解】
先求所有的三位数，个位有4种排法，十位有4种排法，百位有4种排法，所以共有个三位数.
再求其中的凹数，第一类：凹数中有三个不同的数，把最小的放在中间，共有种，第二类，凹数中有两个不同的数，将小的放在中间即可，共有种方法，所以共有凹数8+6=14个，
由古典概型的概率公式得P=.
故答案为：C
本题主要考查排列组合的运用，考查古典概型的概率，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
11、B
【解析】
根据自变量所在的范围代入相应的解析式计算即可得到答案.
【详解】

解得a=-1,
故选B
本题考查分段函数函数值的计算，解决策略:(1)在求分段函数的值f(x0)时，一定要判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式;(2) 求f(f(f(a)))的值时，一般要遵循由里向外逐层计算的原则.
12、C
【解析】
分析：从名外国游客中选取人进行采访，共有种不同的选法，其中这人中至少有人来过洛阳的共有种不同选法，由古典概型的概率计算公式即可求解．
详解：由题意，从名外国游客中选取人进行采访，共有种不同的选法，
其中这人中至少有人来过洛阳的共有种不同选法，
由古典概型的概率计算公式可得，故选C．
点睛：本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算公式的应用，其中解答中根据排列、组合的相关知识得到基本事件的个数和所求事件包含的基本事件的个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
本题转化为把10个球放在三个不同的盒子里，有多少种方法，利用隔板法，即可求得答案.
【详解】
问题中的看作是三个盒子，问题则转化为把个球放在三个不同的盒子里，有多少种方法．
将个球排一排后，中间插入两块隔板将它们分成三堆球，使每一堆至少一个球．
隔板不能相邻，也不能放在两端，只能放在中间的个空内．
共有种．
故答案为：
本题解题关键是掌握将正整数解的问题转化为组合数问题，考查了分析能力和转化能力，属于中档题.
14、
【解析】
将问题转化为个白球和个黑球，从中任取一个，取到白球的概率来求解.
【详解】
由于第一次取出黑球，故原问题可转化为个白球和个黑球，从中任取一个，则取到白球的概率为.
本小题主要考查条件概率的计算，考查古典概型的计算，属于基础题.
15、-160.
【解析】
由，
所以二项式展开式的常数项为.
16、
【解析】
由题意，令， ，则，所以， ，即，当， ；当， ，如图所示，由勾股定理得，解得.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）或
【解析】
（1）根据双曲线方程和椭圆方程的标准形式，可得同时成立，从而求出；
（2）为真命题，为假命题，则、一真一假，再根据集合的交、补运算求得或.
【详解】
（1）若为真命题，则，解得：或.
若为真命题，则，解得：.
若和均为真命题时，则的取值范围为.
（2）若为真命题，为假命题，则、一真一假.
当真假时，解得：或
当假真时，，无解
综上所述：的取值范围为或.
本题以椭圆、双曲线方程的标准形式为背景，与简易逻辑知识进行交会，本质考查集合的基本运算.
18、 (1)见解析.
(2)见解析.
(3) M＝{m|0<m<1}.
【解析】
（1）借助对称性作f（x）=|x2﹣4x+3|的图象即可，
（2）由图象写出函数f（x）的单调区间即可；
（3）作f（x）=|x2﹣4x+3|与y=m的图象，由二者的交点个数确定出集合M．
【详解】
(1)当x2－4x＋3≥0时，x≤1或x≥3，
∴f(x)＝
∴f(x)的图象为：

(2)由函数的图象可知f(x)的单调区间是(－∞，1]，(2，3)，(1，2]，[3，＋∞)，其中(－∞，1]，(2，3)是减区间；(1，2]，[3，＋∞)是增区间.
(3)由f(x)的图象知，当0<m<1时，f(x)＝m有四个不相等的实根，所以M＝{m|0<m<1}.
（1）函数零点个数（方程根的个数）的判断方法：①结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；②利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零点个数．
（2）本题将方程实根个数的问题转化为两函数图象交点的问题解决，解题时注意换元法的应用，以便将复杂的问题转化为简单的问题处理。
19、（Ⅰ）; （Ⅱ）见解析.
【解析】
（Ⅰ）先算出，再由公式分别算，和线性回归方程。
（Ⅱ）分别算出五年与十年的每台设备的平均费用，费用越小越好。
【详解】
(1)

，
所以回归方程为.
（Ⅱ）若满五年换一次设备，则由（Ⅰ）知每年每台设备的平均费用为：
（万元），
若满十年换一次设备，则由（Ⅰ）知每年每台设备的平均费用大概为：
（万元），
因为，所以甲更有道理．
求线性回归直线方程的步骤
（1）用散点图或进行相关性检验判断两个变量是否具有线性相关关系；
（2）求系数：公式有两种形式，即。当数据较复杂时，题目一般会给出部分中间结果，观察这些中间结果来确定选用公式的哪种形式求；
（3）求：.；
（4）写出回归直线方程．
20、 (1) ； (2) 或．
【解析】
（１） 根据题意，先对函数进行求导，再求函数在点处的导数即切线斜率，代入点斜式方程，再化为一般式方程即可。
（２） 设切点坐标为，将代入得出，利用点斜式表达出直线方程，再将点代入直线方程，即可求解出，从而推得直线方程的解析式。
【详解】
解：（1）由，，
则曲线在点处的切线方程为．
（2）设切点的坐标为，
则所求切线方程为
代入点的坐标得，
解得或
当时，所求直线方程为
由（1）知过点且与曲线相切的直线方程为或．
故答案为或。
本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程。若已知曲线过点，求曲线过点的切线方程，则需分点是切点和不是切点两种情况求解。
21、 (1)0.
(2) 0<a<1.
(3) b≥ln2＋.
【解析】
分析：（1）求导，利用l1//l2时k值相等，即可求出答案；
（2）参变分离，利用导数的应用以及数形结合即可得到答案；
（3）由题意h(x)＝f(x)(g(x)－b)＝ex(lnx－b),求导，因为h(x)在[ln2,ln3]内单调递减，所以在[ln2,ln3]上恒成立，再参变分离，分析讨论即可.
详解：(1) f′(x)＝ex, g′(x)＝
由题意知：＝
故x1＋g(x2)＝x1－ln＝0.
(2) 方程af 2(x)－f(x)－x＝0，ae2x－ex－x＝0，a＝
令φ(x)＝, 则φ′(x)＝－
当x<0时，ex<1,ex－1<0,所以ex＋2x－1<0，所以φ′(x)>0，故φ(x)单调增；
当x>0时，ex>1,ex－1>0,所以ex＋2x－1>0，所以φ′(x)<0，故φ(x)单调减.
从而φ(x)max＝φ(0)＝1

又，当x>0时，φ(x)＝>0
原方程有两个实根等价于直线y＝a与φ(x)的图像有两个交点，故0<a<1.
(3)由题意h(x)＝f(x)(g(x)－b)＝ex(lnx－b),得h′(x)＝ex(lnx＋－b)
因为h(x)在[ln2,ln3]内单调递减，所以h′(x)＝ex(lnx＋－b)≤0在[ln2,ln3]内恒成立
由于ex>0，故只需lnx＋－b≤0在[ln2,ln3]内恒成立
即b≥lnx＋在[ln2,ln3]内恒成立
令t(x)＝lnx＋, t′(x)＝－＝
当ln2≤x<1时，t′(x)<0，故t(x)单调减；
当1≤x≤ln3时，t′(x)>0，故t(x)单调增.
下面只要比较t(ln2)与t(ln3)的大小.
思路：[详细过程略]

先证明：x1+x2>2
又，ln2+ln3=ln6<2
故当x1=ln2时，ln3< x2
即t(ln3)<t(ln2)
所以t(x)max＝t(ln2)＝ln2＋
所以b≥ln2＋.
点睛：由函数的单调性求参数的取值范围的方法
(1)可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)(f′(x)在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；
(2)可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；
(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围．
22、 (1) ； ；(2)
【解析】
（1）先由题意可得，服从二项分布；再由题意得到，化简即可得出结果；
（2）先由，根据（1）的结果，得到，进而可得，即可求出结果.
【详解】
(1)由题意得，服从二项分布，即，
因为4个投保人中，活过65岁的人数为，则没活过65岁的人数为，
因此，即.
(2)由得，所以，
所以
= .
所以约为.
本题主要考查二项分布的问题，熟记二项分布的概率计算公式即可，属于常考题型.