2024-2025学年吉林省长春汽车经济技术开发区六中高二下数学期末复习检测模拟试题含解析.doc

2024-2025学年吉林省长春汽车经济技术开发区六中高二下数学期末复习检测模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设函数，，若存在唯一的整数，使，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．不等式无实数解，则的取值范围是( )
A． B．
C． D．
3．已知，并且，则方差（）
A． B．C．D．
4．函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
5．定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，如果函数的“新驻点”分别为那么的大小关系是 （ ）
A． B． C． D．
6．焦点为的抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线上，则当取得最大值时，直线的方程为（ ）
A．或 B．
C．或 D．
7．且，可进行如下“分解”：
若的“分解”中有一个数是2019，则（ ）
A．44 B．45 C．46 D．47
8．PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物），为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某时间段车流量与PM2.5浓度的数据如下表：
时间
周一
周二
周三
周四
周五
车流量（万辆）
100
102
108
114
116
浓度（微克）
78
80
84
88
90
根据上表数据，用最小二乘法求出与的线性回归方程是（ ）
参考公式：，；参考数据：，；
A． B． C． D．
9．若输入，执行如图所示的程序框图，输出的（ ）

A．10 B．16 C．20 D．35
10．若实轴长为2的双曲线上恰有4个不同的点满足，其中，，则双曲线C的虚轴长的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．定义运算，，例如，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
12．执行如图所示的程序框图，若，则输出的为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．平面上两组平行线互相垂直，一组由条平行线组成，一组由条平行线组成，则它们能围成的矩形个数是___________
14．已知一组数据1，3，2，5，4，那么这组数据的方差为____．
15．已知数列的前项和，则__________．
16．在直角坐标系中，已知，，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围是______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）请先阅读：在等式的两边求导，得：，由求导法则，得：，化简得等式：．利用上述的想法，结合等式（,正整数）
（1）求 的值；
（2）求的值．
18．（12分）在同一直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C的方程变为.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为.
（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；
（2）过点作l的垂线l0交C于A，B两点，点A在x轴上方，求的值.
19．（12分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样的方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：

附：的观测值
（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
（2）在犯错误的概率不超过0.01的前提下是否可认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？请说明理由.
20．（12分）已知数列各项均为正数，，，.
（1）若，
①求的值；
②猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明；
（2）若，证明：当时，.
21．（12分）有3名男生和3名女生，每人都单独参加某次面试，现安排他们的出场顺序．
(Ⅰ)若女生甲不在第一个出场，女生乙不在最后一个出场，求不同的安排方式总数；
(Ⅱ)若3名男生的出场顺序不同时相邻，求不同的安排方式总数(列式并用数字作答）．
22．（10分）某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入万元广告费用，并将各地的销售收益（单位：万元）绘制成如图所示的频率分布直方图.由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从开始计数的.

广告投入/万元
1
2
3
4
5
销售收益/万元
2
3
2
5
7
（Ⅰ）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；
（Ⅱ）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到上表：
表中的数据显示与之间存在线性相关关系，求关于的回归方程；
（Ⅲ）若广告投入万元时，实际销售收益为万元，求残差.
附：，
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
先确定是唯一整数解,再通过图像计算得到范围.
【详解】

是函数单调递减；函数单调递增.
存在唯一的整数，使
取，，满足，则0是唯一整数.
恒过定点
如图所示：

即
综上所诉：
故答案选C
本题考查了函数的图像，函数的单调性，首先确定0是唯一解是解题的关键.
2、C
【解析】
利用绝对值不等式的性质，因此得出的范围，
再根据无实数解得出的范围。
【详解】
解：由绝对值不等式的性质可得，
，
即.
因为无实数解
所以，
故选C。
本题考查了绝对值不等式的性质，利用绝对值不等式的性质解出变量的范围是解决问题的关键。
3、A
【解析】
试题分析：由得
考点：随机变量的期望
4、A
【解析】
根据已知中函数的解析式，利用导数法分析出函数的单调性及极值，比照四个答案函数的图象，可得答案．
【详解】
∵，∴，
令得；当时，，即函数在内单调递减，
可排除B,D；又时，，排除C，故选A.
本题考查的知识点是函数的图象，分析出函数的单调性是解答的关键，属于中档题.
5、D
【解析】
由已知得到：，
对于函数h（x）=lnx，由于h′（x）= 
令，可知r（1）＜0，r（2）＞0，故1＜β＜2 
，
且，选D.
6、A
【解析】

过作与准线垂直，垂足为，则，则当取得最大值时，必须取得最大值，此时直线与抛物线相切，可设切线方程为与联立，消去得，所以，得．则直线方程为或．故本题答案选．
点睛：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离，抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化，如果问题中涉及抛物线上的点到焦点或到准线的距离，那么用抛物线定义就能解决问题．本题就是将到焦点的距离转化成到准线的距离，将比值问题转化成切线问题求解．
7、B
【解析】
探寻规律，利用等差数列求和进行判断
【详解】
由题意得底数是的数分裂成个奇数，底数是的数分裂成个奇数，底数是的数分裂成个奇数，则底数是数分裂成个奇数，则共有个奇数，
是从开始的第个奇数，
，
第个奇数是底数为的数的立方分裂的奇数的其中一个，即，
故选
本题考查了数字的变化，找出其中的规律，运用等差数列求出奇数的个数，然后进行匹配，最终还是考查了数列的相关知识。
8、B
【解析】
利用最小二乘法做出线性回归直线的方程的系数，写出回归直线的方程，得到结果．
【详解】
由题意，b==0.72，
a=84﹣0.72×108=6.24，
∴=0.72x+6.24，
故选：B．
本题主要考查线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.
9、B
【解析】
第一次循环，，第二次循环，，第三次循环，，结束循环，输出，故选B．
10、C
【解析】
设点，由结合两点间的距离公式得出点的轨迹方程，将问题转化为双曲线与点的轨迹有个公共点，并将双曲线的方程与动点的轨迹方程联立，由得出的取值范围，可得出答案．
【详解】
依题意可得，设，则由，
得，整理得.
由得，
依题意可知，解得，
则双曲线C的虚轴长.
11、D
【解析】
分析：欲求函数y=1*2x的值域，先将其化成分段函数的形式，再画出其图象，最后结合图象即得函数值的取值范围即可．
详解：当1≤2x时，即x≥0时，函数y=1*2x=1
当1＞2x时，即x＜0时，函数y=1*2x=2x
∴f（x）=
由图知，

函数y=1*2x的值域为：（0，1]．
故选D．
点睛：遇到函数创新应用题型时，处理的步骤一般为：①根据“让解析式有意义”的原则，先确定函数的定义域；②再化简解析式，求函数解析式的最简形式，并分析解析式与哪个基本函数比较相似；③根据定义域和解析式画出函数的图象④根据图象分析函数的性质．
12、B
【解析】
执行程序框图，依次写出每次循环得到的的值，当时，不满足条件，退出循环，输出的值．
【详解】
执行如图所示的程序框图，有
满足条件，有，；
满足条件，有,；
满足条件，有，；
满足条件，有，；
不满足条件，退出循环，输出的值为
本题正确选项：
本题考查了程序框图和算法的应用问题，是对框图中的循环结构进行了考查，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
分析矩形的组成：两个长，两个宽，然后利用分步乘法计数原理与排列组合思想计算可围成的矩形数.
【详解】
因为矩形由两个长，两个宽构成，
第一步选长：从条直线中选条，共有种方法，
第二步选宽：从条直线中选条，共有种方法，
所以可围成的矩形数为：.
故答案为：.
本题考查分步乘法计数原理和排列组合的综合应用，难度一般.对于计数问题，第一步可考虑是属于分类还是分步问题，第二步可考虑选用排列或组合的思想解决问题.
14、2；
【解析】
先求这组数据的平均数，再代入方差公式，求方差.
【详解】
因为，
方差.
本题考查平均数与方差公式的简单应用，考查基本的数据处理能力.
15、64
【解析】
分析：由题意，根据数列的和的关系，求得，即可求解的值.
详解：由题意，数列的前项和为，
当时，，所以
点睛：本题主要考查了数列中和的关系，其中利用数列的和的关系求解数列的通项公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
16、
【解析】
设点的坐标为，根据条件求出动点的轨迹方程，可得知动点的轨迹为圆，然后将问题转化为直线与动点的轨迹圆有公共点，转化为圆心到直线的距离不大于半径，从而列出关于实数的不等式，即可求出实数的值.
【详解】
设点的坐标为，，即，
化简得，则动点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
由题意可知，直线与圆有公共点，
则，解得或.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
本题考查动点的轨迹方程，同时也考查了利用直线与圆的位置关系求参数，解题的关键就是利用距离公式求出动点的轨迹方程，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1)；(2).
【解析】
（1）根据题意对两边求导，再令得到结果；
（2）对已知式子两边同时乘以得：
再令，求得答案.
【详解】
（1）依题意得对两边同时求导得：

令得：

（2）由（1）得：
两边同时乘以得：
对上式两边同时求导得
即
令，
本题以新定义为背景的创新题，考查二项式定和导数知识的交会，要求读懂题意并会把知识迁移到新情境中进行问题解决，对综合能力要求较高.
18、（1），（2）
【解析】
（1）将变换公式代入得，即可曲线C的方程，利用极坐标与直角的互化公式，即可求解直线的直角坐标方程；
（2）将直线l0的参数方程代入曲线C的方程整理得，利用根与系数的关系和直线的参数方程中参数的几何意义，即可求解的值.
【详解】
（1）将代入得，曲线C的方程为，
由，得，
把，代入上式得直线l的直角坐标方程为.
（2）因为直线l的倾斜角为，所以其垂线l0的倾斜角为，
则直线l0的参数方程为（t为参数），即（t为参数）
代入曲线C的方程整理得，
设A，B两点对应的参数为t1，t2，由题意知，，
则，且，
所以.
本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，直线参数方程的应用，其中解答中熟记互化公式，合理利用韦达定理和直线的参数方程中参数的几何意义求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
19、（1）；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
(1)用需要志愿者提供帮助的人数除以老年人总数可得;
(2)利用观测值公式以及列联表可计算观测值,再结合临界值表可得;
(3)根据需要志愿者提供帮助的男女人数存在显著差异,可得采用分层抽样方法比采用简单随机抽样的方法更好.
【详解】
（1）调查的500位老人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估算值为.
（2）随机变量的观测值.由于，因此，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关.
（3）由（2）的结论知，该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据中能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层，并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样的方法更好.
本题考查了分层抽样,独立性检验,属中档题.
20、 (1) ①；； ② (2)见证明
【解析】
（1）①根据递推公式，代入求值即可；
②观察已知的数列的前几项，根据其特征，先猜想其通项公式，之后应用数学归纳法证明即可得结果；
（2）应用数学归纳法证明.
【详解】
(1) 当时，即
当时，
当时，
当时，
②由此猜想：
证明如下：①当时，，成立；
②假设当时，猜想也成立，即,
则当时，
.
即当时，猜想也成立．
由①②得，猜想成立，即.()
(2) 当时，即
当时，由知不等式成立．
假设当时，命题也成立，即.
由

即当时，命题也成立．
由①②得，原命题成立，即当时，.
该题考查的是数列的有关问题，涉及到的知识点有根据递推公式求数列的特定项，根据已知的数列的前几项猜想数列的通项公式，应用数学归纳法证明问题，属于中档题目.
21、（Ⅰ）504（Ⅱ）576
【解析】
(Ⅰ)按女生甲分类：甲在最后一位出场，女生甲不在最后一位出场，两种情况相加得到答案.
(Ⅱ)先考虑3名男生全相邻时的安排数，再用总的安排数减去此数得到答案.
【详解】
解：（Ⅰ）方法一：不考虑任何限制，6名同学的出场的总数为，
女生甲在第一个出场和女生乙在最后一个出场的总数均为，
女生甲在第一个出场且女生乙在最后一个出场的总数为，
则符合条件的安排方式总数为；
方法二：按女生甲分类，甲在最后一位出场的总数为，
女生甲不在最后一位出场，甲只能在除首尾之外的四个位置中选择一个，女生乙再在余四个位置中选择一个，出场的总数为，
则符合条件的安排方式总数为；
（Ⅱ）3名男生全相邻时，将3名男生看成一个整体，与3名女生一起看作4元素，共有种安排方式
.
本题考查了排列组合里面的加法原理和排除法，意在考查学生解决问题的能力.
22、 (1).
(2).
(3).
【解析】
分析：（Ⅰ）设各小长方形的宽度为，由频率直方图各小长方形的面积总和为，可得
，从而可得结果；（Ⅱ）利用平均数公式求出平均数、利用样本中心的 性质结合公司可求得回归系数，从而可写出线性回归方程；（Ⅲ）计算当时，销售收益预测值，再求残差值.
详解：（Ⅰ）设各小长方形的宽度为，由频率直方图各小长方形的面积总和为，可知
，
故.
（Ⅱ）由题意，可知，，
，，
根据公式，可求得，，
所以关于的回归方程为
.
（Ⅲ）当时，销售收益预测值（万元），又实际销售收益为万元，所以残差
点睛：求回归直线方程的步骤：①确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.