2025年江西省红色七校高二数学第二学期期末学业水平测试试题含解析.doc

2025年江西省红色七校高二数学第二学期期末学业水平测试试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．甲、乙两名游客来龙岩旅游，计划分别从“古田会址”、“冠豸山”、“龙崆洞”、“永福樱花园”四个旅游景点中任意选取3个景点参观游览，则两人选取的景点中有且仅有两个景点相同的概率为（　　）
A． B． C． D．
2．某体育彩票规定: 从01到36个号中抽出7个号为一注，每注2元．某人想先选定吉利号18，然后再从01到17个号中选出3个连续的号，从19到29个号中选出2 个连续的号，从30到36个号中选出1个号组成一注．若这个人要把这种要求的号全买，至少要花的钱数为( )
A．2000元 B．3200 元 C．1800元 D．2100元
3．将一枚质地均匀且各面分别有狗，猪，羊，马图案的正四面体玩具抛掷两次，设事件{两次掷的玩具底面图案不相同}，{两次掷的玩具底面图案至少出现一次小狗}，则（ ）
A． B． C． D．
4．在各项都为正数的等差数列{an}中，若a1+a2+…+a10=30，则a5•a6的最大值等于（　　）
A．3 B．6 C．9 D．36
5．已知正实数、、满足，，，则、、的大小关系是（）
A． B． C． D．
6．若，则为（）
A．－233 B．10 C．20 D．233
7．若，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知在处有极值0，且函数在区间上存在最大值，则的最大值为（ ）
A．-6 B．-9 C．-11 D．-4
9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)

A．16 B．(10＋)π C．4＋(5＋)π D．6＋(5＋)π
10．下列说法正确的是（ ）
A．命题“”的否定是“”
B．命题“已知，若则或”是真命题
C．命题“若则函数只有一个零点”的逆命题为真命题
D．“在上恒成立”在上恒成立
11．已知函数，下面结论错误的是( )
A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上是增函数
C．函数的图像关于直线对称 D．函数是奇函数
12．若幂函数的图象经过点，则其解析式为（）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为______．

14．已知函数，．则函数f（x）的最小正周期 _______
15．双曲线的焦点坐标为____________.
16．已知函数的导函数为，且，则_____
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）（1）当 时，求证：；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.
18．（12分）现将甲、乙两个学生在高二的6次数学测试的成绩（百分制）制成如图所示的茎叶图，进人高三后，由于改进了学习方法，甲、乙这两个学生的考试数学成绩预计同时有了大的提升.若甲（乙）的高二任意一次考试成绩为，则甲（乙）的高三对应的考试成绩预计为（若>100.则取为100）.若已知甲、乙两个学生的高二6次考试成绩分别都是由低到高进步的，定义为高三的任意一次考试后甲、乙两个学生的当次成绩之差的绝对值.

（I）试预测：在将要进行的高三6次测试中，甲、乙两个学生的平均成绩分别为多少？（计算结果四舍五入，取整数值）
（Ⅱ）求的分布列和数学期望.
19．（12分）统计学中，经常用环比、同比来进行数据比较，环比是指本期统计数据与上期比较，如年月与年月相比，同比是指本期数据与历史同时期比较，如年月与年月相比.
环比增长率（本期数上期数）上期数，
同比增长率（本期数同期数）同期数.
下表是某地区近个月来的消费者信心指数的统计数据：
序号

时间
年月
年月
年月
年月
年月
年月
年月
年月
消费者信心指数

2017年
月
年
月
年
月
年
月
年
月
年
月
年
月
年
月
年
月

求该地区年月消费者信心指数的同比增长率（百分比形式下保留整数）；
除年月以外，该地区消费者信心指数月环比增长率为负数的有几个月？
由以上数据可判断，序号与该地区消费者信心指数具有线性相关关系，写出关于的线性回归方程（，保留位小数），并依此预测该地区年月的消费者信心指数（结果保留位小数，参考数据与公式：，，，，）
20．（12分）已知函数.
(1)若,解不等式;
(2)若不等式对任意的实数恒成立，求的取值范围.
21．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数），且直线与曲线交于两点，以直角坐标系的原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2） 已知点的极坐标为，求的值
22．（10分）已知曲线的极坐标方程为，直线，直线．以极点为原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系．
（1）求直线的直角坐标方程以及曲线的参数方程；
（2）已知直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点，求的周长．
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
先求出两人从四个旅游景点中任意选取3个景点的所有选法，再求出两人选取的景点中有且仅有两个景点相同的选法，然后可求出对应概率.
【详解】
甲、乙两人从四个旅游景点中任意选取3个景点参观游览，总共有种选法，
两人选取的景点中有且仅有两个景点相同，总共有,
则两人选取的景点中有且仅有两个景点相同的概率为.
故选A.
本题考查了概率的求法，考查了排列组合等知识，考查了计算能力，属于中档题.
2、D
【解析】
第步从到中选个连续号有种选法；第步从到中选个连续号有种选法；第步从到中选个号有种选法.由分步计数原理可知：满足要求的注数共有注,故至少要花,故选D.
3、C
【解析】
利用条件概率公式得到答案.
【详解】

故答案选C
本题考查了条件概率的计算，意在考查学生的计算能力.
4、C
【解析】
试题分析：由题设，
所以，又因为等差数列各项都为正数，所以，
当且仅当时等号成立，所以a5·a6的最大值等于9，故选C．
考点：1、等差数列；2、基本不等式．
5、A
【解析】
计算出的值，然后考虑的大小.
【详解】
因为，所以，则，
故选：A.
指对式的比较大小，可以从正负的角度来分析，也可以从同指数的角度来分析大小.
6、A
【解析】
对等式两边进行求导，当x＝1时，求出a1+2a2+3a3+4a4+5a5的值，再求出a0的值，即可得出答案．
【详解】
对等式两边进行求导，得：
2×5（2x﹣3）4＝a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4，
令x＝1，得10＝a1+2a2+3a3+4a4+5a5；
又a0＝（﹣3）5＝﹣243，
∴a0+a1+2a2+3a3+4a4+5a5＝﹣243+10＝﹣1．
故选A．
本题考查了二项式定理与导数的综合应用问题，考查了赋值法求解二项展开式的系数和的方法，利用导数得出式子a1+2a2+3a3+4a4+5a5是解题的关键．
7、B
【解析】
令，将二项式转化为，然后利用二项式定理求出的系数，列方程求出实数的值．
【详解】
令，则，所以，
展开式的通项为，令，得，
，解得，故选B.
本题考查二项式定理，考查利用二项式定理指定项的系数求参数的值，解题的关键依据指数列方程求参数，利用参数来求解，考查计算能力，属于中等题．
8、C
【解析】
利用函数在处有极值0，即则，解得，再利用函数的导数判断单调性，在区间上存在最大值可得，从而可得的最大值．
【详解】
由函数，则，
因为在，处有极值0，则，
即，解得或，
当时，，此时，
所以函数单调递增无极值，与题意矛盾，舍去；
当时，，此时，，
则是函数的极值点，符合题意，
所以；
又因为函数在区间上存在最大值，
因为，
易得函数在和上单调递增，在上单调递减，
则极大值为，且，所以，
解得，则的最大值为：.
故选C．
本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性以及函数单调性，求解参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.
9、C
【解析】
分析：由该几何体的三视图判断出组合体各部分的几何特征，以及各部分的几何体相关几何量的数据，由面积公式求出该几何体的表面积.
详解：该几何体是两个相同的半圆锥与一个半圆柱的组合体，

其表面积为：S＝π＋4π＋4＋π＝4＋(5＋)π.
故选：C.
点睛：本题考查了由三视图求几何体的表面积，解题的关键是根据三视图判断几何体的结构特征及相关几何量的数据.
10、B
【解析】
A．注意修改量词并否定结论，由此判断真假；B．写出逆否命题并判断真假，根据互为逆否命题同真假进行判断；C．写出逆命题，并分析真假，由此进行判断；D．根据对恒成立问题的理解，由此判断真假.
【详解】
A．“”的否定为“”，故错误；
B．原命题的逆否命题为“若且，则”，是真命题，所以原命题是真命题，故正确；
C．原命题的逆命题为“若函数只有一个零点，则”，
因为时，，此时也仅有一个零点，所以逆命题是假命题，故错误；
D．“在上恒成立”“在上恒成立”，故错误.
故选：B.
本题考查命题真假的判断，涉及到函数零点、含一个量词的命题的真假判断、不等式恒成立问题的理解等内容，难度一般.注意互为逆否命题的两个命题真假性相同.
11、D
【解析】
试题分析：,所以函数的最小正周期为,函数在区间上是增函数, 函数的图像关于直线对称, 函数是偶函数.
考点：1.三角函数的周期性；2.三角函数的奇偶性；3.图像得对称轴；4.函数的单调性.
12、C
【解析】
设幂函数，代入点，即可求得解析式.
【详解】
设幂函数，代入点，
，解得，
.
故选C.
本题考查了幂函数解析式的求法.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
如下图，连接DO交BC于点G，设D，E，F重合于S点，正三角形的边长为x(x>0)，则.
，
，
三棱锥的体积.
设，x>0，则，
令，即，得，易知在处取得最大值.
∴.

点睛:对于三棱锥最值问题，需要用到函数思想进行解决，本题解决的关键是设好未知量，利用图形特征表示出三棱锥体积.当体积中的变量最高次是2次时可以利用二次函数的性质进行解决，当变量是高次时需要用到求导的方式进行解决.
14、
【解析】
首先根据二倍角公式先化简以及辅助角公式化简，再根据即可。
【详解】
由题意得：

，
∴函数f（x）的最小正周期；
本题主要考查了三角函数的化简以及周期的计算，属于基础题。
15、
【解析】
首先将双曲线方程整理为标准方程的形式，然后求解其焦点坐标即可.
【详解】
双曲线方程即：，其中，故，
由双曲线的方程可知双曲线焦点在x轴上，故焦点坐标为.
故答案为：．
本题主要考查双曲线方程焦点的计算，属于基础题.
16、．
【解析】
由导数的运算公式，求得，令，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，函数，则，
所以，解得.
本题主要考查了导数的运算，其中解答中熟记导数的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析（2）
【解析】
（1）根据不等式的特征，分 ， ，，构造，研究其单调性即可.
（2）将当时，恒成立，转化为时，恒成立，当时，显然成立，当且时，转化为，，利用（1）的结论求解.
【详解】
（1）当 时，原不等式左边与右边相等，
当 时，原不等式，等价于，
令，
所以，
所以在上递增，，
所以，
当 时，原不等式，等价于，
令，
所以，
所以在上递增，，
所以，
综上：当 时，；
（2）因为当时，恒成立，
所以当时，恒成立，
当时，显然成立，
当且时，恒成立，
由（1）知当且时，，所以，
所以.
实数的取值范围是.
本题主要考查导数于函数的单调性研究不等式恒成立问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.
18、（1）见解析；（2）见解析
【解析】
（I）先依题意预测出高三的6次考试成绩，由平均数的公式，分别计算即可;
（Ⅱ）由题意先写出随机变量的取值，以及对应的概率，即可求出分布列和期望.
【详解】
（I）由已知，预测高三的6次考试成绩如下：

第1次考试
第2次考试
第3次考试
第4次考试
第5次考试
第6次考试
甲
78
86
89
96
98
100
乙
81
85
92
94
96
100
甲高三的6次考试平均成绩为
，
乙高三的6次考试平均成绩为

所以预测：在将要进行的高三6次测试中，甲、乙两个学生的平均成绩分别约为91，91.
（Ⅱ）因为为高三的任意一次考试后甲、乙两个学生的当次成绩之差的绝对值，
所以=0，1，2，3
所以，，，.
所以的分布列为

0
1
2
3

所以
本题主要考查平均数的计算以及离散型随机变量的分布列与期望，属于基础题型.
19、；个；；.
【解析】
根据所给数据求出同比增长率即可；由本期数上期数，结合图表找出结果即可；
根据所给数据求出相关系数，求出回归方程，代入的值，求出的预报值即可.
【详解】
解：该地区年月份消费者信心指数的同比增长率为；
由已知环比增长率为负数，即本期数上期数，从表中可以看出，年月、年月、年月、年月、年月共个月的环比增长率为负数.
由已知计算得：，，
线性回归方程为.
当时，，即预测该地区年月份消费者信心指数约为.
本题考查回归方程问题，考查转化思想，属于中档题.
20、（1）；（2）
【解析】
分析：第一问先将代入解析式，之后应用零点分段法将绝对值不等式转化为若干个不等式组，最后取并集即可得结果；第二问将恒成立问题转化为最值问题来处理，应用绝对值的性质，将不等式的左边求得其最小值，之后将其转化为关于b的绝对值不等式，利用平方法求得结果.
详解：（1）

所以解集为：.
(2)

所以的取值范围为：.
点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的求解问题，在解题的过程中，需要用到零点分段法求绝对值不等式的解集，再者对于恒成立问题可以向最值来转化，而求最值时需要用到绝对值不等式的性质，之后应用平方法求解即可得结果.
21、 (1).
(2).
【解析】
分析：(1)曲线C的参数方程消去参数，得曲线C的普通方程，整理得到，由此，根据极坐标与平面直角坐标之间的关系，可以求得曲线C的极坐标方程；
(2)将直线的参数方程与曲线C的普通方程联立，利用直线方程中参数的几何意义，结合韦达定理，求得结果.
详解：（1）的普通方程为，
整理得，
所以曲线的极坐标方程为.
（2）点的直角坐标为，设，两点对应的参数为，，
将直线的参数方程代入曲线的普通方程中得，
整理得.
所以，且易知，，
由参数的几何意义可知，，，
所以 .
点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有曲线的参数方程向普通方程的转化，曲线的平面直角坐标方程向极坐标方程的转化，直线的参数方程中参数的几何意义，在解题的过程中，要认真分析，细心求解.
22、（1），；；（2）.
【解析】
（1）直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．
（2）利用（1）的结论，建立方程组，进一步利用余弦定理求出结果．
【详解】
（1）解：直线，
所以：直线的直角坐标方程为，
直线．
所以：直线的直角坐标方程为
曲线的直角坐标方程为，
所以：曲线的参数方程为（为参数）；
（2）解：联立，
得到，
同理，
又，
所以根据余弦定理可得，
所以周长．
本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，方程组的应用和余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．