2024-2025学年湖州市重点中学高二数学第二学期期末达标检测模拟试题含解析.doc

2024-2025学年湖州市重点中学高二数学第二学期期末达标检测模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知点F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M是FN的中点，则M点的纵坐标为（　　）
A．2 B．4 C．±2 D．±4
2．若，满足条件，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知命题：，使得，则为
A．，总有 B．，使得
C．，总有 D．，使得
4．已知数列是等比数列，其前项和为，，则（ ）
A． B． C．2 D．4
5．如图1为某省2019年1~4月快递义务量统计图，图2是该省2019年1~4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是( )

A．2019年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件
B．2019年1~4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高
C．从两图来看2019年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致
D．从1~4月来看，该省在2019年快递业务收入同比增长率逐月增长
6．如图，正方体的棱长为4，动点E，F在棱上，动点P，Q分别在棱AD，CD上．若，，，（大于零），则四面体PEFQ的体积

A．与都有关 B．与m有关，与无关
C．与p有关，与无关 D．与π有关，与无关
7．若是虚数单位，，则实数（ ）
A． B． C．2 D．3
8．古代“五行”学认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金.”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有
A．5种 B．10种
C．20种 D．120种
9．若是两个非零向量，且，则与的夹角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
10．下列命题中不正确的是（　　）
A．空间中和两条相交直线都平行的两个平面平行
B．空间中和两条异面直线都平行的两个平面平行
C．空间中和两条平行直线都垂直的两个平面平行
D．空间中和两条平行直线都平行的两个平面平行
11．已知在处有极值0，且函数在区间上存在最大值，则的最大值为（ ）
A．-6 B．-9 C．-11 D．-4
12．设是函数的导函数，则的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．求经过点，且在轴上的截距是在轴上的截距2倍的直线方程为________.
14．，其共轭复数对应复平面内的点在第二象限，则实数的范围是____．
15．若关于的不等式的解集为，则实数____________.
16．已知为实数，若复数是纯虚数，则__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，点和点 分别为椭圆的右顶点和上顶点，．

（1）求椭圆的离心率；
（2）过右焦点作一条弦，使，若的面积为，求椭圆的方程．
18．（12分）已知函数是定义在上的奇函数.
（1）求a的值：
（2）求函数的值域；
（3）当时，恒成立，求实数m的取值范围.
19．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线与曲线相交于不同的两点，，若是的中点，求直线的斜率.
20．（12分）已知
21．（12分）第届冬季奥林匹克运动会，将在年月日至日在北京和张家口联合举行.某研究机构为了解中学生对冰壶运动的兴趣，随机从某中学学生中抽取人进行了问卷调查，其中男、女生各人，将问卷得分情况制成茎叶图如右图：

（Ⅰ）将得分不低于分的称为“A类”调查对象，某研究机构想要进一步了解“A类”调查对象的更多信息，从“A类”调查对象中抽取人，设被抽到的女生人数为，求的分布列及数学期望；
（Ⅱ）通过问卷调查，得到如下列联表.完成列联表，并说明能否有的把握认为是否为“A类”调查对象与性别有关？

不是“A类”调查对象
是“A类”调查对象
总计
男

女

总计

附参考公式与数据：，其中.

22．（10分）设
（Ⅰ）求的单调区间.
（Ⅱ）当时，记，是否存在整数，使得关于的不等式有解？若存在求出的最小值，若不存在，说明理由.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
求出抛物线的焦点坐标，推出M的坐标，然后求解，得到答案．
【详解】
由题意，抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点，
若为的中点，如图所示，
可知的横坐标为1，则的纵坐标为，
故选C．

本题主要考查了抛物线的简单性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
2、A
【解析】
作出约束条件对应的平面区域（阴影部分），
由z=2x﹣y，得y=2x﹣z，
平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z，
经过点A时，直线y=2x﹣z的截距最大，此时z最小．
由 解得A（0，2）．
此时z的最大值为z=2×0﹣2=﹣2，
故选A．
点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．
3、C
【解析】
原命题为特称命题，则其否定为全称命题，即可得到答案
【详解】
命题：，使得
：，总有
故选
本题主要考查的是命题及其关系，命题的否定是对命题结论的否定，属于基础题．
4、A
【解析】
由题意，根据等比数列的通项公式和求和公式，求的公比，进而可求解，得到答案．
【详解】
由题意得，，，公比，则，故选A．
本题主要考查了等比数列的通项公式和求和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式和求和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
5、D
【解析】
由题意结合所给的统计图确定选项中的说法是否正确即可.
【详解】
对于选项A： 2018年1～4月的业务量，3月最高，2月最低，
差值为，接近2000万件，所以A是正确的；
对于选项B： 2018年1～4月的业务量同比增长率分别为，均超过，在3月最高，所以B是正确的；
对于选项C：2月份业务量同比增长率为53%，而收入的同比增长率为30%，所以C是正确的；
对于选项D，1，2，3，4月收入的同比增长率分别为55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长，D错误.
本题选择D选项.
本题主要考查统计图及其应用，新知识的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
6、C
【解析】
连接、交于点，作，证明平面，可得出平面，于此得出三棱锥的高为，再由四边形为矩形知，点到的距离为，于此可计算出的面积为，最后利用锥体的体积公式可得出四面体的体积的表达式，于此可得出结论．
【详解】
如下图所示，连接、交于点，作，

在正方体中，平面，且平面，
，又四边形为正方形，则，且，
平面，即平面，，平面，
且，
易知四边形是矩形，且，点到直线的距离为，
的面积为，
所以，四面体的体积为，
因此，四面体的体积与有关，与、无关，故选C.
本题考查三棱锥体积的计算，解题的关键在于寻找底面和高，要充分结合题中已知的线面垂直的条件，找三棱锥的高时，只需过点作垂线的平行线可得出高，考查逻辑推理能力，属于难题．
7、B
【解析】
先利用复数的模长公式得到，再根据复数相等的定义，即得解.
【详解】
由于
由复数相等的定义，
故选：B
本题考查了复数的模长和复数相等的概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.
8、B
【解析】
根据题意，可看做五个位置排列五个数，把“金、木、土、水、火”用“1，2，3，4，5”代替．根据相克原理，1不与2,5相邻，2不与1,3相邻，依次类推，用分布计数原理写出符合条件的情况.
【详解】
把“金、木、土、水、火”用“1，2，3，4，5”代替．1不与2,5相邻，2不与1,3相邻，所以以“1”开头的排法只有“1，3，5，2，4”或“1，4，2，5，3”两种，同理以其他数开头的排法都是2种，所以共有种．选B.
本题考查分步计数原理的应用，考查抽象问题具体化，注重考查学生的思维能力，属于中档题.
9、A
【解析】
画出图像：根据计算夹角为，再通过夹角公式计算与的夹角.
【详解】

形成一个等边三角形，如图形成一个菱形.
与的夹角为
故答案选A
本题考查了向量的加减和夹角，通过图形可以简化运算.
10、D
【解析】
作出几何体，根据图像，结合线面、面面间的关系，即可得出结果.
【详解】
如下图，m∥n，且m，n与底面α、左面β都平行，
但α、β相交，所以，D不正确．由面面平行的判定可知A、B、C都正确．
故选D

本主要考查空间中，直线、平面间的位置关系，熟记线面、面面位置关系，即可求出结果.
11、C
【解析】
利用函数在处有极值0，即则，解得，再利用函数的导数判断单调性，在区间上存在最大值可得，从而可得的最大值．
【详解】
由函数，则，
因为在，处有极值0，则，
即，解得或，
当时，，此时，
所以函数单调递增无极值，与题意矛盾，舍去；
当时，，此时，，
则是函数的极值点，符合题意，
所以；
又因为函数在区间上存在最大值，
因为，
易得函数在和上单调递增，在上单调递减，
则极大值为，且，所以，
解得，则的最大值为：.
故选C．
本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性以及函数单调性，求解参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.
12、C
【解析】
分析：求导，代值即可.
详解：，
则.
故选：C.
点睛：对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
根据截距是否为零分类求解.
【详解】
当在轴上的截距为零时，所求直线方程可设为，因为过点，所以；
当在轴上的截距不为零时，所求直线方程可设为，因为过点，所以；
所以直线方程为
本题考查根据截距求直线方程，考查基本分析求解能力，属中档题.
14、
【解析】
根据共轭复数对应的点所在的象限，列出不等式组求解.
【详解】
由已知得：，且在第二象限，
所以： ，
解得： ，
所以
故答案为 .
本题考查共轭复数的概念和其对应的点所在的象限，属于基础题.
15、
【解析】
由不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（ m，1）可知：x＝m，x＝1是方程2x2﹣3x+a＝0的两根．根据韦达定理便可分别求出m和a的值．
【详解】
由题意得：1为的根，所以，
从而
故答案为
本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题．
16、-3
【解析】
利用复数的除法、乘法运算整理可得：，利用复数是纯虚数列方程可得：，问题得解．
【详解】

若复数是纯虚数，则
解得：
故填：
本题主要考查了复数的乘法、除法运算，还考查了纯虚数的概念及方程思想，属于基础题．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）．
【解析】
（1）由可得，计算进而得答案。（2）设直线的方程，联立方程组，利用韦达定理，代入的面积公式计算整理即可。
【详解】
（1），，，，
，解得，，故．
（2）由（1）知椭圆方程可化简为．①
易求直线的斜率为，
故可设直线的方程为：．②
由①②消去得．
，．
于是的面积
，．
因此椭圆的方程为，即
本题考查椭圆的离心率以及通过弦长公式求椭圆的相关量，属于一般题。
18、（1）（2）（3）
【解析】
（1）利用函数是奇函数的定义求解a即可(2)判断函数的单调性，求解函数的值域即可(3)利用函数恒成立，分离参数m,利用换元法，结合函数的单调性求解最大值，推出结果即可.
【详解】
（1）∵是R上的奇函数，
∴
即：.
即
整理可得.
（2）在R上递增
∵，
,

∴函数的值域为.
（3）由
可得，，.
当时，
令），
则有，
函数在1≤t≤3上为增函数，
∴，
，
故实数m的取值范围为
本题主要考查了函数恒成立条件的应用，函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，属于中档题.
19、（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）直接利用极化直的公式化简得到曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，再根据求出直线的斜率.
【详解】
解：（Ⅰ）由，，，得

即所求曲线的直角坐标方程为：
（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得

由是的中点知，
即
所以直线的斜率为.
本题主要考查极直互化，考查直线参数方程t的几何意义解题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
20、
【解析】
把z1、z2代入关系式，化简即可
【详解】
，
复数的运算，难点是乘除法法则，设，
则，
.
21、（Ⅰ）见解析，（Ⅱ）见解析，没有
【解析】
（Ⅰ）由茎叶图可知得分不低于分的人数及男女分别各几人，可知的可能取值为，结合超几何分布的概率公式即可求得女生人数的分布列，并根据分布列求得其数学期望.
（Ⅱ）根据数据完成列联表，结合公式即可求得的观测值，与临界值作比较即可进行判断.
【详解】
（Ⅰ）人中得分不低于分的一共有人，其中男性人，女性人.
所以的可能取值为.
则，，
，.
所以的分布列为

所以.
（Ⅱ）

不是“A类”调查对象
是“A类”调查对象
合计
男

女

合计

所以，
因为，所以没有的把握认为是否是“A类”调查对象与性别有关.
本题考查了离散型随机变量分布列与数学期望的求法，超几何分布的综合应用，完善列联表并根据公式计算的观测值，对独立性事件进行判断和检验，属于基础题.
22、（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）0.
【解析】
（Ⅰ）对分三种情况讨论，利用导数求的单调区间；（Ⅱ）先求出函数h(x)在上单调递减，在上单调递增，再求出，即得解.
【详解】
解：（I）
时，令令
故在单调递增，在上单调递减；
0≤≤1时，恒成立，故在单调递增.
时，令令
故在单调递减，在上单调递增；
综上：在单调递增，在上单调递减；
时在单调递增.
时，在单调递减，在上单调递增.
（II）当时，

由于在上单调递增且
故唯一存在使得即
故h(x)在上单调递减，在上单调递增，故

又且在上单调递增，
故即
依题意：有解，故
又故
本题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数研究不等式存在性问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.