安徽省六安市卓越县中联盟2025年高一数学第二学期期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

安徽省六安市卓越县中联盟2025年高一数学第二学期期末学业质量监测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知下列各命题：
①两两相交且不共点的三条直线确定一个平面：
②若真线不平行于平面，则直线与平面有公共点：
③若两个平面垂直，则一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线：
④若两个二面角的两个面分别对应垂直，则这两个二面角相等或互补.
则其中正确的命题共有（ ）个
A． B． C． D．
2．已知函数的部分图象如图所示，则函数的表达式是（ ）

A． B．
C． D．
3．若为圆的弦的中点，则直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知的三边满足，则的内角C为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在正方体中，，分别是中点，则异面直线与所成角大小为（ ）．

A． B． C． D．
6．执行如下图所示的程序框图，若输出的，则输入的的值为（ ）

A． B． C． D．
7．已知数列{an}满足且，则的值是( )
A．－5 B．－ C．5 D．
8．已知函数，则
A．f（x）的最小正周期为π B．f（x）为偶函数
C．f（x）的图象关于对称 D．为奇函数
9．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．图像的对称中心是
B．在定义域内是增函数
C．是奇函数
D．图像的对称轴是
10．数列，通项公式为，若此数列为递增数列，则的取值范围是
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．等差数列前9项的和等于前4项的和.若，则 .
12．不等式的解集是______．
13．函数的反函数为____________．
14．已知，则________．
15．在锐角△中，角所对应的边分别为，若，则角等于________.
16．某奶茶店的日销售收入y(单位:百元)与当天平均气温x(单位:)之间的关系如下:
x

0
1
2
y
5

2
2
1
通过上面的五组数据得到了x与y之间的线性回归方程:； 但现在丢失了一个数据，该数据应为____________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，在直三棱柱中，，，，点N为AB中点，点M在边AB上.

（1）当点M为AB中点时，求证：平面；
（2）试确定点M的位置，使得平面.
18．已知点，圆.
（1）求过点的圆的切线方程；
（2）若直线与圆相交于、两点，且弦的长为，求的值.
19．在正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为.
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成的角的正弦值；
（3）设为截面内-点（不包括边界），求到面，面，面的距离平方和的最小值.
20．已知两点，.
（1）求直线AB的方程；
（2）直线l经过，且倾斜角为，求直线l与AB的交点坐标.
21．足球，有“世界第一运动的美誉，是全球体育界最具影响力的单项体育运动之一．足球传球是足球运动技术之一，是比赛中组织进攻、组织战术配合和进行射门的主要手段．足球截球也是足球运动技术的一种，是将对方控制或传出的球占为己有，或破坏对方对球的控制的技术，是比赛中由守转攻的主要手段．这两种运动技术都需要球运动员的正确判断和选择．现有甲、乙两队进行足球友谊赛，A、B两名运动员是甲队队员，C是乙队队员，B在A的正西方向，A和B相距20m，C在A的正北方向，A和C相距14m．现A沿北偏西60°方向水平传球，球速为10m/s，同时B沿北偏西30°方向以10m/s的速度前往接球，C同时也以10m/s的速度前去截球．假设球与B、C都在同一平面运动，且均保持匀速直线运动．

（1）若C沿南偏西60°方向前去截球，试判断B能否接到球？请说明理由．
（2）若C改变（1）的方向前去截球，试判断C能否球成功？请说明理由．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
①利用平面的基本性质判断.②利用直线与平面的位置关系判断.③由面面垂直的性质定理判断.④通过举反例来判断.
【详解】
①两两相交且不共点，形成三个不共线的点，确定一个平面，故正确.
②若真线不平行于平面，则直线与平面相交或在平面内，所以有公共点，故正确.
③若两个平面垂直，则一个平面内，若垂直交线的直线则垂直另一个平面，垂直另一平面内所有直线，若不垂直与交线，也与另一平面内垂直交线的直线及其平行线垂直，也有无数条，故正确.
④若两个二面角的两个面分别对应垂直，则这两个二面角关系不确定，如图：

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角D-AA1-F与二面角D1-DC-A的两个半平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等，也不互补．故错误..
故选：B
本题主要考查了点、线、面的位置关系，还考查了推理论证和理解辨析的能力，属于基础题.
2、D
【解析】
根据函数的最值求得，根据函数的周期求得，根据函数图像上一点的坐标求得，由此求得函数的解析式.
【详解】
由题图可知，且即，所以，
将点的坐标代入函数，
得，即，
因为，所以，
所以函数的表达式为．故选D.
本小题主要考查根据三角函数图像求三角函数的解析式，属于基础题.
3、D
【解析】
圆的圆心为O，求出圆心坐标，利用垂径定理，可以得到
，求出直线的斜率，利用两直线垂直斜率关系可以求出直线的斜率，利用点斜式写出直线方程，最后化为一般式方程.
【详解】
设圆的圆心为O，坐标为（1，0），根据圆的垂径定理可知：
，因为，所以，
因此直线的方程为，故本题选D.
本题考查了圆的垂径定理、两直线垂直斜率的关系，考查了斜率公式.
4、C
【解析】
原式可化为,又,则C=,故选C.
5、C
【解析】
通过中位线定理可以得到在正方体中，可以得到所以这样找到异面直线与所成角，通过计算求解．
【详解】
分别是中点，所以有而，因此
异面直线与所成角为在正方体中，,
所以，故本题选C．
本题考查了异面直线所成的角．
6、D
【解析】
由题意，当输入，则；；
； ，终止循环，
则输出，所以，故选D.
7、A
【解析】
试题分析：即
数列是公比为3的等比数列
．
考点：1．等比数列的定义及基本量的计算；2．对数的运算性质．
8、C
【解析】
对于函数，它的最小正周期为=4π，故A选项错误；函数f（x）不满足f（–x）=f（x），故f（x）不是偶函数，故B选项错误；令x=，可得f（x）=sin0=0，故f（x）的图象关于对称，C正确；由于f（x–）=sin（x–）=–sin（x）=–cos（x）为偶函数，故D选项错误，故选C．
9、A
【解析】
根据正切函数的图象与性质逐一判断即可．
【详解】
．，
由得，，
的对称中心为，，故正确；
．在定义域内不是增函数，故错误；
．为非奇非偶函数，故错误；
．的图象不是轴对称图形，故错误．
故选．
本题考查了正切函数的图象与性质，考查了整体思想，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属基础题．
10、B
【解析】
因为的对称轴为,因为此数列为递增数列,所以.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、10
【解析】
根据等差数列的前n项和公式可得，结合等差数列的性质即可求得k的值．
【详解】
因为
，且
所以
由等差数列性质可知
因为
所以
则根据等差数列性质可知
可得
本题考查了等差数列的前n项和公式，等差数列性质的应用，属于基础题．
12、
【解析】
由题可得，分式化乘积得，进而求得解集．
【详解】
由移项通分可得，即，解得，
故解集为
本题考查分式不等式的解法，属于基础题．
13、
【解析】
由原函数的解析式解出自变量x的解析式，再把x 和y交换位置，即可得到结果.
【详解】
解：记
∴
故反函数为：
本题考查函数与反函数的定义，求反函数的方法和步骤，注意反函数的定义域是原函数的值域．
14、
【解析】
利用向量内积的坐标运算以及向量模的坐标表示，准确运算，即可求解．
【详解】
由题意，向量，
则，，
所以．
故答案为
本题主要考查了向量内积的坐标运算，以及向量模的坐标运算的应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
15、
【解析】
试题分析：利用正弦定理化简，得，因为，所以，因为为锐角，所以．
考点：正弦定理的应用．
【方法点晴】本题主要考查了正弦定理的应用、以及特殊角的三角函数值问题，其中解答中涉及到解三角形中的边角互化，转化为三角函数求值的应用，解答中熟练掌握正弦定理的变形，完成条件的边角互化是解答的关键，注重考查了分析问题和解答问题的能力，同时注意条件中锐角三角形，属于中档试题．
16、4
【解析】
根据回归直线经过数据的中心点可求.
【详解】
设丢失的数据为，则，，
把代入回归方程可得，
故答案为：4.
本题主要考查回归直线的特征，明确回归直线一定经过样本数据的中心点是求解本题的关键，侧重考查数学运算的核心素养.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析；（2）见解析
【解析】
（1）推导出，由此能证明平面．
（2）当点是中点时，推导出，，从而平面，进而，推导出△，从而，由此能证明平面．
【详解】
（1）在直三棱柱中，
点为中点，为中点，
，
平面，平面，
平面．
（2）当点是中点时，使得平面．
证明如下：
在直三棱柱中，，，，
点为中点，点是中点，
，，
，平面，
平面，，
，，
，△，
，，
，
，平面．
本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18、（1）或；（2）
【解析】
分析：（1）根据点到直线的距离等于半径进行求解即可，注意分直线斜率不存在和斜率存在两种情况；
（2）根据直线和圆相交时的弦长公式进行求解.
详解：（1）由圆的方程得到圆心，半径，当直线斜率不存在时，方程与圆相切，
当直线斜率存在时，设方程为，即，
由题意得：，解得，
∴ 方程为，即，
则过点的切线方程为或.
（2）∵ 圆心到直线的距离为，
∴ ，解得：.
点睛：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据直线和圆相切和相交时的弦长公式是解决本题的关键.
19、（1）证明见解析；（2）（3）
【解析】
（1）利用在正方体的几何性质，得到，通过线面垂直和面面垂直的判定定理证明.
（2）根据和平面平面，知是在平面上的射影，即为直线与平面所成的角，然后在中求解.
（3）如图所示从向面，面，面引垂线，构成一个长方体，设到面，面，面的距离分别为x，y，z，，即长方体体对角线长的平方，当且仅当平面时，最小，然后用等体积法求解.
【详解】
（1）如图所示：

在正方体中且，
所以平面 ，
又因为平面，
所以平面平面.
（2）因为，
由（1）知平面平面，
所以是在平面上的射影，
所以即为直线与平面所成的角，
在中，
所以.
（3）如图所示从向面，面，面引垂线，
构成一个长方体，设到面，面，面的距离分别为x，y，z，，即长方体体对角线长的平方，
当且仅当平面时，最小，
又因为，
即，
，
.
本题主要考查几何体中线面垂直，面面垂直的判定定理和线面角及距离问题，还考查了空间想象，抽象概括，推理论证的能力，属于中档题.
20、（1）；（2）.
【解析】
（1）根据、两点的坐标，得到斜率，再由点斜式得到直线方程；
（2）根据的倾斜角和过点，得到的方程，再与直线联立，得到交点坐标.
【详解】
（1）因为点，，
所以，
所以方程为，
整理得；
（2）因为直线l经过，且倾斜角为，
所以直线的斜率为，
所以的方程为，整理得，
所以直线与直线的交点为，
解得，
所以交点坐标为.
本题考查点斜式求直线方程，求直线的交点坐标，属于简单题.
21、（1）能接到；（2）不能接到
【解析】
（1）在中由条件可得，，进一步可得为等边三角形，然后计算运动到点所需时间即可判断；
（2）建立平面直角坐标系，作于，求出直线的方程，然后计算到直线的距离即可判断．
【详解】
（1）如图所示，在中，，，
, ,，
由题意可知，如果不运动，经过，可以接到球，
在上取点，使得,,
为等边三角形，,，队员运动到点要，此时球运动了.
所以能接到球．

（2）建立如图所示的平面直角坐标系，作于，
所以直线的方程为：，经过，运动了．
点到直线的距离，
所以以为圆心，半径长为的圆与直线相离．
故改变（1）的方向前去截球，不能截到球．

本题主要考查了三角形的实际应用，以及点到直线的距离的应用，考查了推理与运算能力，属中档题．