安徽省合肥一中、六中、八中2025年高一数学第二学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析.doc

安徽省合肥一中、六中、八中2025年高一数学第二学期期末质量跟踪监视模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若变量满足约束条件则的最小值等于 （ ）
A． B． C． D．2
2．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为

A．35 B．20 C．18 D．9
4．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”． 给出下列函数：
①； ②；
③； ④．
其中“同簇函数”的是 （ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
5．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为(　　)

A．30° B．45° C．60° D．90°
6．过点且与点距离最大的直线方程是（）
A． B．
C． D．
7．若直线l：ax+by＝1（a＞0，b＞0）平分圆x2+y2﹣x﹣2y＝0，则的最小值为（　　　　）
A． B．2 C． D．
8．三角函数是刻画客观世界周期性变化规律的数学模型，单位圆定义法是任意角的三角函数常用的定义方法，是以角度（数学上最常用弧度制）为自变量，任意角的终边与单位圆交点坐标为因变量的函数.平面直角坐标系中的单位圆指的是平面直角坐标系上，以原点为圆心，半径为单位长度的圆.问题：已知角的终边与单位圆的交点为，则（ ）
A． B． C． D．
9．如右图所示的直观图，其表示的平面图形是
（A）正三角形 （B）锐角三角形
（C）钝角三角形 （D）直角三角形

10．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:

将三角形数1，3， 6，10记为数列，将可被5整除的三角形数，按从小到大的顺序组成一个新数列，可以推测:（ ）
A．1225 B．1275 C．2017 D．2018
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知向量，则与的夹角为______．
12．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为100且支出在元的样本，其频率分布直方图如图，则支出在元的同学人数为________

13．已知数列，其前项和为，若，则在，，…，中，满足的的个数为______.
14．已知数列，其中，若数列中，恒成立，则实数的取值范围是_______.
15．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则________.
16．已知正三棱柱木块，其中，，一只蚂蚁自点出发经过线段上的一点到达点，当沿蚂蚁走过的最短路径，截开木块时，两部分几何体的体积比为______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．各项均不相等的等差数列前项和为，已知，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
18．在中，分别是角的对边，且．
（1）求的大小；
（2）若，求的面积．
19．已知函数，其中数列是公比为的等比数列，数列是公差为的等差数列．
（1）若，，分别写出数列和数列的通项公式；
（2）若是奇函数，且，求；
（3）若函数的图像关于点对称，且当时，函数取得最小值，求的最小值．
20．已知分别在射线（不含端点）上运动，，在中，角所对的边分别是.

（Ⅰ）若依次成等差数列，且公差为1．求的值；
（Ⅱ）若，，试用表示的周长，并求周长的最大值
21．如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，，侧面是等腰直角三角形，，平面平面，点分别是棱上的点，平面平面
（Ⅰ）确定点的位置，并说明理由；
（Ⅱ）求三棱锥的体积.

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．
【详解】
解：由变量x，y满足约束条件作出可行域如图，
由图可知，最优解为A，
联立，解得A（﹣1，）．
∴z＝2x﹣y的最小值为2×（﹣1）．
故选A．

本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
2、C
【解析】
试题分析：从中任取3个不同的数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3,4,5，故3个数构成一组勾股数的取法只有1种，故所求概率为，故选C.
考点：古典概型
3、C
【解析】
试题分析：模拟算法：开始：输入成立；
，成立；
，成立；
，不成立，输出.故选C.
考点：1.数学文化；2.程序框图.
4、C
【解析】
试题分析：对于①中的函数而言，，对于③中的函数而言，
，由“同簇函数”的定义而知，互为“同簇函数”的若干个函数的振幅相等，将②中的函数向左平移个单位长度，得到的新函数解析式为
，故选C.
考点：1.新定义；2.三角函数图象变换
5、C
【解析】
连接，由三角形中位线定理及平行四边形性质可得 ，所以是与所成角，由正方体的性质可知是等边三角形，所以，与所成角是,故选C.
6、C
【解析】
过点且与点距离最大的直线满足: ，根据两直线互相垂直，斜率的关系可以求出直线的斜率，写出点斜式方程，最后化成一般方程，选出正确的选项.
【详解】
因为过点且与点距离最大的直线满足: ，所以有，
而，所以直线方程为，故本题选C.
本题考查了直线与直线垂直时斜率的性质，考查了数学运算能力.
7、C
【解析】
求得圆心，代入直线的方程，然后利用基本不等式求得的最小值.
【详解】
圆的圆心为，由于直线平分圆，故圆心在直线上，即，所以，当且仅当时等号成立.
故选：C
本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查利用基本不等式求最小值.
8、A
【解析】
先求出和的值，再根据诱导公式即可得解.
【详解】
因为角的终边与单位圆的交点为，所以，，
则.
故选：A.
本题考查任意角三角函数值的求法，考查诱导公式的应用，属于基础题,
9、D
【解析】略
10、A
【解析】
通过寻找规律以及数列求和，可得，然后计算，可得结果.
【详解】
根据题意可知：
则
由

…
可得
所以
故选：A
本题考查不完全归纳法的应用，本题难点在于找到，属难题，

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
设与的夹角为，由条件，平方可得，由此求得的值．
【详解】
设与的夹角为，，则由，平方可得 ，
解得，∴，
故答案为．
本题主要考查两个向量的数量积的定义，向量的模的定义，已知三角函数值求角的大小，属于中档题．
12、30
【解析】
由频率分布直方图求出支出在元的概率，由此能力求出支出在元的同学的人数，得到答案．
【详解】
由频率分布直方图，可得支出在元的概率，，
所以支出在元的同学的人数为人．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及概率的计算，其中解答中熟记频率分布直方图的性质，合理求得相应的概率是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
13、1
【解析】
运用周期公式，求得，运用诱导公式及三角恒等变换，化简可得，即可得到满足条件的的值．
【详解】
解：，
可得周期，

，
则满足的的个数为
．
故答案为：1．
本题考查三角函数的周期性及应用，考查三角函数的化简和求值，以及运算能力，属于中档题．
14、
【解析】
由函数（数列）单调性确定的项，哪些项取，哪些项取，再由是最小项，得不等关系．
【详解】
由题意数列是递增数列，数列是递减数列，存在，使得时，，当时，，
∵数列中，是唯一的最小项，
∴或，
或，
或，
综上．
∴ 的取值范围是．
故答案为：．
本题考查数列的单调性与最值．解题时楞借助函数的单调性求解．但数列是特殊的函数，它的自变量只能取正整数，因此讨论时与连续函数有一些区别．
15、
【解析】
根据奇偶性，先计算，再计算
【详解】
因为是定义在上的奇函数，所以.
因为当时，
所以.
故答案为
本题考查了奇函数的性质，属于常考题型.
16、
【解析】
将正三棱柱的侧面沿棱展开成平面，连接与的交点即为满足最小时的点，可知点为棱的中点，即可计算出沿着蚂蚁走过的路径截开木块时两几何体的体积之比.
【详解】
将正三棱柱沿棱展开成平面，连接与的交点即为满足最小时的点.

由于，，再结合棱柱的性质，可得，

一只蚂蚁自点出发经过线段上的一点到达点，当沿蚂蚁走过的最短路径，
为的中点，因为三棱柱是正三棱柱，所以当沿蚂蚁走过的最短路径，截开木块时，
两部分几何体的体积比为：.
故答案为：.
本题考查棱柱侧面最短路径问题，涉及棱柱侧面展开图的应用以及几何体体积的计算，考查分析问题解决问题能力，是中档题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】
（1）利用等差数列的通项公式和等比数列的性质，可得，则可得通项公式.
（2）根据（1）的结论可得，然后利用裂项相消求和，可得结果.
【详解】
（1）因为各项均不相等，所以公差
由等差数列通项公式
且，
所以，
又成等比数列，所以，
则，化简得，
所以
即
可得
即
（2）由（1）可得
化简可得
由

所以
本题主要考查利用裂项相消法求和，属基础题.
18、（1）
（2）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先由正弦定理将三角形的边角关系转化为角角关系，再利用两角和的正弦公式和诱导公式进行求解；（Ⅱ）先利用余弦定理求出，再利用三角形的面积公式进行求解.
试题解析：（Ⅰ）由

又所以.
（Ⅱ）由余弦定理有 ，解得，所以
点睛：在利用余弦定理进行求解时，往往利用整体思想，可减少计算量，若本题中的
.
19、（1），；（2）；（3）1
【解析】
(1)根据等差数列、等比数列的通项公式即可求解；
(2)根据奇函数的定义得出，化简得，解方程可得
(3)将化成的形式，依题意有，从而得到，因为当时，函数取得最小值，所以，两式相减即可求解.
【详解】
（1）由等差数列、等比数列的通项公式可得
，；
（2）
因为，所以
即，所以
又由，得
（3）

记，
则，其中；
因为的图像关于点对称，所以①
因为当时，函数取得最小值，所以②
②-①得，因为，
当，时，取得最小值为0
本题主要考查了等差数列、等比数列的通项公式的求法、三角函数的化简以及正弦型函数图像的性质，考查较全面，属于难题.
20、（1）或.（1），
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由题意可得 a=c-4、b=c-1．又因∠MCN=π，,可得恒等变形得c1-9c+14=0，再结合c＞4，可得c的值．
（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得AC=1sⅠnθ,BC=，△ABC的周长f（θ）=|AC|+|BC|+|AB|=,再由利用正弦函数的定义域和值域，求得f（θ）取得最大值．
试题解析：（Ⅰ）∵a、b、c成等差，且公差为1，∴a=c-4、b=c-1．
又因∠MCN=π，,可得,
恒等变形得c1-9c+14=0，解得c=2，或c=1．
又∵c＞4，∴c=2．
（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得
.
∴△ABC的周长f（θ）=|AC|+|BC|+|AB|=
,
又,
当,即时，f（θ）取得最大值.
考点：1.余弦定理;1．正弦定理
21、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（1）根据面面平行的性质得到，，根据平行关系和长度关系得到点是的中点，点是的中点；（2），因为，所以，进而求得体积.
详解：
（1）因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以，又因为，
所以四边形是平行四边形，所以，
即点是的中点．
因为平面平面，平面平面，平面平面，
所以，又因为点是的中点，所以点是的中点，
综上：分别是的中点；
（Ⅱ）因为，所以，又因为平面平面，
所以平面；又因为，
所以．
点睛:这个题目考查了面面平行的性质应用，空间几何体的体积的求法，求椎体的体积，一般直接应用公式底乘以高乘以三分之一，会涉及到点面距离的求法，点面距可以通过建立空间直角坐标系来求得点面距离，或者寻找面面垂直，再直接过点做交线的垂线即可;当点面距离不好求时，还可以等体积转化.