江西省南昌市八一中学2024-2025学年数学高一下期末预测试题含解析.doc

江西省南昌市八一中学2024-2025学年数学高一下期末预测试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知两条不重合的直线和，两个不重合的平面和，下列四个说法：
①若，，，则；
②若，，则；
③若，，，，则；
④若，，，，则．
其中所有正确的序号为（ ）
A．②④ B．③④ C．④ D．①③
2．函数（其中，，）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有的点（）

A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
3．已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．电视台某节目组要从名观众中抽取名幸运观众．先用简单随机抽样从人中剔除人，剩下的人再按系统抽样方法抽取人，则在人中，每个人被抽取的可能性（ ）
A．都相等，且为 B．都相等，且为
C．均不相等 D．不全相等
5．设l是直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
6． 下列赋值语句正确的是 (　 　)
A．S＝S＋i2 B．A＝－A
C．x＝2x＋1 D．P＝
7．已知，其中，则（ ）
A． B． C． D．
8．在中，，且面积为1，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．已知两个变量x，y之间具有线性相关关系，试验测得(x，y)的四组值分别为(1,2)，(2,4)，(3,5)，(4,7)，则y与x之间的回归直线方程为( )
A．y＝0.8x＋3 B．y＝－1.2x＋7.5
C．y＝1.6x＋0.5 D．y＝1.3x＋1.2
10．是( )
A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的奇函数
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．关于的方程只有一个实数根，则实数_____．
12．在圆心为，半径为的圆内接中，角，，的对边分别为，，，且，则的面积为__________．
13．在数列中，，当时，．则数列的前项和是_____.
14．已知，若方程的解集为，则__________．
15．下列命题：
①函数的最小正周期是；
②在直角坐标系中，点，将向量绕点逆时针旋转得到向量，则点的坐标是；
③在同一直角坐标系中，函数的图象和函数的图象有两个公共点；
④函数在上是增函数．
其中，正确的命题是________（填正确命题的序号）．
16．已知函数，下列说法：①图像关于对称；②的最小正周期为；③在区间上单调递减；④图像关于中心对称；⑤的最小正周期为；正确的是________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数，且函数是偶函数，设
(1)求的解析式；
(2)若不等式≥0在区间(1，e2]上恒成立，求实数的取值范围；
(3)若方程有三个不同的实数根，求实数的取值范围．
18．已知函数（ω＞0）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值和f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）﹣m＝0在区间[0，]上有两个实数解，求实数m的取值范围．
19．如图，在四棱锥P～ABCD中，底面ABCD为矩形，E，F分别为AD，PB的中点，PE⊥平面ABCD，AP⊥DP，AP＝DP．

（1）求证：EF∥平面PCD；
（2）设G为AB中点，求证：平面EFG⊥平面PCD．
20．已知数列的通项公式为.
（1）求这个数列的第10项；
（2）在区间内是否存在数列中的项？若有，有几项？若没有，请说明理由.
21．△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
根据线面平行，面面平行，线面垂直，面面垂直的性质定理，判定定理等有关结论，逐项判断出各项的真假，即可求出．
【详解】
对①，若，，，则或和相交，所以①错误；
对②，若，，则或，所以②错误；
对③，根据面面平行的判定定理可知，只有，，，，且和相交，则，所以③错误；
对④，根据面面垂直的性质定理可知，④正确．
故选：C．
本题主要考查有关线面平行，面面平行，线面垂直，面面垂直的命题的判断，意在考查线面平行，面面平行，线面垂直，面面垂直的性质定理，判定定理等有关结论的理解和应用，属于基础题．
2、C
【解析】
通过图象可以知道：最低点的纵坐标为，函数的图象与横轴的交点的坐标为，与之相邻的最低点的坐标为，这样可以求出和最小正周期，利用余弦型函数最小正周期公式，可以求出，把零点代入解析式中，可以求出，这样可以求出函数的解析式，利用诱导公式化为正弦型三角函数解析式形式，最后利用平移变换解析式的变化得出正确答案.
【详解】
由图象可知：函数的最低点的纵坐标为，函数的图象与横轴的交点的坐标为，与之相邻的最低点的坐标为，所以，设函数的最小正周期为，则有，而，把代入函数
解析式中，得
，
所以，而，显然由
向右平移个单位长度得到
的图象，故本题选C.
本题考查了由函数图象求余弦型函数解析式，考查了正弦型函数图象之间的平移变换规律.
3、C
【解析】
只需根据函数性质逐步得出值即可。
【详解】
因为为奇函数，∴；
又
，，又
∴，
故选C。
本题考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数。
4、A
【解析】
根据随机抽样等可能抽取的性质即可求解.
【详解】
由随机抽样等可能抽取，可知每个个体被抽取的可能性相等，
故抽取的概率为.
故选：A
本题考查了随机抽样的特点，属于基础题.
5、D
【解析】
利用空间线线、线面、面面的位置关系对选项进行逐一判断，即可得到答案.
【详解】
A.若，，则与可能平行，也可能相交，所以不正确.
B.若，，则与可能的位置关系有相交、平行或,所以不正确.
C.若，，则可能，所以不正确.
D.若，，由线面平行的性质过的平面与相交于，则，又.
所以，所以有，所以正确.
故选：D
本题考查面面平行、垂直的判断，线面平行和垂直的判断,属于基础题.
6、B
【解析】
在程序语句中乘方要用“^”表示，所以A项不正确；乘号“*”不能省略，所以C项不正确；D项中应用SQR(x)表示，所以D项不正确；B选项是将变量A的相反数赋给变量A，则B项正确．选B.
7、D
【解析】
先根据同角三角函数关系求得,再根据二倍角正切公式得结果.
【详解】
因为，且，
所以，因为，所以，
因此，从而，，选D.
本题考查同角三角函数关系以及二倍角正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
8、C
【解析】
根据三角形面积公式列式，求得，再根据基本不等式判断出C选项错误.
【详解】
根据三角形面积为得，三个式子相乘，得到，由于，所以.所以，故C选项错误.所以本小题选C.
本小题主要考查三角形面积公式，考查基本不等式的运用，属于中档题.
9、C
【解析】
试题分析：设样本中线点为，其中，即样本中心点为，因为回归直线必过样本中心点，将代入四个选项只有B,C成立，画出散点图分析可知两个变量x，y之间正相关，故C正确．
考点：回归直线方程
10、A
【解析】
将函数化为的形式后再进行判断便可得到结论．
【详解】
由题意得，
∵，
且函数的最小正周期为，
∴函数时最小正周期为的偶函数．
故选A．
判断函数最小正周期时，需要把函数的解析式化为或的形式，然后利用公式求解即可得到周期．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
首先从方程看是不能直接解出这个方程的根的，因此可以转化成函数，从函数的奇偶性出发。
【详解】
设，则

∴为偶函数，其图象关于轴对称，
又依题意只有一个零点，故此零点只能是，
所以，
∴，
∴，
∴，∴，
故答案为：
本题主要考查了函数奇偶性以及零点与方程的关系，方程的根就是对应函数的零点，本题属于基础题。
12、
【解析】
已知条件中含有这一表达式，可以联想到余弦定理进行条件替换；利用同弧所对圆心角为圆周角的两倍，先求出角的三角函数值，再求的正弦值,进而即可得解.
【详解】
，
，
在中，代入（1）式得：
，
整理得：
圆周角等于圆心角的两倍，，
（1）当时， ，，
.
（1）当时，，点在的外面，
此时，，．
本题对考生的计算能力要求较高，对解三角形和平面几何知识进行综合考查.
13、
【解析】
先利用累加法求出数列的通项公式，然后将数列的通项裂开，利用裂项求和法求出数列的前项和.
【详解】
当时，．
所以，，，，，.
上述等式全部相加得，.
，
因此， 数列的前项和为，故答案为：.
本题考查累加法求数列通项和裂项法求和，解题时要注意累加法求通项和裂项法求和对数列递推公式和通项公式的要求，考查运算求解能力，属于中等题.
14、
【解析】
将利用辅助角公式化简，可得出的值.
【详解】
，
其中，，因此，，故答案为.
本题考查利用辅助角公式化简计算，化简时要熟悉辅助角变形的基本步骤，考查运算求解能力，属于中等题.
15、①②④
【解析】
由余弦函数的周期公式可判断①；由任意角的三角函数定义可判断②；由余弦函数和一次函数的图象可判断③；由诱导公式和余弦函数的单调性可判断④．
【详解】
函数y＝cos（﹣2x）即y＝cos2x的最小正周期是π，故①正确；
在直角坐标系xOy中，点P（a，b），
将向量绕点O逆时针旋转90°得到向量，
设a＝rcosα，b＝rsinα，可得rcos（90°+α）＝﹣rsinα＝﹣b，
rsin（90°+α）＝rcosα＝a，则点Q的坐标是（﹣b，a），故②正确；
在同一直角坐标系中，函数y＝cosx的图象和函数y＝x的图象有一个公共点，故③错误；
函数y＝sin（x）即y＝﹣cosx在[0，π]上是增函数，故④正确．
故答案为①②④．

本题考查余弦函数的图象和性质，主要是周期性和单调性，考查数形结合思想和化简运算能力，属于基础题．
16、②③⑤
【解析】
将函数解析式改写成：，即可作出函数图象，根据图象即可判定.
【详解】
由题：，，
所以函数为奇函数，
，是该函数的周期，结合图象分析是其最小正周期，
，
作出函数图象：

可得，该函数的最小正周期为，图像不关于对称；
在区间上单调递减；图像不关于中心对称；
故答案为：②③⑤
此题考查三角函数图象及其性质的辨析，涉及周期性，对称性和单调性，作为填空题，恰当地利用图象解决问题能够起到事半功倍的作用.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) ；(2) ；(3) .
【解析】
（1）对称轴为，对称轴为，再根据图像平移关系求解；（2）分离参数，转化为求函数的最值；（3）令为整体，转化为二次函数根的分布问题求解.
【详解】
(1) 函数的对称轴为，
因为向左平移1个单位得到，且是偶函数，
所以 ，
所以.
(2)
即
又 ，所以，则

因为，所以实数的取值范围是.
(3) 方程即

化简得
令，则
若方程有三个不同的实数根，
则方程必须有两个不相等的实数根 ，
且或，
令
当时，则，即 ，
当时， ，，，舍去，
综上，实数的取值范围是.
本题考查求函数解析式，函数不等式恒成立及函数零点问题. 函数不等式恒成立通常采用参数分离法；函数零点问题要结合函数与方程的关系求解.
18、（Ⅰ），函数的增区间为．（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）利用三角函数恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性，即可求得结论；
（Ⅱ）由题意，函数的图象和直线在区间上有两个不同的交点，利用正弦函数的定义域和值域，以及正弦函数的图象特征，即可求解的取值范围.
【详解】
（Ⅰ）由题意，函数

所以函数的最小正周期为，∴，即 ．
令，求得，
可得函数的增区间为．
（Ⅱ）在区间上，则，则，
即，
关于x的方程在区间上有两个实数解，
则的图象和直线在区间上有两个不同的交点，
则．
本题主要考查了三角恒等变换，以及正弦型函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，以及把关于x的方程在区间上有两个实数解，转化为两个函数图象的交点个数是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
19、 (1) 证明见解析 (2)证明见解析
【解析】
（1）取的中点，连接，通过证明四边形为平行四边形，证得，由此证得平面.
（2）通过证明，证得平面，由此证得平面，从而证得平面平面.
【详解】
（1）证明：取PC的中点H，连接FH

则FH∥BC，FH，
又ED∥BC，ED，
∴ED∥FH，ED＝FH，
∴四边形EFHD为平行四边形，
∴EF∥DH，
又DH⊂平面PCD，EF⊄平面PCD，
∴EF∥平面PCD；
（2）证明：∵PE⊥平面ABCD，CD⊥AD，
∴CD⊥AP（三垂线定理），
又AP⊥PD，
∴AP⊥平面PCD，
又∵GF∥AP，
∴GF⊥平面PCD，
∴平面EFG⊥平面PCD．
本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
20、（1）（2）只有一项
【解析】
（1）根据通项公式直接求解（2）根据条件列不等式，解得结果
【详解】
解：（1）；
（2）解不等式得，
因为为正整数，所以，因此在区间内只有一项.
本题考查数列通项公式及其应用，考查基本分析求解能力，属基础题
21、（Ⅰ）B=（Ⅱ）
【解析】
(1)∵a=bcosC+csinB
∴由正弦定理知sinA=sinBcosC+sinCsinB ①
在三角形ABC中，A=－(B+C)
∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC ②
由①和②得sinBsinC=cosBsinC
而C∈(0，)，∴sinC≠0，∴sinB=cosB
又B(0，)，∴B=
(2) S△ABCacsinBac，
由已知及余弦定理得：4＝a2+c2﹣2accos2ac﹣2ac，
整理得：ac，当且仅当a＝c时，等号成立，
则△ABC面积的最大值为（2）1．