2024-2025学年广东省广州大学附属东江中学数学高一下期末学业水平测试试题含解析.doc

2024-2025学年广东省广州大学附属东江中学数学高一下期末学业水平测试试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在中，，，，则的面积是（ ）
A． B． C．或 D．或
2．已知，且为第二象限角，则（ ）
A． B． C． D．
3．函数在的图像大致为
A． B．
C． D．
4．一个几何体的三视图如图所示，则几何体的体积是( )

A． B． C． D．1
5．已知数列，如果，，，……，，……，是首项为1，公比为的等比数列，则=
A． B． C． D．
6．关于的不等式的解集中，恰有3个整数，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知直线l1：ax＋2y＋8＝0与l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行，则实数a的取值是（ ）
A．－1或2 B．－1 C．0或1 D．2
8．直线xy+1=0的倾斜角是（　　）
A．30° B．60°
C．120° D．150°
9．已知为等比数列，是它的前项和．若，且与的等差中项为，则（）
A．31 B．32 C． D．
10．设，则有( )
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则__________.
12．若八个学生参加合唱比赛的得分为87，88，90，91，92，93，93，94，则这组数据的方差是______
13．已知等差数列的前项和为，若，则_____
14．已知，且，.则的值是________.
15．不等式的解集为_________________；
16．若是等比数列，，，且公比为整数，则______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在中，内角所对的边分别为，且.
（1）求的值；
（2）若，求的面积.
18．己知 ，，且函数的图像上的任意两条对称轴之间的距离的最小值是.
（1）求的值：
（2）将函数的图像向右平移单位后，得到函数的图像，求函数在上的最值，并求取得最值时的的值.
19．如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，点是的中点，点是和的交点．

(1)证明： 平面；
(2)求三棱锥的体积．
20．已知，且，求的值.
21．关于的不等式，其中为大于0的常数。
（1）若不等式的解集为，求实数的取值范围；
（2）若不等式的解集为，且中恰好含有三个整数，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
先根据正弦定理求出角，从而求出角，再根据三角形的面积公式进行求解即可．
【详解】
解：由，，，
根据正弦定理得：，
为三角形的内角，
或，
或
在中，由，，或
则面积或．
故选C.
本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．
2、D
【解析】
首先根据题意得到，，再计算即可.
【详解】
因为，且为第二象限角，
，.
.
故选：D
本题主要考查正切二倍角的计算，同时考查了三角函数的诱导公式和同角三角函数的关系，属于简单题.
3、C
【解析】
由解析式研究函数的性质奇偶性、特殊函数值的正负，可选择正确的图象．
【详解】
易知函数（）是偶函数，图象关于轴对称，可排除BD，
时，，可排除A．
故选C．
本题考查由函数解析式选择函数图象，解题方法是由解析式分析函数的性质，如单调性、奇偶性、函数的极值、最值、特殊值、函数的值的正负等等．
4、C
【解析】
由三视图知几何体为三棱锥，且三棱锥的高为，底面是直角边长分别为1，的直角三角形，代入体积公式计算可得答案．
【详解】
解：由三视图知几何体为三棱锥，且三棱锥的高为，
底面是直角边长分别为1，的直角三角形，
∴三棱柱的体积V．
故选：C．
本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量．
5、A
【解析】
分析：累加法求解。
详解：，，
解得
点睛：形如的模型，求通项公式，用累加法。
6、C
【解析】
首先将原不等式转化为，然后对进行分类讨论，再结合不等式解集中恰有3个整数，列出关于的条件，求解即可.
【详解】
关于的不等式等价于
当时，即时，于的不等式的解集为，
要使解集中恰有3个整数，则；
当时，即时，于的不等式的解集为，不满足题意；
当时，即时，于的不等式的解集为，
要使解集中恰有3个整数，则；
综上，.
故选：C．
本题主要考了一元二次不等式的解法以及分类讨论思想，属于中档题．
7、A
【解析】

【详解】
，选A.
本题考查由两直线平行求参数.
8、D
【解析】
首先求出直线的斜率，由倾斜角与斜率的关系即可求解.
【详解】
直线xy+1=0的斜率，
设其倾斜角为θ（0°≤θ<180°），
则tan，
∴θ=150°
故选：D
本题考查直线斜率与倾斜角的关系，属于基础题.
9、A
【解析】
根据与的等差中项为，可得到一个等式，和，组成一个方程组，结合等比数列的性质，这个方程组转化为关于和公比的方程组，解这个方程组，求出和公比的值，再利用等比数列前项和公式，求出的值.
【详解】
因为与的等差中项为，所以，
因此有，故本题选A.
本题考查了等差中项的性质，等比数列的通项公式以及前项和公式，
10、A
【解析】
根据题意，利用辅助角公式得，对于，根据同角三角函数的基本关系和二倍角公式对进行处理，即可得到；对于，利用二倍角公式对变形处理可以得到，再根据正弦函数的单调性即可比较大小.
【详解】
由题意得

因为正弦函数在上为增函数，所以,选A.
本题是一道关于三角函数值大小比较的题目，解答本题的关键是掌握三角函数公式；二倍角公式、辅助角公式、同角三角函数的基本关系等．属于中等题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
先利用辅助角公式将函数的解析式化简，根据三角函数的变化规律求出函数的解析式，即可计算出的值．
【详解】
，
由题意可得，
因此，，
故答案为．
本题考查辅助角公式化简、三角函数图象变换，在三角图象相位变换的问题中，首先应该将三角函数的解析式化为（或）的形式，其次要注意左加右减指的是在自变量上进行加减，考查计算能力，属于中等题．
12、1.1
【解析】
先求出这组数据的平均数，由此能求出这组数据的方差．
【详解】
八个学生参加合唱比赛的得分为87，88，90，91，92，93，93，94，
则这组数据的平均数为：（87+88+90+91+92+93+93+94）＝91，
∴这组数据的方差为：S2[（87﹣91）2+（88﹣91）2+（90﹣91）2+（91﹣91）2+（92﹣91）2+（93﹣91）2+（93﹣91）2+（94﹣91）2]＝1.1．
故答案为1.1．
本题考查方差的求法，考查平均数、方差的性质等基础知识，考查了推理能力与计算能力，是基础题．
13、1．
【解析】
利用等差数列前项和公式能求出的值．
【详解】
解：∵等差数列的前项和为，若，
．
故答案为：．
本题考查等差数列前项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14、2
【解析】

.
15、
【解析】
根据绝对值定义去掉绝对值符号后再解不等式．
【详解】
时，原不等式可化为，，∴；
时，原不等式可化为，，∴．
综上原不等式的解为．
故答案为．
本题考查解绝对值不等式，解绝对值不等式的常用方法是根据绝对值定义去掉绝对值符号，然后求解．
16、512
【解析】
由题设条件知和是方程的两个实数根，解方程并由公比q为整数，知，，由此能够求出公比，从而得到.
【详解】
是等比数列，
，，
，，
和是方程的两个实数根，
解方程，
得，，
公比q为整数，
，，
，解得，
.故答案为：512
本题考查等比数列的通项公式的求法，利用了等比数列下标和的性质，是基础题.解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】
（1）首先利用正弦定理边化角，再利用即可得到答案；
（2）利用余弦定理和面积公式即可得到答案.
【详解】
（1），所以，
所以，即
因为，所以，所以，即.
（2）因为，所以.
由余弦定理可得，
因为，所以，解得.
故的面积为.
本题主要考查解三角形的综合应用，意在考查学生的基础知识，转化能力及计算能力，难度不大.
18、（1）1；（1）此时，此时
【解析】
（1）由条件利用两角和差的正弦公式化简f（x）的解析式，由周期求出ω，由f（2）＝2求出的值，可得f（x）的解析式，从而求得f（）的值．
（1）由条件利用函数y＝Asin（ωx+）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再根据正弦函数的定义域和值域求得g（x）在x∈[]上的最值．
【详解】
（1）f（x）＝sin（ωx+）+cos（ωx+）＝，故，求得ω＝1．
再根据 ，可得＝﹣，
故．
（1）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位后，得到函数y＝g（x）＝的图象.
∵x∈[]，∴，当时，即时，g（x）取得最大值为；
当时，即时，g（x）取得最小值为2．
本题主要考查两角和差的正弦公式，由函数y＝Asin（ωx+）的部分图象求解析式，函数y＝Asin（ωx+）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
19、 (1) 证明见解析；（2）.
【解析】
(1)在中，利用中位线性质得到 ，证明平面.
(2)直接利用体积公式得到答案.
【详解】
在中，点是的中点，底面是正方形点为中点
根据中位线性质得到，平面，故平面.
(2) 底面

本题考查了线面平行，三棱锥体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
20、
【解析】
利用向量垂直和同角三角函数关系可求得；利用二倍角公式和同角三角函数平方关系将化为关于正余弦的齐次式的问题，分子分母同时除以可化为的形式，代入的值可求得结果.
【详解】
，即

本题考查正余弦齐次式的求解问题，涉及到向量垂直的坐标表示、同角三角函数关系和二倍角公式的应用；关键是能够灵活利用同角三角函数的平方关系构造出关于正余弦的齐次式，进而构造出正切的形式来进行求解.
21、（1）；（2）
【解析】
（1）关于的不等式的解集为，得出判别式△，且，由此求出的取值范围；
（2）由题意知判别式△，设，利用对称轴以及（1），，
得出不等式的解集中恰好有三个整数，等价于，由此求出的取值范围．
【详解】
（1）由题意得一元二次不等式对应方程的判别式，
结合，解得.
（2）由题意得一元二次不等式对应方程的判别式，解得.
又，所以.
设，其对称轴为.
注意到，，对称轴，
所以不等式解集中恰好有三个整数只能是1、2、3，
此时中恰好含有三个整数等价于：，解得.
本题考查了不等式的解法与应用问题．