江西省重点中学盟校2024-2025学年数学高一第二学期期末综合测试试题含解析.doc

江西省重点中学盟校2024-2025学年数学高一第二学期期末综合测试试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．某社区义工队有24名成员，他们年龄的茎叶图如下表所示，先将他们按年龄从小到大编号为1至24号，再用系统抽样方法抽出6人组成一个工作小组，则这个小组年龄不超过55岁的人数为（ ）
3
9

4
0
1
1
2
5

5
1
3
6
6
7
7
8
8
8
9
6
0
0
1
2
3
3
4
5

A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知实数，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．设等比数列的公比，前项和为，则（）
A． B． C． D．
4．将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，5个剩余分数的平均分为21，现场作的7个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示,则5个剩余分数的方差为( )

A． B． C．36 D．
5．已知向量、满足，且，则为（ ）
A． B．6 C．3 D．
6．生活中有这样一个实际问题：如果一杯糖水不够甜，可以选择加糖的方式，使得糖水变得更甜．若，则下列数学模型中最能刻画“糖水变得更甜”的是（　）
A． B．
C． D．
7．已知是等差数列，其中，，则公差 ( )
A． B． C． D．
8．过点斜率为－3的直线的一般式方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．设均为正数，且，，．则（ ）
A． B． C． D．
10．如图，，是半径为2的圆周上的定点，为圆周上的动点且，，则图中阴影区域面积的最大值为（ )

A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在平面直角坐标系xOy中，若直线与直线平行，则实数a的值为______.
12．已知数列是等比数列，若，，则公比________.
13．如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是______.

14．已知函数，若，则的取值围为_________.
15．对于正项数列，定义为的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为，则数列的通项公式为_____．
16．设变量x、y满足约束条件，则目标函数的最大值为_______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数.
（1）若关于的不等式的解集是，求，的值；
（2）设关于的不等式的解集是，集合，若，求实数的取值范围.
18．如图1，已知菱形的对角线交于点，点为线段的中点，，，将三角形沿线段折起到的位置，，如图2所示．

（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）求三棱锥的体积．
19．某地区某农产品的销售量与年份有关，下表是近五年的部分统计数据：
年份
2010
2012
2014
2016
2018
销售量（吨）
114
115
116
116
114
用所给数据求年销售量（吨）与年份之间的回归直线方程，并根据所求出的直线方程预测该地区2019年该农产品的销售量.
参考公式：.
20．甲乙两地生产某种产品，他们可以调出的数量分别为300吨、750吨.A，B，C三地需要该产品数量分别为200吨，450吨，400吨，甲地运往A，B，C三地的费用分别为6元/吨、3元/吨，5元/吨，乙地运往A，B，C三地的费用分别为5元/吨，9元/吨，6元/吨，问怎样调运，才能使总运费最小？
21．已知圆内有一点，过点作直线交圆于两点.
（1）当直线经过圆心时，求直线的方程；
（2）当弦被点平分时，写出直线的方程.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
求出样本间隔，结合茎叶图求出年龄不超过55岁的有8人，然后进行计算即可．
【详解】
解：样本间隔为，年龄不超过55岁的有8人，
则这个小组中年龄不超过55岁的人数为人．
故选：．
本题主要考查茎叶图以及系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键，属于基础题．
2、C
【解析】
先得出，，，然后利用在上的单调性即可比较出的大小.
【详解】
因为
所以，，
因为且在上单调递增
所以
故选：C
利用函数单调性比较函数值大小的时候，应将自变量转化到同一个单调区间内.
3、C
【解析】
利用等比数列的前n项和公式表示出 ,利用等比数列的通项公式表示出，计算即可得出答案。
【详解】
因为，
所以
故选C
本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式，属于基础题。
4、B
【解析】
由剩余5个分数的平均数为21，据茎叶图列方程求出x＝4，由此能求出5个剩余分数的方差．
【详解】
∵将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个分数的平均数为21，
∴由茎叶图得：
得x＝4，
∴5个分数的方差为：
S2
故选B
本题考查方差的求法，考查平均数、方差、茎叶图基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．
5、A
【解析】
先由可得,即可求得,再对平方处理,进而求解
【详解】
因为,所以,则,
所以,
则,
故选:A
本题考查向量的模,考查向量垂直的数量积表示,考查运算能力
6、B
【解析】
由题意可得糖水甜可用浓度体现，设糖的量为，糖水的量设为，添加糖的量为，对照选项，即可得到结论．
【详解】
由题意，若，设糖的量为，糖水的量设为，添加糖的量为，
选项A，C不能说明糖水变得更甜，
糖水甜可用浓度体现，而，能体现糖水变甜；
选项D等价于，不成立，
故选：B．
本题主要考查了不等式在实际生活中的运用，考查不等式的等价变形，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
7、D
【解析】
根据等差数列通项公式即可构造方程求得结果.
【详解】

故选：
本题考查等差数列基本量的计算，关键是熟练应用等差数列通项公式，属于基础题.
8、A
【解析】
由点和斜率求出点斜式方程，化为一般式方程即可．
【详解】
解：过点斜率为的直线方程为，
化为一般式方程为；
故选：．
本题考查了由点以及斜率求点斜式方程的问题，属于基础题．
9、A
【解析】
试题分析：在同一坐标系中分别画出，，的图象，

与的交点的横坐标为，与的图象的交点的横坐标为，与的图象的交点的横坐标为，从图象可以看出．
考点：指数函数、对数函数图象和性质的应用．
【方法点睛】一般一个方程中含有两个以上的函数类型，就要考虑用数形结合求解，在同一坐标系中画出两函数图象的交点，函数图象的交点的横坐标即为方程的解．
10、D
【解析】
由题意可得，要求阴影区域的面积的最大值，即为直线，运用扇形面积公式和三角形的面积公式，计算可得所求最大值．
【详解】
由题意可得，
要求阴影区域的面积的最大值，即为直线，
即有，到线段的距离为，
，
扇形的面积为，
的面积为，
，
即有阴影区域的面积的最大值为．
故选．
本题考查扇形面积公式和三角函数的恒等变换，考查化简运算能力，属于中档题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、1
【解析】
由，解得，经过验证即可得出．
【详解】
由，解得．
经过验证可得：满足直线与直线平行，
则实数．
故答案为：1．
本题考查直线的平行与斜率之间的关系，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
12、
【解析】
利用等比数列的通项公式即可得出．
【详解】
∵数列是等比数列，若，，则，解得，即.
故答案为：
本题考查了等比数列的通项公式，考查了计算能力，属于基础题．
13、
【解析】
将所求两条异面直线平移到一起，解三角形求得异面直线所成的角.
【详解】
连接，根据三角形中位线得到，所以是异面直线与所成角.在三角形中，,所以三角形是等边三角形，故.
故填：.

本小题主要考查异面直线所成的角的求法，考查空间想象能力，属于基础题.
14、
【解析】
由函数，根据，得到，再由，得到，结合余弦函数的性质，即可求解.
【详解】
由题意，函数，
又由，即，即，
因为，则，
所以或，即或，
所以实数的取值围为.
故答案为：.
本题主要考查了余弦的倍角公式，以及三角不等式的求解，其中解答中熟练应用余弦函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
15、
【解析】
根据的定义把带入即可。
【详解】
∵
∴
∵
∴①
∴②
①-②得
∴
故答案为：
本题主要考查了新定义题，解新定义题首先需要读懂新定义，其次再根据题目的条件带入新定义即可，属于中等题。
16、3
【解析】
可通过限定条件作出对应的平面区域图，再根据目标函数特点进行求值
【详解】
可行域如图所示;

则可化为,由图象可知,当过点时，有最大值，则其最大值为:
故答案为:3.
线性规划问题关键是能正确画出可行域，目标函数可由几何意义确定具体含义（最值或斜率）

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) ，.
(2).
【解析】
分析：（1）先根据不等式解集与对应方程根的关系得x2-（a+1）x+1=0的两个实数根为m、2，再利用韦达定理得结果.（2）当A∩B=时，即不等式f（x）＞0对x∈B恒成立，再利用变量分离法得a+1＜x+的最小值，最后根据基本不等式求最值，即得结果.
详解：（1）∵关于x的不等式f（x）＜0的解集是{x|m＜x＜2}，
∴对应方程x2-（a+1）x+1=0的两个实数根为m、2，
由根与系数的关系，得，解得a=，m=；
（2）∵关于x的不等式f（x）≤0的解集是A，
集合B={x|0≤x≤1}，当A∩B=时，即不等式f（x）＞0对x∈B恒成立；
即x∈时，x2-（a+1）x+1＞0恒成立，
∴a+1＜x+对于x∈（0，1]恒成立（当时，1>0恒成立）；
∵当x∈（0，1]时，
∴a+1＜2，即a＜1，∴实数a的取值范围是．
点睛：一元二次方程的根与对应一元二次不等式解集以及对应二次函数零点的关系，是数形结合思想，等价转化思想的具体体现，注意转化时的等价性.
18、（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）折叠前，AC⊥DE；，从而折叠后，DE⊥PF，DE⊥CF，由此能证明DE⊥平面PCF．
再由DC∥AE，DC＝AE能得到DC∥EB，DC＝EB．说明四边形DEBC为平行四边形．可得CB∥DE．由此能证明平面PBC⊥平面PCF．
（Ⅱ）由题意根据勾股定理运算得到，又由（Ⅰ）的结论得到 ，可得平面，再利用等体积转化有，计算结果.
【详解】
（Ⅰ）折叠前，因为四边形为菱形，所以；
所以折叠后，，, 又，平面，
所以平面
因为四边形为菱形，所以．
又点为线段的中点，所以．
所以四边形为平行四边形．
所以．
又平面，所以平面．
因为平面，所以平面平面．
（Ⅱ）图1中，由已知得，，
所以图2中，，又
所以，所以
又平面，所以
又，平面，
所以平面，
所以．
所以三棱锥的体积为．
本题考查线面垂直、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查了三棱锥体积的求法，运用了转化思想，是中档题．
19、；115.25吨
【解析】
由表格中的数据先求出,再根据公式求得与的值,得到线性回归方程,取即可求得2019年该农产品销售量的预测值.
【详解】
由表中数据可得:,
,
∴,
,
∴所求回归直线方程为:,
由此可以预测2019年该农产品的销售量为:吨.
本题考查线性回归方程的求法,考查计算能力,难度不大.
20、甲到B调运300吨，从乙到A调运200吨，从乙到B调运150吨，从乙到C调运400吨，总运费最小
【解析】
设从甲到A调运吨，从甲到B调运吨，则由题设可得 ，总的费用为，利用线性规划可求目标函数的最小值.
【详解】
设从甲到A调运吨，从甲到B调运吨，从甲到C调运吨，则从乙到A调运吨，从乙到B调运吨，从乙到C调运吨，
设调运的总费用为元，则

.
由已知得约束条件为，可行域如图所示，

平移直线可得最优解为.
甲到B调运300吨，从乙到A调运200吨，从乙到B调运150吨，从乙到C调运400吨，总运费最小.
本题考查线性规划在实际问题中的应用，属于基础题.
21、（1）（2）
【解析】
（1）求得圆的圆心为，利用直线的点斜式方程，即可求解；
（2）当弦被点平分时，，得此直线的斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解.
【详解】
（1）由题意得，圆的圆心为，
因为直线过点，所以直线的斜率为2，
直线的方程为，即直线的方程.
（2）当弦被点平分时，，此时直线的斜率为，
所以直线的方程为，即直线的方程.
本题主要考查了直线的方程的求解，以及圆的性质的应用，其中解答中熟练应用直线与圆的位置关系和直线的点斜式方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.