安徽省阜阳市颍州区第三中学2025届数学高一下期末学业质量监测试题含解析.doc

安徽省阜阳市颍州区第三中学 2025 届数学高一下期末学业质量监测试题 注意事项：注意事项：1 1 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2 2选择题必须使用选择题必须使用 2B2B 铅笔填涂；非选择题必须使用铅笔填涂；非选择题必须使用 0 05 5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3 3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4 4保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 5050 分。在分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1如图，程序框图所进行的求和运算是（如图，程序框图所进行的求和运算是（）A111124620 B11113519 C11112418 D231011112222 2在三棱锥在三棱锥PABC中，中，PC 平面平面ABC，90BAC，3AB，4AC，60PBC，则三棱锥，则三棱锥PABC外接球的体积为外接球的体积为()A100 B5003 C125 D1253 3若平面若平面 平面平面，直线，直线l 平面平面，直线，直线 n 平面平面，则直线，则直线l与直线与直线 n 的位置关系是（的位置关系是（）A平行平行 B异面异面 C相交相交 D平行或异面平行或异面 4设等差数列设等差数列 na的前的前n项和为项和为nS，834Sa，72a ，则，则10a（）A8 B6 C4 D2 5 九章算术卷第六均输中，提到如下问题：九章算术卷第六均输中，提到如下问题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升问中间二节欲今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升问中间二节欲均容，各多少？均容，各多少？”其大致意思是说，若九节竹每节的容量依次成等差其大致意思是说，若九节竹每节的容量依次成等差数列，下三节容量四升，上四节容量三升，则中间数列，下三节容量四升，上四节容量三升，则中间两节的容量各是（两节的容量各是（）A6766升、升、4133升升 B3733升、升、322升升 C322升、升、4133升升 D6766升、升、3733升升 6已知数列已知数列 na的前的前 n 项和为项和为nS，且满足，且满足22nnSa，则，则2016a（）A1 B1 C2 D2016 7已知向量已知向量a，b满足满足4a，b在在a上的投影（正射影的数量）为上的投影（正射影的数量）为-2，则，则2ab的最小值为（的最小值为（）A4 3 B10 C10 D8 8在在ABC中，中，1sincossincos2aBCcBAb且且ab，则，则B等于等于()A6 B3 C23 D56 9已知锐角三角形的边长分别为已知锐角三角形的边长分别为 1，3，a，则，则a的取值范围是（的取值范围是（）A8,10 B2 2,10 C2 2,10 D10,8 10若变量若变量,x y满足约束条件满足约束条件20,0,220,xyxyxy则则2zxy的最小值等于的最小值等于（）A52 B2 C32 D2 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分。分。11设等差数列设等差数列 na的前的前n项和为项和为11304nmmSSSS，则，则m_.12过点过点1,4且在坐标轴上的截距相等的直线的一般式方程是且在坐标轴上的截距相等的直线的一般式方程是_.13已知样本数据已知样本数据1210,a aa的方差是的方差是 1，如果有，如果有3(1,2,10)iibai，那么数据，那么数据，1210,b bb的方差的方差为为_.14三阶行列式三阶行列式147258369中，元素中，元素 4 的代数余子式的值为的代数余子式的值为_.15已知数列已知数列 na为正项的递增等比数列，为正项的递增等比数列，1582aa，2481aa，记数列，记数列2na的前的前 n 项和为项和为nT，则使不等式，则使不等式12019113nT 成立的最大正整数成立的最大正整数 n 的值是的值是_ 16函数函数 3sin3cos3f xxx的最小正周期为的最小正周期为_.三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 5 小题，共小题，共 7070 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17在在ABC中，角中，角,A B C的对边分别为的对边分别为,a b c，已知，已知coscos2 cosaBbAcC.（1）求角）求角C；（2）若）若7,cABC的面积为的面积为3 32，求，求CA在在BC上的投影上的投影.18已知数列已知数列 na满足：满足：*11212nnnaanNaa，.（1）求证：数列）求证：数列1na为等差数列，并求为等差数列，并求na；（2）记）记1nnnbaa，求数列，求数列 nb的前的前n项和项和nS.19设数列设数列 na满足满足12323.2(nN*)nnaaana（1）求）求 na的通项公式；的通项公式；（2）求数列）求数列122nna的前的前n项和项和nS 20解关于解关于x的方程：的方程：22sin5sin cos6cos0 xxxx 21已知已知，（1）求）求的值；的值；（2）求）求的值的值 参考答案 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 5050 分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、A【解析】【解析】根据当型循环结构，依次代入计算s的值，即可得输出的表达式.【详解】根据循环结构程序框图可知，110,422sn，11,624sn，111,8246sn，1111,2024618sn，11111,222461820sn，跳出循环体，所以结果为111112461820s，故选：A.本题考查了当型循环结构的应用，执行循环体计算输出值，属于基础题.2、B【解析】【解析】在三棱锥PABC中，求得5BC,又由PC 底面ABC，所以PCBC,在直角PBC中，求得10PC,进而得到三棱锥PABC外接球的直径，得到5R，利用体积公式，即可求解.【详解】由题意知，在三棱锥PABC中，90BAC，3AB，4AC，所以5BC,又由PC 底面ABC，所以PCBC,在直角PBC中，05,60BCPBC，所以10PC,根据球的性质，可得三棱锥PABC外接球的直径为210RPC，即5R，所以球的体积为33445005333VR，故选 B.本题主要考查了与球有关的组合体中球的体积的计算，其中解答中根据组合体的结构特征和球的性质，准确求解球的半径是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.3、D【解析】【解析】由面面平行的定义，可得两直线无公共点，可得所求结论【详解】平面 平面，可得两平面，无公共点，即有直线l与直线n也无公共点，可得它们异面或平行，故选：D 本题考查空间线线的位置关系，考查面面平行的定义，属于基础题 4、A【解析】【解析】利用等差数列的基本量解决问题.【详解】解：设等差数列 na的公差为d，首项为1a，因为834Sa，72a ，故有1118 784(2)262adadad，解得1102ad，101aa9d10188，故选 A.本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式，解决问题的关键是熟练运用基本量法.5、D【解析】【解析】由题意知九节竹的容量成等差数列，至下而上各节的容量分别为 a1，a2，an，公差为 d，利用等差数列的前 n 项和公式和通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出中间一节的容量【详解】由题意知九节竹的容量成等差数列,至下而上各节的容量分别为 a1，a2，a9，公差为 d，即123+aaa=4，6789+aaaa=3，13+3ad=4，14+26ad=3，解得195=66a,766d ，中间两节的容量519528674666666aad,43733a，故选：D.本题考查等差数列的通项公式，利用等差数列的通项公式列出方程组，解出首项与公差即可，考查计算能力，属于基础题.6、C【解析】【解析】利用nS和na关系得到数列 na通项公式，代入数据得到答案.【详解】已知数列 na的前 n 项和为nS，且满足22nnSa，1122nnSa 相减：112(2)nnnnaaaaan 取1n 111222Saa 20162a 答案选 C 本题考查了nS和na关系，数列的通项公式，意在考查学生的计算能力.7、D【解析】【解析】b在a上的投影（正射影的数量）为2可知|cos,2ba b，可求出|2b，求22ab的最小值即可得出结果.【详解】因为b在a上的投影（正射影的数量）为2，所以|cos,2ba b，即2|cos,ba b，而1cos,0a b，所以|2b，因为2222222(2)44|4|cos,4|ababaa bbaa ba bb 22=164 4(2)4|484|bb 所以22484 464ab，即28ab，故选 D.本题主要考查了向量在向量上的正射影，向量的数量积，属于难题.8、A【解析】【解析】在 ABC 中，利用正弦定理与两角和的正弦化简已知可得，sin（A+C）sinB12，结合 ab，即可求得答案【详解】在 ABC 中，asinBcosC+csinBcosA12b，由正弦定理得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA12sinB，sinB0，sinAcosC+sinCcosA12，sin（A+C）12，又 A+B+C，sin（A+C）sin（B）sinB12，又 ab，B6 故选 A 本题考查两角和与差的正弦函数与正弦定理的应用，考查了大角对大边的性质，属于中档题 9、B【解析】【解析】根据大边对大角定理知边长为1所对的角不是最大角，只需对其他两条边所对的利用余弦定理，即这两角的余弦值为正，可求出a的取值范围【详解】由题意知，边长为1所对的角不是最大角，则边长为3或a所对的角为最大角，只需这两个角为锐角即可，则这两个角的余弦值为正数，于此得到2222221313aa，由于0a，解得2 210a，故选 C 本题考查余弦定理的应用，在考查三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，一般由最大角来决定，并利用余弦定理结合余弦值的符号来进行转化，其关系如下：A为锐角cos0A；A为直角cos0A；A为钝角cos0A.10、A【解析】【解析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案【详解】解：由变量 x，y 满足约束条件200220 xyxyxy作出可行域如图，由图可知，最优解为 A，联立20220 xyxy，解得 A（1，12）z2xy 的最小值为 2（1）1522 故选 A 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分。分。11、7【解析】【解析】设等差数列 na的公差为d，由13S ，可求出1a的值，结合104mmSS，可以求出1ma的值，利用等差数列的通项公式，可得7md，再利用0mS，可以求出m的值.【详解】设等差数列 na的公差为d，因为13S ，所以13a ，又因为104mmSS，所以14ma147amdmd，而11(1)000172mSm mddmmma .本题考查了等差数列的通项公式以及等差数列 na的前n项和公式，考查了数学运算能力.12、40 xy或30 xy【解析】【解析】讨论直线过原点和直线不过原点两种情况，分别计算得到答案.【详解】当直线过原点时，设ykx，过点1,4，则4k，即40 xy；当直线不过原点时，设1xyaa，过点1,4，则3a，即30 xy；综上所述：直线方程为40 xy或30 xy.故答案为：40 xy或30 xy.本题考查了直线方程，漏解是容易发生的错误.13、1【解析】【解析】利用方差的性质直接求解【详解】根据题意，样本数据1210,a aa的平均数为a，方差是 1，则有22222123101110aSaaaaaaaa，对于数据3(1,2,10)iibai，其平均数为 121012101133331010bbbbaaaa，其方差为2222212310110bSbbbbbbbb 2222123101110aaaaaaaa，故答案为 1.本题考查方差的求法，考查方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 14、6【解析】【解析】利用代数余子式的定义直接求解.【详解】三阶行列式147258369中，元素 4 的代数余子式的值为：328(1)(1824)639.故答案为：6.本题主要考查了三阶行列式中元素的代数余子式的求法，属于中档题.15、6【解析】【解析】设等比数列an的公比 q，由于是正项的递增等比数列，可得 q1由 a1+a5=82，a2a4=81=a1a5，a1，a5，是一元二次方程 x282x+81=0 的两个实数根，解得 a1，a5，利用通项公式可得 q，an利用等比数列的求和公式可得数列2na的前 n 项和为 Tn代入不等式 2019|13Tn1|1，化简即可得出【详解】数列 na为正项的递增等比数列，1582aa，a2a4=81=a1a5，即15158281aaa a解得15181aa，则公比3q，13nna，则2122221333nnT 111323 11313nn，12019113nT，即1201913n，得32019n，此时正整数n的最大值为 6.故答案为 6.本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、一元二次方程的解法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 16、23【解析】【解析】用辅助角公式把函数解析式化成正弦型函数解析式的形式，最后利用正弦型函数的最小正周期的公式求出最小正周期.【详解】223sin3cos32sin(3),63f xxxxTT,函数 3sin3cos3f xxx的最小正周期为23.本题考查了辅助角公式，考查了正弦型函数最小正周期公式，考查了数学运算能力.三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 5 小题，共小题，共 7070 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）3；（2）当3,2ab时，CA在BC上的投影为1；当2,3ab时，CA在BC上的投影为32.【解析】【解析】（1）由已知条件，结合正弦定理，求得1cos2C，即可求得 C 的大小；（2）由已知条件，结合三角形的面积公式及余弦定理，求得,a b的值，再由向量的数量积的运算，即可求解.【详解】（1）因为coscos2 cosaBbAcC，由正弦定理知sincossincos2sincosABBACC，即sin()2sincosABCC，又ABC，所以sin()2sincosCCC，所以sin2sincosCCC，在ABC中，sin0C，所以1cos2C，又(0,)C，所以3C；（2）在ABC中，由余弦定理得22222(7)2cos3abababab，由3 32S，即133 3sin2342abab，因此6ab，所以22136abab，解得32ab或23ab，当3,2ab时，CA在BC上的投影为2cos13；当2,3ab时，CA在BC上的投影为33 cos32.本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.18、（1）证明见解析，21nan；（2）22nnSn【解析】【解析】（1）由等差数列的定义证明，利用等差数列通项公式可求得na；（2）用裂项相消法求数列 nb的和【详解】（1）证明：122nnnaaa，1211122nnnnaaaa，即11112nnaa，1na是等差数列，公差为12，11a，1111(1)22nnna，21nan；（2）由（1）4114()(1)(2)12nbnnnn，所以1111114()()()233412nSnn1124)222nnn（本题考查用定义证明等差数列，考查等差数列的通项公式，考查用裂项相消法求数列的前n项和掌握等差数的定义是解题关键数列求和时除掌握等比数列的求和公式外还要掌握数列的几种求和方法：裂项相消法，错位相减法，分组（并项）求和法，倒序相加法等等 19、（1）2nan；（1）111 222nn nn.【解析】【解析】（1）在12323.2nN*nnaaana中，将1n代n得：1123123.12n2nnaaana，由两式作商得：2nan，问题得解（1）利用（1）中结果求得bnn 2na，分组求和，再利用等差数列前n项和公式及乘公比错位相减法分别求和即可得解【详解】（1）由 n1 得1a=2，因为12323.2nN*nnaaana，当 n1 时，1123123.12n2nnaaana，由两式作商得：2nan（n1 且 nN*），又因为1a=2符合上式，所以2nan（nN*）（1）设122nnnba，则 bnnn 1n，所以 Snb1b1bn（11n）23122 23 2(1)22nnnn 设 Tn11 113 13+（n1）1n1n 1n，所以 1Tn111 13（n1）1n1（n1）1nn 1n1，得：Tn111131nn 1n1，所以 Tn（n1）1n11 所以12nnn nST，即111 222nnn nSn 本题主要考查了赋值法及方程思想，还考查了分组求和法及乘公比错位相减法求和，考查计算能力及转化能力，属于中档题 20、|tan2tan3,x xkarcxkarckZ或【解析】【解析】根据方程解出tan2x 或tan3x，利用三角函数的定义解出x，再根据终边相同角的表示即可求出.【详解】由22sin5sin cos6cos0 xxxx，得sin2cossin3cos0 xxxx，所以tan2x 或tan3x，所以tan2xkarc或tan3xkarc，所以x的解集为：|tan2tan3,x xkarcxkarckZ或.本题考查了三角方程的解法，终边相同角的表示，反三角函数的定义，考查计算能力，属于基础题.21、（1）；（2）.【解析】【解析】（1）利用同角三角函数平方和商数关系求得；利用两角和差正切公式求得结果；（2）利用二倍角公式化简所求式子，分子分母同时除以可将所求式子转化为关于的式子，代入求得结果.【详解】（1），（2）本题考查利用同角三角函数、两角和差正切公式、二倍角的正余弦公式化简求值问题，关键是能够利用求解关于正余弦的齐次式的方式，将问题转化为与有关的式子的求解.